Кольцо Нётериана

В математике , более конкретно в области абстрактной алгебры, известной как теория колец , нетерово кольцо - это кольцо, которое удовлетворяет условию возрастающей цепочки для левого и правого идеалов ; то есть для любой возрастающей последовательности левых (или правых) идеалов:

${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots ,}$

существует такое натуральное число n , что:

${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

Кольца Нётер названы в честь Эмми Нётер .

Понятие нётерова кольца имеет фундаментальное значение как для коммутативной, так и для некоммутативной теории колец из-за той роли, которую оно играет в упрощении идеальной структуры кольца. Например, кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем являются Нетеровыми кольца, и , следовательно, такие теоремы , как теоремы Ласкера-Нётер , тем Krull пересечения теоремы и Гильберт основы теоремы удержание для них. Кроме того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию убывающей цепи на простых идеалах. Это свойство предлагает глубокую теорию размерности нётеровых колец, начиная с понятия размерности Крулля .

Характеристики [ править ]

Для некоммутативных колец необходимо различать три очень похожих понятия:

• Кольцо называется нётеровым слева, если оно удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых идеалах.
• Кольцо нётерово справа, если оно удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых идеалах.
• Кольцо является нётеровым, если оно одновременно левого и правого нётерского.

Для коммутативных колец все три понятия совпадают, но в целом они разные. Есть кольца, которые являются нётерскими левыми, а не правыми нётерскими, и наоборот.

Существуют и другие эквивалентные определения нётеровости слева кольца R :

• Каждый левый идеал I в R является конечно порожденным , т.е. существуют элементы в I такой , что . ^[1]${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$
• Каждый непустой набор левых идеалов R , частично упорядоченный по включению, имеет максимальный элемент . ^[1]

Аналогичные результаты справедливы для нётеровых справа колец.

Следующее условие также является эквивалентным условием для нётеровости слева кольца R и является исходной формулировкой Гильберта: ^[2]

• Принимая во внимание последовательности элементов в R , существует целое число таких , что каждое является конечной линейной комбинацией с коэффициентами в R .${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{i}}$${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$${\displaystyle r_{j}}$

Для того чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы каждый первичный идеал кольца был конечно порождён. ^[3]

Свойства [ править ]

• Если R - нётерово кольцо, то кольцо многочленов нётерово по теореме Гильберта о базисе . По индукции - нетерово кольцо. Кроме того, R [[ X ]] , кольцо степенных рядов является нётеровым кольцом.${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Если R - нётерово кольцо, а I - двусторонний идеал, то фактор-кольцо R / I также нётерово. Другими словами, образ любого сюръективного кольцевого гомоморфизма нётерова кольца является нётеровым.
• Всякая конечно порожденная коммутативная алгебра над коммутативным нётеровым кольцом нётерова. (Это следует из двух предыдущих свойств.)
• Кольцо R нётерово слева тогда и только тогда, когда каждый конечно порождённый левый R -модуль является нётеровым модулем .
• Если коммутативное кольцо допускает точный нётеров модуль над ним, то кольцо является нётеровым кольцом. ^[4]
• ( Икин – Нагата ) Если кольцо A - подкольцо коммутативного нётерова кольца B такое, что B - конечно порождённый модуль над A , то A - нётерово кольцо. ^[5]
• Аналогичным образом , если кольцо является подкольцом коммутативного нётерова кольца B таким образом, что B является строго плоско над А (или в более общем случае имеет А в качестве чистого подкольцу ), то является нетерово кольцом (см «строго плоской» статья рассуждение).
• Любая локализация коммутативного нётерова кольца нётерова.
• Следствием теоремы Акизуки – Хопкинса – Левицки является то, что всякое артиново слева кольцо нётерово слева. Другое следствие состоит в том, что артиново слева кольцо нётерово справа тогда и только тогда, когда оно артиново справа. Аналогичные утверждения с заменой «правого» и «левого» также верны.
• Левое нётерово кольцо когерентно слева, а нётерова слева область является левой областью Оре .
• (Бас) Кольцо является (левым / правым) нётеровым тогда и только тогда, когда каждая прямая сумма инъективных (левых / правых) модулей инъективна. Каждый левый инъективный модуль над левым нетеровым модулем может быть разложен в прямую сумму неразложимых инъективных модулей. ^[6]
• В коммутативном нётеровом кольце существует лишь конечное число минимальных первичных идеалов . Кроме того, для простых идеалов выполняется условие убывающей цепи .
• В коммутативной нётеровой области R каждый элемент может быть разложен на неприводимые элементы . Таким образом, если, кроме того, неприводимые элементы являются простыми элементами , то R - единственная область факторизации .

Примеры [ править ]

• Любое поле, включая поля рациональных чисел , действительных чисел и комплексных чисел , является нётеровым. (У поля есть только два идеала - само себя и (0).)
• Любое кольцо главных идеалов , такое как целые числа , является нётеровым, поскольку каждый идеал порождается одним элементом. Сюда входят области главных идеалов и евклидовы области .
• Дедекиндов домен (например, кольцо целых чисел ) является нетеровым областью , в которой каждый идеал порождается не более двух элементами.
• Координатное кольцо аффинного многообразия является нётерово кольцом, как следствие теоремы Гильберта о базисе.
• Обертывающая алгебра U конечномерной алгебры Ли является нётеровым кольцом как слева, так и справа; это следует из того факта, что ассоциированное градуированное кольцо U является частным кольца многочленов над полем; таким образом, Нётериан. ^[7] По той же причине алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов нётеровы. ^[8]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$
• Кольцо многочленов от конечного числа переменных над целыми числами или полем нетерово.

Кольца, которые не являются нётерскими, обычно (в некотором смысле) очень большие. Вот несколько примеров нётеровых колец:

• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных, X ₁ , X ₂ , X ₃ и т. Д. Последовательность идеалов ( X ₁ ), ( X ₁ , X ₂ ), ( X ₁ , X ₂ , X ₃ ) и т. Д. .. возрастает и не заканчивается.
• Кольцо всех алгебраических целых чисел не нётерово. Например, он содержит бесконечную восходящую цепочку главных идеалов: (2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ), ...
• Кольцо непрерывных функций от действительных чисел к действительным числам не является нётеровым: пусть I _n будет идеалом всех непрерывных функций f таких, что f ( x ) = 0 для всех x ≥ n . Последовательность идеалов I ₀ , I ₁ , I ₂ и т. Д. Представляет собой непрерывную восходящую цепочку.
• Кольцо стабильных гомотопических групп сфер не нётерово. ^[9]

Однако нётерово кольцо может быть подкольцом нётерова кольца. Поскольку любая область целостности является подкольцом поля, любая область целостности, не являющаяся нётеровой, может служить примером. Чтобы привести менее тривиальный пример,

• Кольцо рациональных функций, порожденных x и y / x ⁿ над полем k, является подкольцом поля k ( x , y ) только с двумя переменными.

В самом деле, есть кольца, которые являются правильными нётерскими, но не левыми нётерскими, так что нужно быть осторожным при измерении «размера» кольца таким образом. Например, если L является подгруппой Q ² изоморфна Z , пусть R кольцо гомоморфизмов F из Q ² к себе , удовлетворяющий п ( L ) ⊂ L . Выбирая базис, мы можем описать то же кольцо R как

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

Это кольцо нётерианское право, но не нётерское левое; подмножество I ⊂ R, состоящее из элементов с a = 0 и γ = 0, является левым идеалом, не конечно порожденным как левый R -модуль.

Если R - коммутативное подкольцо нётерова слева кольца S и S конечно порождён как левый R -модуль, то R нётерово. ^[10] (В частном случае, когда S коммутативно, это известно как теорема Икина .) Однако это неверно, если R не коммутативно: кольцо R из предыдущего абзаца является подкольцом левого нётерова кольца S = Hom ( Q ² , Q ² ), и S конечно порожден как левый R -модуль, но R не оставил Нётериана.

Однозначным разложением на множители не обязательно нётерово кольцо. Он удовлетворяет более слабому условию: условию возрастающей цепи для главных идеалов . Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных является примером нётеровой уникальной области факторизации.

Кольцо нормирования не нетерово , если оно не является областью главных идеалов. Он дает пример кольца, которое естественно возникает в алгебраической геометрии, но не является нётеровым.

Ключевые теоремы [ править ]

Многие важные теоремы теории колец (особенно теория коммутативных колец ) основаны на предположении, что кольца нётеровы.

Коммутативный падеж [ править ]

• Над коммутативным нётеровым кольцом каждый идеал имеет примарное разложение , что означает, что он может быть записан как пересечение конечного числа первичных идеалов (все радикалы которых различны), где идеал Q называется примарным, если он собственный и если xy ∈ Q , либо x ∈ Q, либо y ⁿ ∈ Q для некоторого натурального числа n . Например, если элемент является произведением степеней различных простых элементов, то${\displaystyle f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}}$${\displaystyle (f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})}$и, таким образом, первичное разложение является прямым обобщением факторизации на простые множители целых чисел и многочленов. ^[11]
• Нётерово кольцо определяется в терминах восходящих цепочек идеалов. С другой стороны, лемма Артина – Риса дает некоторую информацию о нисходящей цепочке идеалов, задаваемой степенями идеалов . Это технический инструмент, который используется для доказательства других ключевых теорем, таких как теорема Крулля о пересечении .${\displaystyle I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots }$
• Теория размерности коммутативных колец плохо себя ведет над нётеровыми кольцами; самая фундаментальная теорема, основная теорема Крулля об идеале , уже опирается на «нётеровское» предположение. На самом деле здесь «нетерова» допущения часто недостаточно, и вместо нее часто используются (нётеровы) универсальные цепные кольца , удовлетворяющие определенному теоретико-размерному предположению. Кольца Нётерова, появляющиеся в приложениях, в основном являются универсальной цепной связью.

Некоммутативный регистр [ править ]

• Теорема Голди

Последствия для инъективных модулей [ править ]

Для данного кольца существует тесная связь между поведением инъективных модулей над кольцом и тем, является ли кольцо нётеровым кольцом или нет. А именно, для кольца R следующие условия эквивалентны:

• R - нётерово левое кольцо.
• (Басс) Каждая прямая сумма инъективных левых R -модулей инъективна. ^[6]
• Каждый инъективный левый R -модуль представляет собой прямую сумму неразложимых инъективных модулей. ^[12]
• (Faith–Walker) There exists a cardinal number ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ such that each injective left module over R is a direct sum of ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$-generated modules (a module is ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$-generated if it has a generating set of cardinality at most ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$).^[13]
• There exists a left R-module H such that every left R-module embeds into a direct sum of copies of H.^[14]

The endomorphism ring of an indecomposable injective module is local^[15] and thus Azumaya's theorem says that, over a left Noetherian ring, each indecomposable decomposition of an injective module is equivalent to one another (a variant of the Krull–Schmidt theorem).

See also[edit]

• Krull–Akizuki theorem
• Noetherian scheme
• Artinian ring

Notes[edit]

References[edit]

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Atiyah, M. F., MacDonald, I. G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley-Longman. ISBN 978-0-201-40751-8
• Nicolas Bourbaki, Commutative algebra
• Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• Formanek, Edward; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). "Subrings of Noetherian rings". Proceedings of the American Mathematical Society. 46 (2): 181–186. doi:10.2307/2039890.
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D-modules, perverse sheaves, and representation theory, Progress in Mathematics, 236, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR 2357361, Zbl 1292.00026
• Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2nd ed.). New York: Springer. p. 19. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 0387951830. MR 1838439.
• Chapter X of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6

External links[edit]

• "Noetherian ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]