В математике , то гипотеза Кйте является проблема в теории колец , открытая в 2021 [Обновить]. Формулируется по-разному. Предположим, что R - кольцо . Один из способов сформулировать гипотезу состоит в том, что если R не имеет ниль-идеала , кроме {0}, то у него нет ниль -одностороннего идеала , кроме {0}.
Этот вопрос был задан в 1930 году Готфридом Кете (1905–1989). Гипотеза Кйте была показана, что справедливо для различных классов колец, таких как полиномиальные кольца идентичности [1] и правых нетеровских кольца , [2] , но общее решение остается неуловимым.
Эквивалентные составы
Гипотеза имеет несколько различных формулировок: [3] [4] [5]
- (Гипотеза Кете) В любом кольце сумма двух nil левых идеалов равна нулю.
- В любом кольце сумма двух односторонних ниль идеалов равна нулю.
- В любом кольце каждый ниль левый или правый идеал кольца содержится в верхнем ниль радикале кольца.
- Для любого кольца R и для любого нильидеала J из R , матрицы идеального М п ( J ) является нулевым идеалом М п ( R ) для каждого п .
- Для любого кольца R и для любого нильидеала J из R , матрица идеал М 2 ( J ) является нулевым идеалом M 2 ( R ).
- Для любого кольца R верхний нильрадикал кольца M n ( R ) - это набор матриц с элементами из верхнего нильрадикала кольца R для любого натурального числа n .
- Для любого кольца R и для любого нильидеала J из R , полиномов с неопределенными х и коэффициентами из J лежит в Jacobson радикальных кольцо многочленов R [ х ].
- Для любого кольца R , радикал Джекобсона R [ х ] состоит из многочленов с коэффициентами из верхней нильрадикале R .
Связанные проблемы
Гипотеза Амицура гласила: «Если J - ниль-идеал в R , то J [ x ] - ниль-идеал кольца многочленов R [ x ]». [6] Эта гипотеза, если она верна, доказала бы гипотезу Кете с помощью эквивалентных утверждений, приведенных выше, однако Агата Смоктунович привела контрпример . [7] Хотя это и не является опровержением гипотезы Кёте, это вызвало подозрения, что гипотеза Кёте может быть ложной. [8]
В ( Кегель 1962 ) , было доказано, что кольцо, являющееся прямой суммой двух нильпотентных подкольцев, само является нильпотентным. Возник вопрос, можно ли заменить «нильпотентный» на «локально нильпотентный» или «нильпотентный». Частичный прогресс был достигнут, когда Келарев [9] создал пример кольца, которое не является нулем, а представляет собой прямую сумму двух локально нильпотентных колец. Это демонстрирует, что на вопрос Кегеля с заменой слова «локально нильпотентный» на «нильпотентный» дан отрицательный ответ.
Сумма нильпотентного подкольца и нулевого подкольца всегда равна нулю. [10]
Рекомендации
- Кете, Готфрид (1930), "Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist", Mathematische Zeitschrift , 32 (1): 161–186, doi : 10.1007 / BF01194626
- ^ Джон К. МакКоннелл, Джеймс Кристофер Робсон, Лэнс В. Смолл, Некоммутативные нётеровы кольца (2001), стр. 484.
- ^ Лам, Т.Й., Первый курс некоммутативных колец (2001), стр.164.
- ^ Кремпа, Дж., "Логические связи между некоторыми открытыми проблемами, касающимися ниль-колец", Fundamenta Mathematicae 76 (1972), нет. 2, 121–130.
- ^ Лам, Т.Й., Первый курс некоммутативных колец (2001), стр.171.
- ^ Лам, Т.Ю., Упражнения по классической теории колец (2003), стр. 160.
- ^ Амицур, С.А. Нильские радикалы. Исторические заметки и некоторые новые результаты Кольца, модули и радикалы (Proc. Internat. Colloq., Keszthely, 1971), стр. 47–65. Коллок. Математика. Soc. Янош Бойяи, Vol. 6, Северная Голландия, Амстердам, 1973.
- ^ Смоктунович, Агата . Кольца многочленов над ниль-кольцами не обязательно должны быть нулевыми J. Алгебра 233 (2000), вып. 2, стр. 427–436.
- ^ Лам, Т.Й., Первый курс некоммутативных колец (2001), стр.171.
- ^ Келарев, А. В., Сумма двух локально нильпотентных колец не может быть нулем, Arch. Математика. 60 (1993), стр. 431–435.
- ^ Ферреро, М., Пучиловски, Э. Р., О кольцах, которые являются суммами двух подколец, Arch. Математика. 53 (1989), стр. 4–10.