В математике , более конкретно теории колец , левого, правого или двустороннего идеала в виде кольца , как говорят, является нильидеалом , если каждый из его элементов нильпотентное . [1] [2]
Нильрадикал из коммутативного кольца является примером нильидеала; фактически, это идеал кольца, максимальный по свойству быть нулевым. К сожалению, набор нулевых элементов не всегда является идеалом для некоммутативных колец . Нильские идеалы по-прежнему связаны с интересными открытыми вопросами, особенно с нерешенной гипотезой Кете .
Коммутативные кольца
В коммутативных кольцах ниль-идеалы понятнее, чем в некоммутативных кольцах, прежде всего потому, что в коммутативных кольцах произведения, содержащие нильпотентные элементы, и суммы нильпотентных элементов являются нильпотентными. Это потому, что если a и b являются нильпотентными элементами R с a n = 0 и b m = 0, и r - любой элемент R, то ( a · r ) n = a n · r n = 0, и по биномиальная теорема, ( a + b ) m + n = 0. Следовательно, множество всех нильпотентных элементов образует идеал, известный как нильрадикал кольца. Поскольку нильрадикал содержит каждый нильпотентный элемент, идеал коммутативного кольца равен нулю тогда и только тогда, когда он является подмножеством нильрадикала, и поэтому нильрадикал является максимальным среди ниль-идеалов. Кроме того, для любого нильпотентного элемента a коммутативного кольца R идеал aR равен нулю. Однако для некоммутативного кольца в общем случае неверно, что набор нильпотентных элементов образует идеал или что a · R является ниль (односторонним) идеалом, даже если a нильпотентен.
Некоммутативные кольца
Теория нильидеалов имеет большое значение в некоммутативной теории колец. В частности, благодаря пониманию ниль-колец - колец , каждый элемент которых нильпотентен - можно получить гораздо лучшее понимание более общих колец. [3]
В случае коммутативных колец всегда существует максимальный ниль-идеал: нильрадикал кольца. Существование такого максимального ниль-идеала в случае некоммутативных колец гарантируется тем, что сумма ниль-идеалов снова равна нулю. Однако истинность утверждения о том, что сумма двух левых ниль-идеалов снова является левым ниль-идеалом, остается неуловимой; это открытая проблема, известная как гипотеза Кете . [4] Гипотеза Кете была впервые высказана в 1930 году и до сих пор остается нерешенной по состоянию на 2010 год.
Отношение к нильпотентным идеалам
Понятие ниль-идеала имеет глубокую связь с понятием нильпотентного идеала , и в некоторых классах колец эти два понятия совпадают. Если идеал нильпотентен, он, конечно, равен нулю. Есть два основных препятствия для нильпотентности нулевых идеалов:
- Нет необходимости иметь верхнюю границу экспоненты, необходимой для уничтожения элементов. Могут потребоваться произвольно высокие показатели.
- Произведение n нильпотентных элементов может быть отличным от нуля при сколь угодно большом n .
Ясно, что необходимо избегать обоих этих препятствий, чтобы нулевой идеал считался нильпотентным.
В артиновом правом кольце любой ниль-идеал нильпотентен. [5] Это доказывается наблюдением, что любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, и поскольку радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (согласно артиновой гипотезе), результат следует. Фактически, это было обобщено на нётеровы кольца справа ; результат известен как теорема Левицкого . Особенно простое доказательство, принадлежащее Утуми, можно найти в ( Herstein 1968 , теорема 1.4.5, стр. 37).
Смотрите также
Заметки
- Перейти ↑ Isaacs 1993 , p. 194
- ^ Херштейн 1968 , Определение (б), стр. 13
- ^ Раздел 2 Smoktunowicz 2006 , стр. 260
- ^ Херстейн 1968 , стр. 21 год
- Перейти ↑ Isaacs 1993 , Corollary 14.3, p. 195.
Рекомендации
- Херштейн, И. Н. (1968), Некоммутативные кольца (1-е изд.), Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-015-X
- Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, выпускной курс (1-е изд.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
- Смоктунович, Агата (2006), "Некоторые результаты в некоммутативной теории колец" (PDF) , Международный конгресс математиков, Vol. II , Цюрих: Европейское математическое общество , стр. 259–269, ISBN. 978-3-03719-022-7, МР 2275597 , извлекаются 2009-08-19