Абелева разновидность

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , особенно в алгебраической геометрии , комплексном анализе и теории алгебраических чисел , абелево многообразие - это проективное алгебраическое многообразие , которое также является алгебраической группой , т. Е. Имеет групповой закон, который может быть определен регулярными функциями . Абелевы многообразия в то же время являются одними из наиболее изучаемых объектов алгебраической геометрии и незаменимыми инструментами для многих исследований по другим темам алгебраической геометрии и теории чисел.

Абелево многообразие можно определить уравнениями, имеющими коэффициенты в любом поле ; тогда говорят, что многообразие определено над этим полем. Исторически первыми изучаемыми абелевыми разновидностями были те, которые были определены в области комплексных чисел . Такие абелевы многообразия оказываются как раз теми комплексными торами, которые вкладываются в комплексное проективное пространство . Абелевы многообразия, определенные над полями алгебраических чисел, являются частным случаем, важным также с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом ведут от абелевых многообразий, определенных над числовыми полями, к многообразиям, определенным над конечными полями и различнымилокальные поля . Поскольку числовое поле является полем дробей дедекиндовской области , для любого ненулевого простого числа вашей дедекиндовской области существует отображение из дедекиндовской области в частное дедекиндовской области по простому числу, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел. . Это индуцирует отображение поля дробей в любое такое конечное поле. Для данной кривой с уравнением, заданным над числовым полем, мы можем применить это отображение к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную над некоторым конечным полем, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам числового поля.

Абелевы многообразия естественным образом возникают как якобиевые многообразия (связные компоненты нуля в многообразиях Пикара ) и как многообразия Альбанезе других алгебраических многообразий. Групповой закон абелевого многообразия обязательно коммутативен, а многообразие неособо . Эллиптическая кривая является абелевым многообразием размерности 1. абелевых многообразия имеют размерность Кодаиры 0.

История и мотивация [ править ]

В начале девятнадцатого века теория эллиптических функций смогла заложить основу для теории эллиптических интегралов , и это оставило очевидный путь для исследований. Стандартные формы для эллиптических интегралов включали квадратные корни из кубических и четвертых многочленов . Что произойдет, если их заменить на полиномы более высокой степени, скажем, квинтики ?

В работе Нильса Абеля и Карла Якоби был сформулирован ответ: это будет включать функции двух комплексных переменных , имеющих четыре независимых периода (то есть векторы периодов). Это дало возможность впервые увидеть абелево многообразие размерности 2 ( абелеву поверхность ): то, что теперь назвали бы якобианом гиперэллиптической кривой рода 2 .

После Абеля и Якоби одними из наиболее важных участников теории абелевых функций были Риман , Вейерштрасс , Фробениус , Пуанкаре и Пикар . Предмет был очень популярен в то время, уже имел большой объем литературы.

К концу XIX века математики начали использовать геометрические методы для изучения абелевых функций. В конце концов, в 1920-х годах Лефшец заложил основу для изучения абелевых функций в терминах комплексных торов. Он также, кажется, был первым, кто использовал название «абелева разновидность». Именно Андре Вейль в 1940-х годах дал этому предмету современные основы на языке алгебраической геометрии.

Сегодня абелевы многообразия являются важным инструментом в теории чисел, в динамических системах (более конкретно в изучении гамильтоновых систем ), а также в алгебраической геометрии (особенно сортов Пикара и Альбанезе сортов ).

Аналитическая теория [ править ]

Определение [ править ]

Комплексный тор размерности g - это тор реальной размерности 2 g , несущий структуру комплексного многообразия . Он всегда может быть получен как частное от в г - мерном комплексном векторном пространстве с помощью решетки ранга 2 г . Комплексное абелево многообразие размерности g - это комплексный тор размерности g, который также является проективным алгебраическим многообразием над полем комплексных чисел. Поскольку они являются комплексными торами, абелевы многообразия несут структуру группы . морфизмабелевых многообразий - это морфизм лежащих в основе алгебраических многообразий, который сохраняет единичный элемент для структуры группы. Изогенности морфизм конечно-к-одному.

Когда комплексный тор несет структуру алгебраического многообразия, эта структура обязательно уникальна. В случае g = 1 понятие абелевого многообразия такое же, как и у эллиптической кривой , и каждый комплексный тор порождает такую ​​кривую; при g > 1 со времен Римана было известно, что условие алгебраического многообразия накладывает дополнительные ограничения на комплексный тор.

Условия Римана [ править ]

Следующий критерий Римана определяет, является ли данный комплексный тор абелевым многообразием, т. Е. Может ли он быть вложен в проективное пространство. Пусть Х является г - мерный тор задается как X = V / L , где V представляет собой комплексное векторное пространство размерности г и L является решеткой в V . Тогда X является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда существует положительно определенная эрмитова форма на V , мнимая часть которой принимает целые значения на L ×L . Такая форма на X обычно называется (невырожденной) римановой формой . Выбирая базис для V и L , можно сделать это условие более явным. Есть несколько эквивалентных формулировок этого; все они известны как условия Римана.

Якобиан алгебраической кривой [ править ]

Каждая алгебраическая кривая С из рода г ≥ 1 связан с абелева многообразия J размерности г , с помощью аналитической карты C в J . Как тор, J несет структуру коммутативной группы , а образ C порождает J как группу. Более точно, J покрыта C : ^[1] любая точка J исходит от г -кратного точек в C . Изучение дифференциальных форм на C , порождающихабелевые интегралы , с которой началась теория, может быть получены из простой, перевода-инвариантной теории дифференциалов на J . Абелева многообразие J называется якобиевой множество из C , для любого невырожденного кривого C над комплексными числами. С точки зрения бирациональной геометрии ее функциональное поле - это фиксированное поле симметрической группы на g букв, действующей на функциональное поле C ^g .

Абелевы функции [ править ]

Абелева функцией является мероморфны функциями на абелевом многообразии, который можно рассматривать в качестве поэтому периодическая функции п комплексных переменных, имеющие 2 п независимых периодов; эквивалентно, это функция из функционального поля абелевого многообразия. Например, в девятнадцатом веке был большой интерес к гиперэллиптическим интегралам, которые можно было выразить через эллиптические интегралы. Это сводится к тому, что J является продуктом эллиптических кривых с точностью до изогении.

Важные теоремы [ править ]

Одна из важных структурных теорем абелевых многообразий - это теорема Мацусаки . Он утверждает, что над алгебраически замкнутым полем каждое абелево многообразие является фактором якобиана некоторой кривой; то есть имеется некоторое сюръекция абелевых многообразий, где - якобиан. Эта теорема остается верной, если основное поле бесконечно. ^[2]${\ displaystyle A}$${\ displaystyle J \ to A}$${\ displaystyle J}$

Алгебраическое определение [ править ]

Обычно используются два эквивалентных определения абелевого многообразия над общим полем k :

• соединены и полная алгебраическая группа над к
• связная и проективная алгебраическая группа над к .

Когда база - это поле комплексных чисел, эти понятия совпадают с предыдущим определением. По всем основаниям эллиптические кривые являются абелевыми многообразиями размерности 1.

В начале 1940-х годов Вейль использовал первое определение (над произвольным базовым полем), но сначала не смог доказать, что оно подразумевает второе. Только в 1948 году он доказал, что полные алгебраические группы вкладываются в проективное пространство. Между тем, чтобы провести доказательство гипотезы Римана для кривых над конечными полями, о которой он объявил в 1940 году, ему пришлось ввести понятие абстрактного многообразия и переписать основы алгебраической геометрии для работы с многообразиями без проективных вложений. (см. также раздел истории в статье по алгебраической геометрии ).

Структура группы точек [ править ]

По определениям абелево многообразие - это групповое многообразие. Можно доказать, что его группа точек коммутативна .

Для C , и , следовательно , по принципу Лефшца для каждого алгебраически замкнутого поля в характеристике нуля, то группа кручения абелево многообразие размерности г является изоморфно к ( Q / Z ) ^{2 г} . Следовательно, ее n -крученная часть изоморфна ( Z / n Z ) ^{2 g} , то есть произведению 2 g копий циклической группы порядка n .

Когда основное поле алгебраически замкнутое поле характеристики р , то п -кручения еще изоморфно ( Z / п Z ) ^{2 г} при п и р являются взаимно простыми . Когда n и p не взаимно просты, тот же результат может быть восстановлен, если интерпретировать его как утверждение, что n -кручение определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2 g . Если вместо того, чтобы смотреть на полную структуру схемы на n -кручении, рассматривать только геометрические точки, мы получаем новый инвариант для многообразий в характеристикеp (так называемый p -ранг при n = p ).

Группа K - рациональных точек для глобального поля к является конечно порожденной по теореме Морделла-Вейль . Следовательно, по структурной теореме для конечно порожденных абелевых групп , она изоморфна произведению свободной абелевой группы Z ^r и конечной коммутативной группы для некоторого неотрицательного целого числа r, называемого рангом абелевого многообразия. Аналогичные результаты верны и для некоторых других классов полей k .

Продукты [ править ]

Произведение абелевого многообразия A размерности m и абелевого многообразия B размерности n над одним и тем же полем является абелевым многообразием размерности m + n . Абелева разновидность проста, если она не изогенна продукту абелевых разновидностей более низкой размерности. Любая абелева разновидность изогенна продукту простых абелевых разновидностей.

Поляризация и двойственное абелево многообразие [ править ]

Двойственное абелево многообразие [ править ]

Абелеву многообразию A над полем k ставится в соответствие дуальное абелево многообразие A ^v (над тем же полем), что является решением следующей проблемы модулей . Семейство линейных расслоений степени 0, параметризованных k -многообразием T , определяется как линейное расслоение L на A × T такое, что

1. для всех t в T ограничение L на A × { t } является линейным расслоением степени 0,
2. ограничение L на {0} × T является тривиальным линейным расслоением (здесь 0 - это тождество A ).

Тогда существует многообразие A ^v и семейство линейных расслоений P степени 0, расслоение Пуанкаре, параметризованное A ^v, такое, что семейство L на T связано с единственным морфизмом f : T → A ^v, так что L изоморфно откат P по морфизму 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Применяя это к случаю, когда T является точкой, мы видим, что точки A^v соответствуют линейным расслоениям степени 0 на A , поэтому на A ^v существует естественная групповая операция, заданная тензорным произведением линейных расслоений, что превращает его в абелево многообразие.

Эта ассоциация является двойственностью в том смысле, что существует естественный изоморфизм между двойными двойственными A ^vv и A (определенный через расслоение Пуанкаре) и что он является контравариантным функториальным , т.е. он сопоставляет всем морфизмам f : A → B двойственные морфизмы f ^v : B ^v → A ^v совместимым образом. П -кручение абелево многообразие и п -кручение сопряженного является два друг к другу , когда пвзаимно проста с характеристикой основания. В общем - для всех п - в п кручение групповые схемы двойственных абелевых многообразий Картье двойственные друг друга. Это обобщает спаривание Вейля для эллиптических кривых.

Поляризации [ править ]

Поляризации абелево многообразие является изогенией из абелева многообразия к его сопряженному , что является симметричным по отношению к двойной двойственности для абелевых многообразий и для которых прообраз расслоения Пуанкара вдоль соответствующего графа морфизма является обильным (так оно аналогично положительно определенная квадратичная форма). Поляризованные абелевы многообразия имеют конечные группы автоморфизмов . Главная поляризация- поляризация, являющаяся изоморфизмом. Якобианы кривых естественно снабжаются главной поляризацией, как только выбирается произвольная рациональная базовая точка на кривой, и кривая может быть восстановлена ​​по ее поляризованному якобиану, когда род> 1. Не все принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривые; см. проблему Шоттки . Поляризационный индуцирует инволюцию Розати на кольце эндоморфизмов из A .${\ displaystyle \ mathrm {End} (A) \ otimes \ mathbb {Q}}$

Поляризации над комплексными числами [ править ]

За комплексных чисел, А поляризован абелево многообразие также может быть определена как абелевом многообразии А вместе с выбором римановой формы Н . Две формы Римана H ₁ и H ₂ называются эквивалентными, если существуют натуральные числа n и m такие, что nH ₁ = mH ₂ . Выбор класса эквивалентности римановых форм на А называется поляризацией от А . Морфизм поляризованных абелевых многообразий - это морфизм A → Bабелевых многообразий таким образом, что откат от формы Римана на B к A эквивалентен данной форме на A .

Абелева схема [ править ]

Можно также определить схему абелевых многообразий - теоретически и относительно базы . Это позволяет единообразно трактовать такие явления, как сокращение mod p абелевых многообразий (см. Арифметика абелевых многообразий ) и параметрические семейства абелевых многообразий. Абелева схема над базовой схемы S относительной размерности г является правильной , гладкой групповой схемой над S , чьи геометрические слои будут соединены и размерности г. Волокна абелевой схемы являются абелевы многообразия, поэтому можно было бы подумать абелева схема над S как семейство абелевых многообразий параметризуется  S .

Для абелевой схемы A / S группа n точек кручения образует конечную плоскую групповую схему . Объединение точек p ⁿ -кручения для всех n образует p-делимую группу . Деформации абелевых схем, согласно теореме Серра – Тейта , определяются деформационными свойствами ассоциированных p -делимых групп.

Пример [ править ]

Позвольте быть таким, что не имеет повторяющихся сложных корней. Тогда дискриминант отличен от нуля. Позвольте , так является открытой подсхемой . Тогда абелева схема окончена . Ее можно расширить до модели Нерона над , которая является гладкой групповой схемой над , но модель Нерона не является правильной и, следовательно, не является абелевой схемой над .${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle x ^ {3} + Ax + B}$${\ displaystyle \ Delta = -16 (4A ^ {3} + 27B ^ {2})}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z} [1 / \ Delta]}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$

Несуществование [ править ]

В.А. Абрашкин ^[3] и Жан-Марк Фонтен ^[4] независимо друг от друга доказали, что не существует ненулевых абелевых многообразий над Q с хорошей редукцией во всех простых числах. Эквивалентное нет ненулевых абелевых схем над Spec  Z . Доказательство включает демонстрацию того, что координаты точек p ⁿ -кручения порождают числовые поля с очень небольшим разветвлением и, следовательно, с небольшим дискриминантом, в то время как, с другой стороны, существуют нижние границы дискриминантов числовых полей. ^[5]

Семиабелевская разновидность [ править ]

Полуабелева разнообразие является коммутативное многообразие группа , которая является расширением абелева многообразия с помощью тора .

См. Также [ править ]

• Мотивы
• Хронология абелевых разновидностей
• Модули абелевых многообразий
• Уравнения, определяющие абелевы многообразия

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Биркенхейк, Кристина; Ланге, Х. (1992), Комплексные абелевы многообразия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-54747-3. Комплексное рассмотрение сложной теории с обзором истории предмета.
• Долгачев И.В. (2001) [1994], "Абелева схема" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Фальтингс, Герд ; Чай, Чинг-Ли (1990), Вырождение абелевых многообразий , Springer Verlag , ISBN 3-540-52015-5
• Milne, James, Abelian Variversity , извлечено 6 октября 2016 г.. Примечания к онлайн-курсу.
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в области математики Тата, 5 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-81-85931-86-9, Руководство по ремонту  0282985 , OCLC  138290
• Венков, ББ; Паршин, А. Н. (2001) [1994], "Абелевское многообразие" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Bruin, N; Флинн, Е.В., N-КРЫШКИ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ (PDF) , Оксфорд: Математический институт Оксфордского университета.. Описание якобиана накрывающих кривых