В алгебраической геометрии и коммутативной алгебры , А кольцо гомоморфизм называется формально гладким (от французского : Formellement lisse ), если он удовлетворяет следующему свойству бесконечно малого подъема :
Предположим, что B задана структура A -алгебры через отображение f . Для коммутативной A -алгебры C и нильпотентного идеала , любой гомоморфизм A -алгебрможно поднять до отображения A -алгебры. Если к тому же любое такое поднятие единственно, то формально f называется этальным . [1] [2]
Формально гладкие отображения были определены Александром Гротендиком в Éléments de géométrie algébrique IV.
Для конечно представленных морфизмов формальная гладкость эквивалентна обычному понятию гладкости.
Примеры
Гладкие морфизмы
Все гладкие морфизмы эквивалентны формально гладким морфизмам конечного представления локально. Следовательно, формальная гладкость - это небольшое обобщение гладких морфизмов. [3]
Не пример
Одним из методов определения формальной гладкости схемы является использование критерия бесконечно малого подъема. Например, используя морфизм усечения критерий бесконечно малого подъема можно описать с помощью коммутативного квадрата
где . Например, если
а также
затем рассмотрим касательный вектор в начале координат заданный морфизмом колец
отправка
Обратите внимание, потому что , это действительный морфизм коммутативных колец. Тогда, поскольку поднятие этого морфизма до
имеет форму
а также , не может быть бесконечно малого подъема, поскольку он не равен нулю, поэтому не является формально гладким. Это также доказывает, что этот морфизм не является гладким из эквивалентности между формально гладкими морфизмами локально конечного представления и гладкими морфизмами.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). "Альбомы геометрических фигур: IV. Локальный этюд схемов и морфизмов, Премьер партии" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 20 : 5–259. DOI : 10.1007 / bf02684747 . Руководство по ремонту 0173675 .
- ^ Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. DOI : 10.1007 / bf02732123 . Руководство по ремонту 0238860 .
- ^ «Лемма 37.11.7 (02H6): критерий бесконечно малого подъема - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 апреля 2020 .
Внешние ссылки
- Формально гладкая с гладкими волокнами, но не гладкая https://mathoverflow.net/q/333596
- Формально гладкая, но не гладкая https://mathoverflow.net/q/195