Структура Ходжа

В математике структура Ходжа , названная в честь В.В.Д. Ходжа , представляет собой алгебраическую структуру на уровне линейной алгебры , аналогичную той, которую теория Ходжа дает группам когомологий гладкого и компактного кэлерова многообразия . Структуры Ходжа были обобщены для всех комплексных многообразий (даже если они сингулярны и неполны ) в виде смешанных структур Ходжа , определенных Пьером Делинем (1970). Изменение структуры Ходжа представляет собой семейство структур Ходжа параметризованы многообразия, впервые изученных Phillip Гриффитс(1968). Все эти концепции были далее обобщены на смешанные модули Ходжа над комплексными многообразиями Морихико Сайто (1989).

Строения Ходжа [ править ]

Определение структур Ходжа [ править ]

Чистая структура Ходжа целочисленного веса n состоит из абелевой группы и разложения ее комплексификации H в прямую сумму комплексных подпространств , где со свойством, комплексно сопряженным к которой является :${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle H ^ {p, q}}$${\ Displaystyle р + д = п}$${\ displaystyle H ^ {p, q}}$${\ displaystyle H ^ {q, p}}$

${\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}$

${\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}$

Эквивалентное определение получается путем замены прямого разложения суммы H по фильтрации Ходжи , конечное уменьшение фильтрации из Н комплексных подпространств при условии ,${\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}$

Связь между этими двумя описаниями следующая:

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},}$

${\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.}$

Например, если Х представляет собой компактное кэлерово многообразие , является п -я группа когомологий из X с целыми коэффициентами, то есть его п -я группа когомологий с комплексными коэффициентами и теория Ходжа обеспечивает разложение Н в прямую сумму , как указано выше, так что эти данные определяют чистую структуру Ходжа веса n . С другой стороны, спектральная последовательность Ходжа – де Рама обеспечивает убывающую фильтрацию, как во втором определении. ^[1]${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle F^{p}H}$

Для применения в алгебраической геометрии, а именно, классификация комплексных проективных многообразий их периодов , множество всех структур Ходжа веса п на слишком большой. Используя билинейные соотношения Римана , в данном случае называемые билинейными соотношениями Ходжа Римана , это можно существенно упростить. Поляризованный структура Ходжа веса п состоит из структуры Ходжа и невырожденной целое билинейной формы Q на ( поляризации ), которая распространяется на H по линейности, и удовлетворяющий условиям:${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi );\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}$

В терминах фильтрации Ходжа из этих условий следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}$

где C - оператор Вейля на H , задаваемый on .${\displaystyle C=i^{p-q}}$${\displaystyle H^{p,q}}$

Еще одно определение структуры Ходжа основано на эквивалентности -градуировки на комплексном векторном пространстве и действия группы окружностей U (1) . В этом определении, действие мультипликативной группы комплексных чисел рассматриваются как двумерный вещественный алгебраический тор, даются на H . ^[2] Это действие должно обладать тем свойством, что действительное число a действует как ⁿ . Подпространство - это подпространство, на котором действует умножение на${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle H^{p,q}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle z^{p}{\overline {z}}^{q}.}$

A -Структура Ходжа [ править ]

В теории мотивов становится важным разрешить более общие коэффициенты для когомологий. Определение структуры Ходжа модифицируют путем фиксации нётерову подкольцо A поля из действительных чисел , для которых является полем. Тогда чистый Ходдж -структуры веса п определяется как и раньше, заменяя с A . Существует естественные функторы базового изменения и ограничения , касающиеся Ходжа A -структуры и B -структуру для A подкольца B .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смешанные структуры Ходжа [ править ]

Это было замечено Жан-Пьером Серром в 1960-х годах на основе гипотез Вейля о том, что даже особые (возможно, приводимые) и неполные алгебраические многообразия должны допускать «виртуальные числа Бетти». Точнее, нужно уметь сопоставить любому алгебраическому многообразию X многочлен P _X ( t ), называемый его виртуальным многочленом Пуанкаре , со свойствами

• Если X неособое и проективное (или полное)

${\displaystyle P_{X}(t)=\sum {\text{rank}}(H^{n}(X))t^{n}}$

• Если Y - замкнутое алгебраическое подмножество X и U = X  \  Y

${\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}$

Существование таких многочленов следует из существования аналога структуры Ходжа в когомологиях общего (особого и неполного) алгебраического многообразия. Новизна состоит в том, что n- я когомология общего многообразия выглядит так, как если бы она содержала куски разного веса. Это привело Александра Гротендика к его гипотетической теории мотивов и побудило к поискам расширения теории Ходжа, кульминацией которых стала работа Пьера Делиня . Он ввел понятие смешанной структуры Ходжи, разработал методы для работы с ними, дал их строительство (на основе Хиронак «s разрешения особенностей ) и связанное с их весами наl-адические когомологии , доказывающие последнюю часть гипотез Вейля .

Пример кривых [ править ]

Чтобы мотивировать определение, рассмотрим случай приводимой комплексной алгебраической кривой X, состоящей из двух неособых компонент, и , которые трансверсально пересекаются в точках и . Далее предположим, что компоненты не компактны, но их можно компактифицировать, добавив точки . Первая группа когомологий кривой X (с компактным носителем) двойственна первой группе гомологий, которую легче визуализировать. В этой группе есть три типа одноциклов. Во-первых, это элементы, представляющие собой небольшие петли вокруг проколов . Затем есть элементы , которые происходят из первых гомологий компактификации.${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \beta _{j}}$каждого из компонентов. Один цикл в ( ), соответствующий циклу в компактификации этого компонента, не является каноническим: эти элементы определяются по модулю промежутка . Наконец, по модулю первых двух типов группа генерируется комбинаторным циклом, который идет от до по пути в одном компоненте и возвращается обратно по пути в другом компоненте . Это говорит о том, что допускает возрастающую фильтрацию${\displaystyle X_{k}\subset X}$${\displaystyle k=1,2}$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),\,}$

чьи последовательные факторы W _n / W _{n −1} происходят из когомологий гладких полных многообразий, следовательно, допускают (чистые) структуры Ходжа, хотя и разного веса. Дополнительные примеры можно найти в «Наивном руководстве по смешанной теории Ходжа». ^[3]

Определение смешанной структуры Ходжа [ править ]

Смешанная структура Ходж на абелевую группу состоит из конечного убывающей фильтрации F ^р на комплексном векторном пространстве H (Комплексификация ), называется фильтрацией Ходжа и конечной возрастающего фильтрация W _I на рациональном векторном пространстве (полученный путем расширения скаляров к рациональным числам), называемая весовой фильтрацией , при условии, что n -й связанный градуированный фактор по весовой фильтрации вместе с фильтрацией, индуцированной F при его комплексификации, является чистой структурой Ходжа веса n${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}$, для всех целых n . Здесь индуцированная фильтрация на

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C} }$

определяется

${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .}$

Можно определить понятие морфизма смешанных структур Ходжа, которое должно быть согласовано с фильтрациями F и W, и доказать следующее:

Теорема. Смешанные структуры Ходжа образуют абелеву категорию . Ядра и коядра в этой категории совпадают с обычными ядрами и коядрами в категории векторных пространств с индуцированными фильтрациями.

Полные когомологии компактного кэлерова многообразия имеют смешанную структуру Ходжа, где n- е пространство весовой фильтрации W _n является прямой суммой групп когомологий (с рациональными коэффициентами) степени меньше или равной n . Следовательно, классическую теорию Ходжа в компактном комплексном случае можно рассматривать как обеспечение двойной градуировки на группе комплексных когомологий, которая определяет возрастающую фитрацию F ^p и убывающую фильтрацию W _nкоторые совместимы определенным образом. В общем, все пространство когомологий все еще имеет эти две фильтрации, но они больше не являются результатом разложения в прямую сумму. В связи с третьим определением чистой структуры Ходжа можно сказать, что смешанная структура Ходжа не может быть описана с помощью действия группы. Важное открытие Делиня состоит в том, что в смешанном случае существует более сложная некоммутативная проалгебраическая группа, которая может можно использовать для того же эффекта, используя формализм Таннаки .${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}$

Более того, категория (смешанных) структур Ходжа допускает хорошее понятие тензорного произведения, соответствующего произведению многообразий, а также связанные с ним понятия внутреннего Hom и двойственного объекта , превращая его в категорию Таннакиана . Согласно философии Таннаки – Крейна , эта категория эквивалентна категории конечномерных представлений определенной группы, которую Делинь, Милн и др. подробно описано, см. Deligne (1982) ^[4] и Deligne (1994) . Описание этой группы было переработано в более геометрических терминах Капрановым (2012). harvtxt error: no target: CITEREFDeligne1982 (help) . Соответствующий (гораздо более сложный ) анализ для рациональных чисто поляризуемых структур Ходжа был проведен Патрикисом (2016) .

Смешанная структура Ходжа в когомологиях (теорема Делиня) [ править ]

Делинь доказал, что n- я группа когомологий произвольного алгебраического многообразия имеет каноническую смешанную структуру Ходжа. Эта структура функториальна и совместима с произведениями многообразий ( изоморфизм Кюннета ) и произведением в когомологиях. Для полного неособого многообразия X эта структура не имеет веса n , и фильтрация Ходжа может быть определена через гиперкогомологии усеченного комплекса де Рама.

Доказательство примерно состоит из двух частей, касающихся некомпактности и особенностей. Обе части существенно используют разрешение сингулярностей (из-за Хиронаки). В особом случае многообразия заменяются симплициальными схемами, что приводит к более сложной гомологической алгебре, и используется техническое понятие структуры Ходжа на комплексах (в отличие от когомологий).

Используя теорию мотивов , можно уточнить весовую фильтрацию на когомологиях с рациональными коэффициентами до единицы с целыми коэффициентами. ^[5]

Примеры [ править ]

• Структура Тейта – Ходжа - это структура Ходжа с основным модулем, задаваемым (подгруппой ), при этом So она чиста с весом −2 по определению и является единственной 1-мерной чистой структурой Ходжа с весом −2 с точностью до изоморфизмов. В более общем смысле, его n- я тензорная степень обозначается как 1-мерная и чистая с весом −2 n .${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.}$${\displaystyle \mathbb {Z} (n);}$
• Когомологии полного кэлерова многообразия являются структурой Ходжа, а подпространство, состоящее из n- й группы когомологий, чисто веса n .
• Когомологии комплексного многообразия (возможно, особого или неполного) - это смешанная структура Ходжа. Это было показано для гладких многообразий Делинем (1971) , Делинем (1971a) и в целом Делинем (1974) .
• Для проективного многообразия с нормальными пересекающимися особенностями существует спектральная последовательность с вырожденной E ₂ -страницей, которая вычисляет все его смешанные структуры Ходжа. E ₁ -страница имеет явные термины с дифференциалом, происходящим из симплициального множества. ^[6]${\displaystyle X}$
• Любое гладкое аффинное многообразие допускает гладкую компактификацию (которую можно найти, взяв его проективное замыкание и найдя разрешение особенностей) с нормальным перекрестным дивизором. Соответствующие логарифмические формы могут быть использованы для нахождения явной весовой фильтрации смешанной структуры ходжа. ^[7]
• Структура Ходжа для гладкой проективной гиперповерхности степени была явно разработана Гриффитсом в его статье «Периодические интегралы алгебраических многообразий». Если - многочлен, определяющий гиперповерхность, то градуированное кольцо частных якобианов${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}}$

содержит всю информацию о средних когомологиях . Он показывает, что${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}$

Например, рассмотрим поверхность K3, задаваемую , следовательно, и . Тогда градуированное кольцо якобиана есть${\displaystyle g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}}$${\displaystyle d=4}$${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}}$

Изоморфизм для примитивных групп когомологий читается как

${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(f)_{(2+1-p)4-2-2}=R(f)_{4(3-p)-4}}$

следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это векторное пространство, охватываемое${\displaystyle R(g)_{4}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}}$

который является 19-мерным. Класс Лефшеца дает дополнительный вектор . Согласно теореме Лефшеца о гиперплоскости и двойственности Ходжа, остальные когомологии являются -мерными. Следовательно, ромбовидный ромб читается${\displaystyle H^{1,1}(X)}$${\displaystyle [L]}$${\displaystyle H^{k,k}(X)}$${\displaystyle 1}$

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

• Мы также можем использовать предыдущий изоморфизм, чтобы проверить род кривой степени на плоскости. Так как является гладкой кривой и теорема Эресмана о расслоении гарантирует, что любая другая гладкая кривая рода диффеоморфна, мы имеем, что род тогда тот же. Итак, используя изоморфизм примитивных когомологий с градуированной частью якобиевого кольца, мы видим, что${\displaystyle d}$${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}}$

Это означает, что размерность

${\displaystyle {2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$

по желанию.

• Числа Ходжа для полного пересечения также легко вычислимы: есть комбинаторная формула, найденная Фридрихом Хирцебрухом . ^[8]

Приложения [ править ]

Механизм, основанный на понятиях структуры Ходжа и смешанной структуры Ходжа, является частью все еще в значительной степени гипотетической теории мотивов, предложенной Александром Гротендиком . Арифметическая информация для невырожденного алгебраического многообразия X , закодированная собственным значением элементов Фробениуса, действующих на его l-адические когомологии , имеет что-то общее со структурой Ходжа, возникающей из X, рассматриваемого как сложное алгебраическое многообразие. Сергей Гельфанд и Юрий Манин отметили около 1988 г. в своих Методах гомологической алгебры, что в отличие от симметрий Галуа, действующих на другие группы когомологий, происхождение «симметрий Ходжа» очень загадочно, хотя формально они выражаются через действие довольно несложной группы на когомологии де Рама. С тех пор тайна стала еще глубже с открытием и математической формулировкой зеркальной симметрии.${\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}}$

Вариация структуры Ходжа [ править ]

Изменение структуры Ходжа ( Гриффитс (1968) , Гриффитс (1968а) , Гриффитс (1970) ) представляет собой семейство структур Ходжа параметризованных комплексного многообразия X . Точнее, вариация структуры Ходжа веса n на комплексном многообразии X состоит из локально постоянного пучка S конечно порожденных абелевых групп на X вместе с убывающей фильтрацией Ходжа F на S ⊗ O _X , при соблюдении следующих двух условий:

• Фильтрация индуцирует структуру Ходжа веса n на каждом стержне пучка S
• ( Трансверсальность Гриффитса ) Естественная связность на S ⊗ O _X отображается в${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}$

Здесь естественная (плоская) связность на S ⊗ O _X, индуцированная плоской связностью на S и плоской связностью d на O _X , а O _X - пучок голоморфных функций на X , а - пучок 1-форм на X . Эта естественная плоская связность является связностью Гаусса – Манина ∇ и может быть описана уравнением Пикара – Фукса .${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

Вариации смешанной структуры Ходжи может быть определены аналогичным образом, путем добавления градуировки или фильтрации W с S . Типичные примеры можно найти из алгебраических морфизмов . Например,${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}}$

имеет волокна

${\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}$

которые являются гладкими плоскими кривыми рода 10 для и вырождаются в особую кривую в точке Тогда пучки когомологий${\displaystyle t\neq 0}$${\displaystyle t=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)}$

дают вариации смешанных структур хеджирования.

Модули Ходжа [ править ]

Модули Ходжа - это обобщение вариации структур Ходжа на комплексном многообразии. Их можно неформально рассматривать как нечто вроде пучков структур Ходжа на многообразии; точное определение Сайто (1989) довольно сложное и техническое. Есть обобщения на смешанные модули Ходжа и на многообразия с особенностями.

Каждому гладкому комплексному многообразию соответствует абелева категория смешанных модулей Ходжа. Формально они ведут себя как категории пучков над многообразиями; например, морфизмы f между многообразиями индуцируют функторы f _∗ , f * , f _! , е ^! между ( производными категориями ) смешанных модулей Ходжа, аналогичных модулям для пучков.

См. Также [ править ]

• Смешанная структура Ходжа
• Гипотеза Ходжа
• Якобианский идеал
• Структура Ходжа – Тейта , p -адический аналог структур Ходжа.
• Логарифмическая форма

Заметки [ править ]

Вступительные ссылки [ править ]

• Дебарре, Оливье, периоды и модули
• Арапура, Дону, Комплексные алгебраические многообразия и их когомологии (PDF) , стр. 120–123, архивировано из оригинала (PDF) 2020-01-04 (Предоставляет инструменты для вычисления чисел ходжа с использованием когомологий пучков)
• Наивное руководство по смешанной теории Ходжа
• Димка, Александру (1992). Особенности и топология гиперповерхностей . Universitext. Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 240, 261. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4404-2 . ISBN 0-387-97709-0. Руководство по ремонту  1194180 .(Дает формулу и образующие для смешанных чисел Ходжа аффинного слоя Милнора взвешенного однородного многочлена, а также формулу для дополнений взвешенных однородных многочленов в взвешенном проективном пространстве.)

Обзорные статьи [ править ]

• Арапура, Дону, Смешанные структуры Ходжа, связанные с геометрическими вариациями (PDF)

Ссылки [ править ]

• Делинь, Пьер (1971b), Travaux de Griffiths , Sem. Бурбаки Эксп. 376, Lect. примечания по математике. Том 180, стр. 213–235
• Делинь, Пьер (1971), «Теория Ходжа. I» (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , 1 , Gauthier-Villars, стр. 425–430, MR  0441965 , заархивировано с оригинала ( PDF) на 02.04.2015 Это строит смешанную структуру Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1971a), Теори де Ходж. II. , Инст. Hautes Études Sci. Publ. Математика. № 40, стр. 5–57, MR  0498551 Это строит смешанную структуру Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1974), Теори де Ходж. III. , Инст. Hautes Études Sci. Publ. Математика. № 44, стр. 5–77, MR  0498552 Это строит смешанную структуру Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1994), "Structures de Hodge mixtes réelles", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991), Часть 1 , Труды симпозиумов по чистой математике , 55 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 509–514, Руководство по ремонту  1265541
• Делинь, Пьер ; Милн, Джеймс (1982), «Таннакианские категории», Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры Пьера Делиня, Джеймса С. Милна, Артура Огуса, Куанг-янь Ши , Лекционные заметки по математике , 900 , Springer-Verlag , стр. 1–414. Аннотированную версию этой статьи можно найти на домашней странице Дж. Милна .
• Гриффитс, Филлип (1968), "Периоды интегралов на алгебраических многообразиях I (Построение и свойство модульных сортов)", Американский журнал математики , 90 (2): 568-626, DOI : 10,2307 / 2373545 , JSTOR  2373545
• Гриффитс, Филлип (1968а), "Периоды интегралов на алгебраических многообразиях II (локальное исследование Периодической карт)", Американский журнал математики , 90 (3): 808-865, DOI : 10,2307 / 2373485 , JSTOR  2373485
• Гриффитс, Филипп (1970), "Периоды интегралов на алгебраических многообразиях III. Некоторые глобальные дифференциально-геометрические свойства отображения периодов". , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 38 : 228–296.
• Капранов, Михаил (2012), «Реальные смешанные структуры Ходжа», Журнал некоммутативной геометрии , 6 (2): 321–342, arXiv : 0802.0215 , doi : 10.4171 / jncg / 93 , MR  2914868
• Овсеевич, Александр I. (2001) [1994], "Структура Ходжа" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Patrikis, Стефан (2016), "Mumford-Tate группы поляризационных структур Ходжа", Труды Американского математического общества , 144 (9): 3717-3729, Arxiv : 1302,1803 , DOI : 10,1090 / Proc / 13040 , MR  3513533
• Сайто, Морихико (1989), Введение в смешанные модули Ходжа. Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987). , Astérisque № 179–180, стр. 145–162, MR  1042805
• Шнелл, Кристиан, Обзор теории смешанных модулей Ходжа Морихико Сайто (PDF)
• Стинбринк, Джозеф HM (2001) [1994], "Вариация структуры Ходжа" , Энциклопедия математики , EMS Press