В математике , более конкретно теория колец , идеал я из кольца R называется быть нильпотентным идеалом , если существует натуральное число K такого , что я K = 0 [1] По я к , это означает аддитивную подгруппу генерируемой по совокупности всех продуктов K элементов I . [1] Следовательно, I нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число k такое, что произведение любого k элементов I равно 0.
Понятие нильпотентного идеала намного сильнее, чем понятие ниль-идеала во многих классах колец. Однако есть случаи, когда эти два понятия совпадают - это иллюстрирует теорема Левицкого . [2] [3] Понятие нильпотентного идеала, хотя и интересно в случае коммутативных колец , наиболее интересно в случае некоммутативных колец .
Отношение к нулевым идеалам [ править ]
Понятие ниль-идеала имеет глубокую связь с понятием нильпотентного идеала, и в некоторых классах колец эти два понятия совпадают. Если идеал нильпотентен, он, конечно, равен нулю, но нулевой идеал не обязательно должен быть нильпотентным по нескольким причинам. Во-первых, нет необходимости иметь глобальную верхнюю границу для экспоненты, необходимой для уничтожения различных элементов ниль-идеала, а во-вторых, каждый элемент, являющийся нильпотентным, не приводит к обращению в нуль произведений различных элементов. [1]
В артиновом правом кольце любой ниль-идеал нильпотентен. [4] Это доказывается наблюдением, что любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, и поскольку радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (в силу артиновской гипотезы), результат следует. Фактически, это можно обобщить на нетеровы справа кольца ; этот результат известен как теорема Левицкого . [3]
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
Ссылки [ править ]
- И. Н. Герштейн (1968). Некоммутативные кольца (1-е изд.). Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-015-X.
- И. Мартин Айзекс (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Brooks / Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
