Дифференциальная градуированная категория

В математике , особенно в гомологической алгебре , дифференциальная градуированная категория , часто сокращаемая до dg-категории или DG категории , - это категория , множества морфизмов которой наделены дополнительной структурой дифференциального градуированного -модуля.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В деталях это означает , что морфизмы от любого объекта A к другому объекту B категории представляют собой прямую сумму ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (A, B)}$

${\ displaystyle \ bigoplus _ {п \ in \ mathbb {Z}} \ operatorname {Hom} _ {n} (A, B)}$

и на этой градуированной группе существует дифференциал d , т. е. для каждого n существует линейное отображение

${\ Displaystyle d \ двоеточие \ OperatorName {Hom} _ {n} (A, B) \ rightarrow \ operatorname {Hom} _ {n + 1} (A, B)}$,

который должен удовлетворять . Это равносильно тому, чтобы сказать, что это комплекс коцепей . Кроме того, композиция морфизмов должна быть картой комплексов, а для всех объектов A категории требуется .${\ displaystyle d \ circ d = 0}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (A, B)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\otimes \operatorname {Hom} (B,C)\rightarrow \operatorname {Hom} (A,C)}$${\displaystyle d(\operatorname {id} _{A})=0}$

Примеры [ править ]

• Любую аддитивную категорию можно рассматривать как DG-категорию, налагая тривиальную градуировку (т.е. все обращаются в нуль для ) и тривиальный дифференциал ( ).${\displaystyle \mathrm {Hom} _{n}(-,-)}$${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle d=0}$
• Немного сложнее категория комплексов над аддитивной категорией . По определению, это группа отображений, которые не должны уважать дифференциалы комплексов A и B , т. Е.${\displaystyle C({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)}$${\displaystyle A\rightarrow B[n]}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)=\prod _{l\in \mathbb {Z} }\mathrm {Hom} (A_{l},B_{l+n})}$.

Дифференциал такого морфизма степени n определяется как${\displaystyle f=(f_{l}\colon A_{l}\rightarrow B_{l+n})}$

${\displaystyle f_{l+1}\circ d_{A}+(-1)^{n+1}d_{B}\circ f_{l}}$,

где - дифференциалы A и B соответственно. Это относится к категории комплексов квазикогерентных пучков на схеме над кольцом.${\displaystyle d_{A},d_{B}}$

• DG-категория с одним объектом - это то же самое, что DG-кольцо. DG-кольцо над полем называется DG-алгеброй или дифференциальной градуированной алгеброй .

Другие свойства [ править ]

Категория малых dg-категорий может быть наделена такой структурой модельной категории , что слабые эквивалентности - это те функторы, которые индуцируют эквивалентность производных категорий . ^[1]

Учитывая дециграмм-категорию C над некоторым кольцом R , существует понятие гладкости и собственно о С , что сводится к обычным представлениям о гладких и собственных морфизмах в случае C является категорией квазикогерентных пучков на некоторую схему X над R .

Связь с триангулированными категориями [ править ]

DG-категория C называется пред-триангулированной, если у нее есть функтор надстройки и класс выделенных треугольников, совместимых с надстройкой, так что ее гомотопическая категория Ho ( C ) является триангулированной категорией . Триангулированная категория Т называется иметь дг повышение С , если С является pretriangulated дг категория, гомотопической категория эквивалентен Т . ^[2] Аналогично определяются расширения точного функтора между триангулированными категориями. В общем, нет необходимости в расширении триангулированных категорий или функторов между ними, например стабильной гомотопической категории.${\displaystyle \Sigma }$ можно показать, что они не возникают из категории dg таким образом. Однако существуют различные положительные результаты, например, производная категория D ( A ) абелевой категории Гротендика A допускает уникальное расширение dg.

См. Также [ править ]

• Дифференциальная алгебра
• Оценка (математика)
• Оцениваемая категория
• Дериватор

Ссылки [ править ]

• Keller, Бернхард (1994), "Выводя DG категории" , Annales Scientifiques де l'Эколь Нормаль , Série 4, 27 (1): 63-102, DOI : 10,24033 / asens.1689 , ISSN  0012-9593 , MR  1258406 , заархивировано из оригинала 05.06.2011 , получено 11.08.2011

Внешние ссылки [ править ]

• http://ncatlab.org/nlab/show/dg-category