В математике спектральная последовательность Ходжа – де Рама (названная в честь В. В. Д. Ходжа и Жоржа де Рама ) является альтернативным термином, который иногда используется для описания спектральной последовательности Фрелихера (названной в честь Альфреда Фрелихера , который фактически открыл ее). Эта спектральная последовательность описывает точную связь между когомологиями Дольбо и когомологиями де Рама общего комплексного многообразия . На компактном кэлеровом многообразии, то выродки последовательности, что приводит к разложению Ходжа на Румье когомологий.
Описание спектральной последовательности.
Спектральная последовательность выглядит следующим образом :
где X - комплексное многообразие , - его когомологии с комплексными коэффициентами и левым членом, который является -страница спектральной последовательности - когомологии со значениями в пучке голоморфных дифференциальных форм . Существование указанной выше спектральной последовательности следует из леммы Пуанкаре , которая дает квазиизоморфизм комплексов пучков
вместе с обычной спектральной последовательностью, полученной от фильтруемого объекта, в данном случае фильтрация Ходжа
из .
Дегенерация
Центральная теорема, связанная с этой спектральной последовательностью, состоит в том, что для компактного кэлерова многообразия X , например проективного многообразия , указанная выше спектральная последовательность вырождается в точке-страница. В частности, он дает изоморфизм, называемый разложением Ходжа
Вырождение спектральной последовательности можно показать с помощью теории Ходжа . [1] [2] Расширение этого вырождения в относительной ситуации для собственного гладкого отображения, также был показан Делинем. [3]
Чисто алгебраическое доказательство
Для гладких собственных многообразий над полем характеристики 0 спектральную последовательность также можно записать в виде
где обозначает пучок алгебраических дифференциальных форм (также известных как дифференциалы Кэлера ) на X ,- (алгебраический) комплекс де Рама , состоящий изс дифференциалом, являющимся внешней производной . В этом обличье все члены спектральной последовательности имеют чисто алгебраическую (в отличие от аналитической) природу. В частности, вопрос о вырождении этой спектральной последовательности имеет смысл для многообразий над полем характеристики p > 0.
Deligne & Illusie (1987) показали, что для X над совершенным полем положительной характеристики спектральная последовательность вырождается, если X допускает подъем до (гладкой собственной) схемы над кольцом векторов Витта W 2 ( k ) длины два. (например, для k = F p это кольцо будет Z / p 2 ). В их доказательстве используется оператор Картье , который существует только в положительной характеристике. Этот результат вырождения в характеристике p > 0 может быть затем использован для доказательства вырождения спектральной последовательности для X над полем характеристики 0.
Некоммутативная версия
Комплекс де Рама, а также когомологии де Рама многообразия допускают обобщения на некоммутативную геометрию. Эта более общая настройка изучает категории dg . С dg-категорией можно связать ее гомологии Хохшильда , а также ее периодические циклические гомологии . Применительно к категории совершенных комплексов на гладком собственное многообразие X , эти инварианты отплатить дифференциальные формы, соответственно, когомологий де Рама X . Концевич и Сойбельман в 2009 году предположили, что для любой гладкой и собственной dg-категории C над полем характеристики 0 спектральная последовательность Ходжа-де Рама, начинающаяся с гомологий Хохшильда и примыкающая к периодическим циклическим гомологиям, вырождается:
Эта гипотеза была доказана Калединым (2008) и Калединым (2016) путем адаптации вышеупомянутой идеи Делиня и Иллюзи к общности гладких и собственных dg-категорий. Мэтью (2017) дал доказательство этого вырождения, используя топологические гомологии Хохшильда .
Смотрите также
- Спектральная последовательность Фрелихера
- Теория Ходжа
- Якобиев идеал - полезен для вычисления когомологий разложения Ходжа
Рекомендации
- Фрёлихера, Альфред (1955), "Отношения между группами когомологий Дольбы и топологическими инвариантами", Труды Национальной академии наук , 41 : 641-644, DOI : 10.1073 / pnas.41.9.641 , JSTOR 89147 , MR 0073262 , PMC 528153 , PMID 16589720
- Делинь, Пьер ; Illusie, Люк (1987), "Relèvements modulo p 2 et décomposition du complexe de Rham", Invent. Математика. , 89 (89): 247-270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , DOI : 10.1007 / bf01389078
- Каледин, Д. (2008), «Некоммутативное вырождение Ходжа-де-Рама с помощью метода Делиня-Иллюзи», Pure and Applied Mathematics Quarterly , 4 (3): 785–876, arXiv : math / 0611623 , doi : 10.4310 / PAMQ.2008.v4.n3.a8 , MR 2435845
- Каледин, Дмитрий (2016), Спектральные последовательности для циклической гомологии , arXiv : 1601.00637 , Bibcode : 2016arXiv160100637K
- Мэтью, Ахил (2017), теорема Каледина о вырождении и топологические гомологии Хохшильда , arXiv : 1710.09045 , Bibcode : 2017arXiv171009045M
- ^ См., Например, Гриффитс, Харрис Принципы алгебраической геометрии.
- ^ Делинь, П. (1968). "Теория Лефшеца и Критерии развития de Suites Spectrales" . Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques (на французском языке). 35 (1): 107–126. DOI : 10.1007 / BF02698925 . ISSN 0073-8301 .
- ^ Делинь, Пьер (1968), "Теория Lefschetz et Critères de Dégénérescence de Suites Spectrales" , Publ. Математика. ИГЕС , 35 (35): 259–278.