Александр Николаевич Варченко ( русский : Александр Николаевич Варченко , родился 6 февраля 1949 г.) - советский и российский математик, занимающийся геометрией , топологией , комбинаторикой и математической физикой .
Александр Варченко | |
---|---|
Родившийся | |
Альма-матер | МГУ (1971) |
Известен | Теорема Варченко |
Научная карьера | |
Поля | Математика |
Учреждения | Университет Северной Каролины |
Докторант | Владимир Арнольд |
Задний план
С 1964 по 1966 год Варченко учился в Московской Колмогоровской школе-интернате № 18 для одаренных старшеклассников, где Андрей Колмогоров и Я. А. Смородинский читал лекции по математике и физике. Варченко окончил МГУ в 1971 году. Учился у Владимира Арнольда . [1] Варченко защитил кандидатскую диссертацию. защитил диссертацию на тему « Теоремы топологической равносингулярности семейств алгебраических множеств и отображений» в 1974 г. и докторскую диссертацию « Асимптотика интегралов и алгебро-геометрические инварианты критических точек функций» в 1982 г. С 1974 по 1984 гг. работал научным сотрудником в Московском государственном университете. в 1985–1990 гг. - профессор Института газа и нефти имени Губкина , а с 1991 г. - профессор Эрнеста Элиеля в Университете Северной Каролины в Чапел-Хилл .
Варченко был приглашенным докладчиком на Международном конгрессе математиков в 1974 г. в Ванкувере (секция алгебраической геометрии) и в 1990 г. в Киото (пленарное выступление). [2] В 1973 году он получил премию Московского математического общества .
Исследовать
В 1971 г. Варченко доказал, что семейство комплексных квазипроективных алгебраических множеств с неприводимой базой образуют топологически локально тривиальное расслоение над открытым по Зарисскому подмножеством базы. [3] Это утверждение, предположение , по Зарисскому , пополнил пробел в доказательстве теоремы Зариской о фундаментальной группе дополнения к комплексной алгебраической гиперповерхности [4] , опубликованной в 1937 г. В 1973 г. Варченко доказал Рене Тома «S гипотеза о том, что росток общего гладкого отображения топологически эквивалентен ростку полиномиального отображения и имеет конечномерную полиномиальную топологическую версальную деформацию, в то время как необщие отображения образуют подмножество бесконечной коразмерности в пространстве всех ростков. [5]
Варченко был одним из создателей теории многоугольников Ньютона в теории особенностей, в частности, он дал формулу, связывающую многоугольники Ньютона и асимптотику осциллирующих интегралов, связанных с критической точкой функции. Используя эту формулу, Варченко построил контрпример к гипотезе В. И. Арнольда о полунепрерывности о том, что яркость света в точке каустики не меньше яркости в соседних точках. [6]
Варченко сформулировал гипотезу о полунепрерывности спектра критической точки при деформациях критической точки и доказал ее для маловесных деформаций квазиоднородных особенностей. Варченко, пользуясь полунепрерывностью, дал оценку сверху числа особых точек проективной гиперповерхности заданной степени и размерности. [7]
Варченко ввел асимптотическую смешанную структуру Ходжа на когомологиях, исчезающих в критической точке функции, путем изучения асимптотики интегралов от голоморфных дифференциальных форм по семействам исчезающих циклов. Такой интеграл зависит от параметра - значения функции. У интеграла есть два свойства: насколько быстро он стремится к нулю, когда параметр стремится к критическому значению и как изменяется интеграл, когда параметр приближается к критическому значению. Первое свойство использовалось для определения фильтрации Ходжа асимптотической смешанной структуры Ходжа, а второе свойство использовалось для определения фильтрации весов. [8]
Вторая часть 16-й проблемы Гильберта состоит в том, чтобы решить, существует ли верхняя граница для числа предельных циклов в полиномиальных векторных полях заданной степени. Бесконечно малая 16-я проблема Гильберта, сформулированная В. И. Арнольдом, состоит в том, чтобы решить, существует ли верхняя оценка числа нулей интеграла полиномиальной дифференциальной формы над семейством кривых уровня полиномиального гамильтониана в терминах степеней коэффициенты дифференциальной формы и степень гамильтониана. Варченко доказал существование оценки в бесконечно малой 16-й проблеме Гильберта. [9]
Вадим Шехтман и Варченко определены в [10] , что уравнения Книжника-Замолодчикова (или, уравнения KZ) с подходящей связностью Гаусса-Маниной и построенными многомерными гипергеометрическими решениями KZ уравнений. В этой конструкции решения были помечены элементами подходящей группы гомологий. Затем группа гомологий отождествлялась с пространством кратностей тензорного произведения представлений подходящей квантовой группы, а представление монодромии уравнений KZ отождествлялось с ассоциированным R-матричным представлением. Эта конструкция дала геометрическое доказательство теоремы Коно-Дринфельда [11] [12] о монодромии уравнений КЗ. Аналогичная картина была развита для квантовых уравнений KZ (или, разностных уравнений типа qKZ) в совместных работах с Джованни Фельдером и Виталием Тарасовым. [13] [14]
Во второй половине 90-х Фельдер, Павел Этингоф и Варченко разработали теорию динамических квантовых групп. [15] [16] Динамические уравнения, совместимые с уравнениями типа КЗ, были введены в совместных работах с Г. Фельдером, Ю. Марковым, В. Тарасовым. [17] [18] В приложениях динамические уравнения появляются как квантовые дифференциальные уравнения кокасательных расслоений многообразий частных флагов. [19]
В работе [20] Евгений Мухин, Тарасов и Варченко доказали гипотезу Бориса Шапиро и Майкла Шапиро в вещественной алгебраической геометрии : [21] если определитель Вронского комплексного конечномерного векторного пространства многочленов от одной переменной имеет только действительные корни , то векторное пространство имеет базис многочленов с действительными коэффициентами.
Это классический известно , что индекс пересечения многообразий Шуберта в грассманиане из N - мерные плоскости совпадают с размерностью пространства инвариантов в подходящем тензорном произведении представлений общей линейной группы. В работе [22] Мухин, Тарасов и Варченко категоризировали этот факт и показали, что алгебра Бете модели Годена на таком пространстве инвариантов изоморфна алгебре функций на пересечении соответствующих многообразий Шуберта. В качестве приложения они показали, что если многообразия Шуберта определены относительно различных вещественных соприкасающихся флагов, то многообразия пересекаются трансверсально и все точки пересечения вещественны. Это свойство называется реальностью исчисления Шуберта .
Книги
- Арнольд, VI; Гусейн-Заде, СМ; Варченко А. Н. Особенности дифференцируемых отображений. Vol. I. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. Монографии по математике, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1985. xi + 382 стр. ISBN 0-8176-3187-9
- Арнольд, VI; Гусейн-Заде, СМ; Варченко А. Н. Особенности дифференцируемых отображений. Vol. II. Монодромия и асимптотика интегралов. Монографии по математике, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1988. viii + 492 с. ISBN 0-8176-3185-2
- Etingof, P .; Варченко, А. Почему граница круглой капли становится кривой четвертого порядка (серия университетских лекций), AMS 1992, ISBN 0821870025
- Варченко, А. Многомерные гипергеометрические функции и теория представлений алгебр Ли и квантовых групп. Advanced Series in Mathematical Physics, 21. World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер Эдж, Нью-Джерси, 1995. x + 371 с. ISBN 981-02-1880-X
- Варченко, А. Специальные функции, уравнения типа КЗ и теория представлений. Серия региональных конференций CBMS по математике, 98. Опубликовано для Совета конференций по математическим наукам, Вашингтон, округ Колумбия; Американского математического общества, Провиденс, Род-Айленд, 2003 г. viii + 118 с. ISBN 0-8218-2867-3
Рекомендации
- ^ Эдвард Френкель (1 октября 2013 г.). Любовь и математика: сердце скрытой реальности . Основные книги. С. 38 . ISBN 978-0-465-06995-8.
- ^ «Пленарное заседание ICM и приглашенные спикеры с 1897 года» . Международный конгресс математиков .
- ^ А. Варченко (1972). «Теоремы о топологической равнособытности семейств алгебраических многообразий и полиномиальных отображений» . Изв. Акад. Sci. СССР . 36 : 957–1019.
- ^ Зариский, О. (1937). «О группе Пуанкаре проективной гиперповерхности». Аня. математики . 38 (1): 131–141. DOI : 10.2307 / 1968515 . JSTOR 19685 15 .
- ^ Варченко, А. (1975). «Версальные топологические деформации». Изв. Акад. Sci. СССР . 39 : 294314.
- ^ Варченко, А. (1976). «Многогранники Ньютона и асимптотика колебательных интегралов». Функц. Анальный. Прил . 10 (3): 175–196. DOI : 10.1007 / bf01075524 . S2CID 17932967 .
- ^ Варченко, А. (1983). «О полунепрерывности спектров и оценках сверху числа особых точек проективной гиперповерхности». Докл. Акад. АН СССР . 270 (6): 1294–1297.
- ^ Варченко, А. (1980). «Асимптотика голоморфных форм определяет смешанную структуру Ходжа». Советская математика - Доклады . 22 (5): 772–775.
- ^ Варченко, А. (1984). «Оценка числа нулей вещественного абелева интеграла в зависимости от параметра и предельных циклов». Func. Анальный. Прил . 18 (2): 98–108. DOI : 10.1007 / bf01077820 . S2CID 121780077 .
- ^ Schechtman, V .; Варченко, А. (1991). "Устройства гиперплоскостей и гомологии алгебры Ли". Изобретать. Математика . 106 : 139–194. Bibcode : 1991InMat.106..139S . DOI : 10.1007 / bf01243909 . S2CID 121471033 .
- ^ Коно, Т. (1987). «Представления монодромии групп кос и уравнения Янга-Бакстера» . Annales de l'Institut Fourier . 1 (4): 139–160. DOI : 10,5802 / aif.1114 .
- ^ Дринфельд, В. (1990). «Квазихопфовые алгебры». Ленинградская математика. Дж . 1 : 1419–1457.
- ^ Тарасов, В .; Варченко, А. (1997). «Геометрия q-гипергеометрических функций как мост между янгианами и квантовыми аффинными алгебрами». Изобретать. Математика . 128 (3): 501–588. arXiv : q-alg / 9604011 . Bibcode : 1997InMat.128..501T . DOI : 10.1007 / s002220050151 . S2CID 119162926 .
- ^ Felder, G .; Тарасов, В .; Варченко, А. (1999). «Монодромия решений эллиптических квантовых разностных уравнений Книжника-Замолодчикова-Бернара». Int. J. Math . 10 (8): 943–975. arXiv : q-alg / 9705017 . DOI : 10.1142 / s0129167x99000410 . S2CID 14985025 .
- ^ Felder, G .; Варченко, А. (1996). «О представлениях эллиптической квантовой группы». Comm Math Phys.. . 181 (3): 741-761. Arxiv : Q-ALG / 9601003 . Bibcode : 1996CMaPh.181..741F . DOI : 10.1007 / bf02101296 . S2CID 119128058 .
- ^ Etingof, P .; Варченко, А. (1998). «Решения квантового динамического уравнения Янга – Бакстера и динамические квантовые группы». Comm. Математика. Phys . 196 (3): 591–640. arXiv : q-alg / 9708015 . Bibcode : 1998CMaPh.196..591E . DOI : 10.1007 / s002200050437 . S2CID 8031350 .
- ^ Марков, Ю .; Felder, G .; Тарасов, В .; Варченко, А. (2000). «Дифференциальные уравнения, совместимые с уравнениями КЗ». J. Math. Физика, анализ и геометрия . 3 (2): 139–177. DOI : 10,1023 / A: 1009862302234 . S2CID 119590296 .
- ^ Тарасов, В .; Варченко, А. (2002). «Двойственность для Книжника-Замолодчикова и динамических уравнений». Acta Appl. Математика . 73 : 141–154. DOI : 10,1023 / A: 1019787006990 . S2CID 14901561 .
- ^ Rimányi, R .; Тарасов, В .; Варченко, А. (2012). «Частичные разновидности флагов, стабильные огибающие и весовые функции». arXiv : 1212.6240 [ math.AG ].
- ^ Мухин, Э .; Тарасов, В .; Варченко, А. (2009). «Гипотеза Б. и М. Шапиро в вещественной алгебраической геометрии и анзац Бете». Анналы математики . Series 2. 170 (2): 863–881. arXiv : математика / 0512299 . DOI : 10.4007 / анналы.2009.170.863 . S2CID 18381451 .
- ^ Соттиле, Франк (2010). «Границы реальности в исчислении Шуберта». Бюллетень Американского математического общества . (NS). 47 (1): 31–71. arXiv : 0907.1847 . DOI : 10,1090 / s0273-0979-09-01276-2 . S2CID 5914695 .
- ^ Мухин, Э .; Тарасов, В .; Варченко, А. (2009). «Исчисление Шуберта и представления полной линейной группы» . Журнал Американского математического общества . 22 (4): 909–940. Bibcode : 2009JAMS ... 22..909M . DOI : 10.1090 / s0894-0347-09-00640-7 .
Внешние ссылки
- Александр Варченко на проекте « Математическая генеалогия»
- Домашняя страница Варченко на сайте Университета Северной Каролины