Гладкий морфизм

В алгебраической геометрии , морфизм между схемами называется гладкой , если${\ displaystyle f: X \ to S}$

• (i) локально конечного представления
• (ii) он плоский , и
• (iii) для каждой геометрической точки слой регулярен.${\ displaystyle {\ overline {s}} \ to S}$${\ displaystyle X _ {\ overline {s}} = X \ times _ {S} {\ overline {s}}}$

(iii) означает, что каждый геометрический слой f является неособым многообразием (если он отделен). Таким образом, интуитивно говоря, гладкий морфизм дает плоское семейство неособых многообразий.

Если S - спектр алгебраически замкнутого поля и f имеет конечный тип, то восстанавливается определение неособого многообразия.

Эквивалентные определения [ править ]

Есть много эквивалентных определений гладкого морфизма. Позвольте быть локально конечного представления. Тогда следующие эквивалентны.${\ displaystyle f: X \ to S}$

1. f гладкая.
2. f формально гладкая (см. ниже).
3. f является плоским, а пучок относительных дифференциалов локально свободен от ранга, равного относительной размерности .${\ displaystyle \ Omega _ {X / S}}$${\ Displaystyle X / S}$
4. Для любого , существует окрестность точки х и окрестность из таких , что и идеала , порожденные м матрицы с размерностью м минорами является Б .${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} B}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle B = A [t_ {1}, \ dots, t_ {n}] / (P_ {1}, \ dots, P_ {m})}$${\ displaystyle (\ partial P_ {i} / \ partial t_ {j})}$
5. Локально f учитывается в том, где g является этальным.${\ displaystyle X {\ overset {g} {\ to}} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n} \ to S}$
6. Локально f учитывается в том, где g является этальным.${\ displaystyle X {\ overset {g} {\ to}} \ mathbb {A} _ {S} ^ {n} \ to \ mathbb {A} _ {S} ^ {n-1} \ to \ cdots \ в \ mathbb {A} _ {S} ^ {1} \ в S}$

Морфизм конечного типа этален тогда и только тогда, когда он гладкий и квазиконечный .

Гладкий морфизм устойчив при изменении основания и композиции. Гладкий морфизм локально имеет конечное представление.

Гладкий морфизм универсально локально ацикличен .

Примеры [ править ]

Предполагается, что гладкие морфизмы геометрически соответствуют гладким субмерсиям в дифференциальной геометрии; т.е. они являются гладкими локально тривиальными расслоениями над некоторым базовым пространством (по теореме Эресмана).

Плавный морфизм до точки [ править ]

Пусть - морфизм схем${\ displaystyle f}$

${\displaystyle {\text{Spec}}_{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

Он гладкий из-за условия якобиана: матрица Якоби

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

обращается в нуль в точках, которые имеют пустое пересечение с многочленом, так как${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

которые оба не равны нулю.

Тривиальные волокна [ править ]

Для гладкой схемы проекционный морфизм ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\times X\to X}$

гладко.

Векторные пакеты [ править ]

Каждое векторное расслоение над схемой является гладким морфизмом. Например, можно показать, что ассоциированное векторное расслоение над является взвешенным проективным пространством за вычетом точки${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

отправка

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

Обратите внимание, что пучки с прямой суммой могут быть построены с использованием волоконного произведения${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

Разделимые расширения полей [ править ]

Напомним, что расширение поля называется сепарабельным, если и только если дано представление${\displaystyle K\to L}$

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

у нас это есть . Мы можем переинтерпретировать это определение в терминах кэлеровых дифференциалов следующим образом: расширение поля сепарабельно тогда и только тогда, когда${\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1}$

${\displaystyle \Omega _{L/K}=0}$

Обратите внимание, что сюда входят все совершенные поля: конечные поля и поля характеристики 0.

Без примеров [ править ]

Особые разновидности [ править ]

Если мы рассматриваем базовую алгебру для проективного многообразия , называемого аффинным конусом многообразия , то точка в начале координат всегда особа. Например, рассмотрим аффинный конус пятикратного многообразия, заданный формулой${\displaystyle {\text{Spec}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 3}$

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

Тогда матрица Якоби имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

которое обращается в нуль в нуле, следовательно, конус особый. Подобные аффинные гиперповерхности популярны в теории особенностей из-за их относительно простой алгебры, но богатой базовой структуры.

Другой пример особого многообразия - проективный конус гладкого многообразия: для данного гладкого проективного многообразия его проективный конус - это объединение всех пересекающихся прямых . Например, проективный конус точек${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

это схема

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

Если мы посмотрим на график, это схема${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

и спроецируем его вниз на аффинную прямую , это семейство из четырех точек, вырождающихся в начале координат. Неособенность этой схемы также можно проверить с помощью условия якобиана.${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$

Вырождающиеся семьи [ править ]

Рассмотрим плоскую семью

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

Тогда волокна все гладкие, за исключением точки в начале координат. Поскольку гладкость устойчива при замене базы, это семейство не является гладким.

Неразделимые расширения полей [ править ]

Например, поле неразделимо, поэтому связанный с ним морфизм схем негладкий. Если мы посмотрим на минимальный многочлен расширения поля,${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

тогда , следовательно, дифференциалы Кэлера будут отличны от нуля.${\displaystyle df=0}$

Формально гладкий морфизм [ править ]

Можно определить гладкость без привязки к геометрии. Будем говорить , что S -схема X является формально гладкой , если для любого аффинного S -схема T и подсхемы из Т задается нильпотентнои идеалом, сюръективна , где мы писали . Тогда морфизм локально конечного типа является гладким тогда и только тогда, когда он формально гладкий.${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle X(T)\to X(T_{0})}$${\displaystyle X(T)=\operatorname {Hom} _{S}(T,X)}$

В определении «формально гладкого», если мы заменим сюръективное на «биективное» (соответственно «инъективное»), то мы получим определение формально этального (соответственно формально неразветвленного ).

Плавная смена базы [ править ]

Пусть S - схема и обозначает изображение структурной карты . Теорема о гладкой замене базы утверждает следующее: пусть - квазикомпактный морфизм , гладкий морфизм и торсионный пучок на . Если для каждого дюйма , инъективно, то база изменение морфизм является изоморфизмом.${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$${\displaystyle S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle g:S'\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X_{\text{et}}}$${\displaystyle 0\neq p}$${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

См. Также [ править ]

• гладкая алгебра
• регулярное вложение
• Формально гладкая карта

Ссылки [ править ]

• Дж. С. Милн (2012). « Лекции по этальным когомологиям »
• Дж. С. Милн. Étale cohomology , том 33 Принстонской математической серии. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1980.