В теории колец , разделе математики , радикал кольца - это идеал «плохих» элементов кольца .
Первым примером радикала был нильрадикал, введенный Кете (1930) на основе предположения Веддерберна (1908) . В последующие несколько лет было открыто несколько других радикалов, наиболее важным примером которых является радикал Якобсона . Общая теория радикалов была определена независимо (Амицур 1952 , 1954 , 1954b ) и Курош (1953) .
Определения [ править ]
В теории радикалов кольца обычно считаются ассоциативными, но они не обязательно должны быть коммутативными и иметь единичный элемент. В частности, каждый идеал кольца также является кольцом.
Радикальный класс (называемый также радикальное свойством или просто радикалом ) является класс σ колец возможно без идентичностей, например , что:
- гомоморфный образ кольца в σ также находится в σ
- каждое кольцо R содержит идеал S ( R ) в а , который содержит любой другой идеал R , которое в а
- S ( R / S ( R )) = 0. В идеале S ( R ) называется радикалом, или а-радикал, содержащий от R .
Изучение таких радикалов называется теорией кручения .
Для любого класса колец δ существует наименьший радикальный класс L δ, содержащий его, называемый нижним радикалом кольца δ. Оператор L называется оператором нижнего радикала .
Класс колец называется регулярным, если каждый ненулевой идеал кольца в классе имеет ненулевой образ в классе. Для каждого регулярного класса колец δ существует наибольший радикальный класс U δ, называемый верхним радикалом кольца δ, имеющий нулевое пересечение с δ. Оператор U называется оператором верхнего радикала .
Класс колец называется наследственным, если каждый идеал кольца из этого класса также принадлежит этому классу.
Примеры [ править ]
Радикал Джейкобсона [ править ]
Пусть R - любое кольцо, не обязательно коммутативное. Якобсона радикал R является пересечением аннуляторов всех простых правых R - модулей.
Существует несколько эквивалентных характеристик радикала Джекобсона, таких как:
- J ( R ) является пересечением регулярного максимального справа (или слева) идеалов R .
- J ( R ) является пересечением всех вправо (или влево) примитивных идеалов R .
- J ( R ) является правильным максимальным (или левой) квазирегулярным вправо (соответственно влево) идеал R .
Как и с нильрадикал, мы можем распространить это определение на произвольные двусторонних идеалов I путем определения J ( I ) , чтобы быть прообразом J ( R / I ) при проекции карты R → R / I .
Если R коммутативен, радикал Джекобсона всегда содержит нильрадикал. Если кольцо R является конечно порожденной Z - алгебра, то нильрадикале равно Jacobson радикал, а в более общем смысле : радикал любого идеала Я всегда будет равно пересечение всех максимальных идеалов R , которые содержат I . Это говорит о том, что R - кольцо Якобсона .
Радикал Бэра [ править ]
Радикал Бэра кольца является пересечением простых идеалов кольца R . Эквивалентное это наименьший полупервичный идеал в R . Радикал Бэра - это нижний радикал класса нильпотентных колец. Также называется «нижний нильрадикал» (и обозначается Nil ∗ R ), «первичный радикал» и «радикал Бэра-Маккоя». Каждый элемент радикала Бэра нильпотентен , поэтому он является ниль-идеалом .
Для коммутативных колец это просто нильрадикал и полностью соответствует определению радикала идеала .
Верхний ниль-радикал или радикал Кете [ править ]
Сумма нильидеалов кольцевого R является верхним нильрадикалом Ноль * R или Кйте радикал , и является единственным по величине нулевого идеалом R . Гипотеза Кете спрашивает, принадлежит ли нильрадикал какой-либо левый ниль-идеал.
Единственный радикал [ править ]
Элемент (возможно некоммутативном кольцо) называется левым сингулярным , если оно аннулирует собой существенный левый идеал , то есть, т осталось сингулярным , если Ir = 0 для некоторого существенного левого идеала I . Множество левых особых элементов кольца R является двусторонним идеалом, называемым левым сингулярным идеалом , и обозначается . Идеал Н из R таким образом, что обозначается и называется сингулярным радикалом или Goldie кручения из R. Особый радикал содержит первичный радикал (нильрадикал в случае коммутативных колец), но может правильно содержать его даже в коммутативном случае. Однако особый радикал нётерова кольца всегда нильпотентен.
Радикал Левицки [ править ]
Радикал Левицки определяется как наибольший локально нильпотентный идеал, аналогичный радикалу Хирша – Плоткина в теории групп. Если кольцо нётерово , то радикал Левицки сам является нильпотентным идеалом, а также единственным наибольшим левым, правым или двусторонним нильпотентным идеалом.
Радикал Брауна-Маккой [ править ]
Радикал Брауна – МакКоя (называемый сильным радикалом в теории банаховой алгебры ) можно определить любым из следующих способов:
- пересечение максимальных двусторонних идеалов
- пересечение всех максимальных модулярных идеалов
- верхний радикал класса всех простых колец с единицей
Радикал Брауна – МакКоя изучается гораздо шире, чем ассоциативные кольца с единицей.
Регулярный радикал фон Неймана [ править ]
Фон Нейман регулярное кольцо является кольцо (возможно некоммутативным без единицы) таким образом, что для каждого а есть некоторые б с в = ABA . Регулярные кольца фон Неймана образуют радикальный класс. Он содержит каждое кольцо матриц над алгеброй с делением , но не содержит ниль-колец.
Артинианский радикал [ править ]
Артинов радикал обычно определяется для двусторонних нётеровых колец как сумма всех правых идеалов, которые являются артиновыми модулями . Определение симметрично слева и справа и действительно дает двусторонний идеал кольца. Этот радикал важен для изучения нётеровых колец, как отмечал Чаттерс (1980) .
См. Также [ править ]
Связанные использования радикала , не являющегося радикалом колец:
- Радикальный модуль
- Капланский радикал
- Радикал билинейной формы
Ссылки [ править ]
- Андрунакиевич, В.А. (2001) [1994], "Радикал кольца и алгебр" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Chatters, AW; Хаджарнавис, CR (1980), Кольца с условиями цепочки , Исследования по математике, 44 , Бостон, Массачусетс: Pitman (Advanced Publishing Program), стр. Vii + 197, ISBN 0-273-08446-1, Руководство по ремонту 0590045
- Дивинский, штат Нью-Джерси (1965), Rings and Radicals , Mathematical Expositions No. 14, University of Toronto Press , MR 0197489
- Гарднер, Б. Дж.; Вигандт Р. (2004), Радикальная теория колец , монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 261 , Марсель Деккер , ISBN 978-0-8247-5033-6, MR 2015465
- Goodearl, KR (1976), Теория колец , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-6354-1, Руководство по ремонту 0429962
- Грей, Мэри В. (1970), Радикальный подход к алгебре , Addison-Wesley , MR 0265396
- Кете, Готфрид (1930), "Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist", Mathematische Zeitschrift , 32 (1): 161–186, doi : 10.1007 / BF01194626
- Стенстрём, Бо (1971), кольца и модули коэффициентов, конспекты лекций по математике, 237 , Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0059904 , ISBN 978-3-540-05690-4, Руководство по ремонту 0325663 , Zbl 0229.16003
- Вигандт, Ричард (1974), радикальные и полупростые классы колец , Кингстон, Онтарио: Королевский университет , MR 0349734
