Некоммутативное кольцо

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Клеммное кольцо ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Основание - круговое кольцо p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • База - p целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • p -адические рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • База - p вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , более конкретно абстрактной алгебре и теории колец , некоммутативное кольцо - это кольцо , умножение которого не коммутативно ; то есть, существует и б в R с в · б ≠ б · . Многие авторы используют термин некоммутативное кольцо для обозначения колец, которые не обязательно являются коммутативными, и, следовательно, включают коммутативные кольца в свое определение. Некоммутативная алгебраявляется изучением результатов, применимых к кольцам, которые не должны быть коммутативными. Многие важные результаты в области некоммутативной алгебры применимы к коммутативным кольцам как частным случаям.

Хотя некоторые авторы не предполагают, что кольца обладают мультипликативной идентичностью, в этой статье мы делаем это предположение, если не указано иное.

Примеры [ править ]

Ниже приведены некоторые примеры колец, которые не являются коммутативными:

• Кольцо матриц из п матрицы с размерностью п матриц над действительными числами , где п > 1 ,
• Кватернионы Гамильтона ,
• Любое групповое кольцо, сделанное из группы, не являющейся абелевой ,
• Свободное кольцо, порожденное конечным множеством; пример двух неравных элементов ,${\displaystyle \mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$${\displaystyle 2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}}$
• Алгебра Вейля является кольцом полиномиальных дифференциальных операторов , определенных над аффинным пространством; например, где идеал соответствует коммутатору ,${\displaystyle A_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)}$
• Фактор-кольцо, где называется квантовой плоскостью ,${\displaystyle \mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})}$${\displaystyle q_{ij}\in \mathbb {C} }$
• Любая алгебра Клиффорд может быть описана в явном виде с помощью представления алгебры: Дана -векторное пространства размерности п с и квадратичной формой , ассоциированная алгебра Клиффорд имеет представление для любого базиса из ,${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle q:V\otimes V\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i},e_{j}))}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle V}$
• Супералгебры - еще один пример некоммутативных колец; их можно представить как .${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})}$

История [ править ]

Начиная с телесных колец, возникших из геометрии, изучение некоммутативных колец превратилось в важную область современной алгебры. Теория и изложение некоммутативных колец были расширены и уточнены в XIX и XX веках многочисленными авторами. Неполный список таких авторов включает Э. Артина , Ричарда Брауэра , П. М. Кон , В. Р. Гамильтона , И. Н. Херштейна , Н. Якобсона , К. Морита , Э. Нётер , Ø. Руда и другие.

Различия между коммутативной и некоммутативной алгеброй [ править ]

Поскольку некоммутативные кольца представляют собой гораздо больший класс колец, чем коммутативные кольца, их структура и поведение менее изучены. Была проделана большая работа по успешному обобщению некоторых результатов из коммутативных колец на некоммутативные кольца. Основное различие между кольцами, которые являются и не являются коммутативными, заключается в необходимости отдельно рассматривать правые идеалы и левые идеалы . Некоммутативные теоретики колец обычно навязывают условие для одного из этих типов идеалов, не требуя, чтобы оно выполнялось для противоположной стороны. Для коммутативных колец различия слева и справа не существует.

Важные классы [ править ]

Кольца с делениями [ править ]

Делительное кольцо, также называемое телом, - это кольцо, в котором возможно деление . В частности, это ненулевое кольцо ^[1], в котором каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный , т. Е. Элемент x с a · x = x · a = 1 . Другими словами, кольцо является телом тогда и только тогда, когда группа единиц равна набору всех ненулевых элементов.

Кольца с делением отличаются от полей только тем, что их умножение не обязательно должно быть коммутативным . Однако по малой теореме Веддерберна все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечны . Исторически телесные кольца иногда назывались полями, а поля назывались «коммутативными полями».

Полупростые кольца [ править ]

Модуль над (не обязательно коммутативным) кольцом с единицей называется полупростым (или вполне приводимым) , если оно является прямой суммой из простых (неприводимых) подмодулей.

Кольцо называется (слева) -полупростым, если оно полупросто как левый модуль над собой. Удивительно, но полупростое слева кольцо также полупросто справа, и наоборот. Следовательно, различие между левыми и правыми не требуется.

Полупримитивные кольца [ править ]

Полупримитивное кольцо, или полупростое кольцо Джекобсона, или J-полупростое кольцо - это кольцо, у которого радикал Джекобсона равен нулю. Это тип кольца более общий, чем полупростое кольцо , но в котором простые модули по- прежнему предоставляют достаточно информации о кольце. Кольца, такие как кольцо целых чисел, полупримитивны, а артиново полупримитивное кольцо - это просто полупростое кольцо . Полупросты кольца могут быть поняты как подпрямые продукты из примитивных колец , которые описаны с помощью теоремы плотности Jacobson .

Простые кольца [ править ]

Простое кольцо - это ненулевое кольцо , не имеющее двустороннего идеала, кроме нулевого идеала и самого себя. Простое кольцо всегда можно рассматривать как простую алгебру . Кольца, простые как кольца, но не как модули, действительно существуют: полное кольцо матриц над полем не имеет никаких нетривиальных идеалов (поскольку любой идеал в M ( n , R ) имеет вид M ( n , I ) с I an идеал R ), но имеет нетривиальные левые идеалы (а именно, наборы матриц, у которых есть фиксированные нулевые столбцы).

Согласно теореме Артина – Веддерберна каждое простое кольцо, которое является артиновым слева или справа, является матричным кольцом над телом . В частности, единственными простыми кольцами, которые являются конечномерным векторным пространством над действительными числами, являются кольца матриц над действительными числами, комплексными числами или кватернионами .

Любое факторное кольцо по максимальному идеалу является простым кольцом. В частности, поле - это простое кольцо. Кольцо R является простым тогда и только тогда, когда его противоположное кольцо R ^o просто.

Примером простого кольца, не являющегося кольцом матриц над телом, является алгебра Вейля .

Важные теоремы [ править ]

Маленькая теорема Веддерберна [ править ]

Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что каждая конечная область является полем . Другими словами, для конечных колец нет различия между областями, телами и полями.

Теорема Артина – Цорна обобщает теорему на альтернативные кольца : каждое конечное простое альтернативное кольцо является полем. ^[2]

Теорема Артина – Веддерберна [ править ]

Теорема Артина – Веддерберна является классификационной теоремой для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает , что (артины) ^[3] полупростое кольцо R изоморфно продукт из конечного числа п _я матрица с размерностью п _я матричные кольцами над телами D _I , для некоторых целых п _I , оба из которых однозначно определяются до перестановке индекса i . В частности, любое простое артиново кольцо слева или справа изоморфноп матрица с размерностью п кольцо матриц над телом D , где оба п и D однозначно определяются. ^[4]

Как прямое следствие, из теоремы Артина – Веддерберна следует, что всякое простое кольцо, конечномерное над телом (простая алгебра), является кольцом матриц . Это оригинальный результат Джозефа Веддерберна . Позднее Эмиль Артин обобщил его на случай артиновых колец.

Теорема плотности Джекобсона [ править ]

Теорема плотности Якобсон является теорема о простых модулей над кольцом R . ^[5]

Теорема может быть применена, чтобы показать, что любое примитивное кольцо можно рассматривать как «плотное» подкольцо кольца линейных преобразований векторного пространства. ^{[6] [7]} Эта теорема впервые появилась в литературе в 1945 году в знаменитой статье Натана Якобсона «Теория структуры простых колец без предположений конечности» . ^[8] Это можно рассматривать как своего рода обобщение вывода теоремы Артина-Веддерберна о структуре простых артиновых колец .

Более формально теорему можно сформулировать следующим образом:

Теорема Джекобсона о плотности. Пусть U - простой правый R -модуль, D = End ( U _R ) и X ⊂ U - конечное и D- линейно независимое множество. Если является D -линейного преобразование в U , то существует г ∈ R такое , что ( х ) = х • г для всех х в X . ^[9]

Лемма Накаямы [ править ]

Пусть J ( R ) являются радикалом Джекобсон из R . Если U - правый модуль над кольцом, R и I - правый идеал в R , то определим U · I как множество всех (конечных) сумм элементов вида u · i , где · - просто действие R на U . Обязательно, U · I является подмодуль U .

Если V является максимальный подмодуль в U , то U / V является простым . Итак, U · J ( R ) обязательно является подмножеством V по определению J ( R ) и тому факту, что U / V прост. ^[10] Таким образом, если U содержит , по меньшей мере , один (собственный) максимальный подмодуль, U · J ( R ) является собственным подмодулем U . Однако это не обязательно для произвольных модулей U над R , еслиU может не содержать максимальных подмодулей. ^[11] Естественно, если U - нётеров модуль, это верно. Если R нетеров и U является конечно порожден , то U является нётеровым модулем над R , и вывод выполняется. ^[12] Несколько примечательно то, что более слабого предположения, а именно, что U конечно порожден как R -модуль (и отсутствия предположения конечности на R ), достаточно, чтобы гарантировать заключение. По сути, это утверждение леммы Накаямы. ^[13]

А именно:

Лемма Накаямы : Пусть U будет конечно порождена правый модуль над кольцом R . Если U является ненулевой модуль, то U · J ( R ) является собственным подмодуль U . ^[13]

Вариант леммы справедливо для правых модулей над некоммутативной унитарными кольцами R . Полученная теорема иногда известна как теорема Джекобсона – Адзумая . ^[14]

Некоммутативная локализация [ править ]

Локализация - это систематический метод добавления мультипликативных обратных к кольцу , который обычно применяется к коммутативным кольцам. Для кольца R и подмножества S нужно построить некоторое кольцо R * и гомоморфизм колец из R в R * , так что образ S состоит из единиц (обратимых элементов) в R * . Кроме того, нужно, чтобы R * был «наилучшим из возможных» или «наиболее общим» способом сделать это - обычно это должно выражаться универсальным свойством . Локализация R посредством Sобычно обозначается S  ⁻¹ R ; однако в некоторых важных особых случаях используются другие обозначения. Если S - множество ненулевых элементов области целостности , то локализация - это поле дробей и поэтому обычно обозначается Frac ( R ).

Локализовать некоммутативные кольца сложнее; локализация не существует для каждого набора S предполагаемых единиц. Одним из условий, обеспечивающих существование локализации, является условие Оре .

Один случай для некоммутативных колец, где локализация представляет явный интерес, - это кольца дифференциальных операторов. Он имеет интерпретацию, например, прилегающей формальный обратный D ^-1 для оператора дифференцирования D . Это делается во многих контекстах в методах дифференциальных уравнений . В настоящее время существует большая математическая теория, называемая микролокализацией , которая связана с множеством других разделов. Микро- тег делать со связями с теорией Фурье , в частности.

Эквивалентность Мориты [ править ]

Эквивалентность Мориты - это взаимосвязь, определенная между кольцами, которая сохраняет многие теоретико-кольцевые свойства. Он назван в честь японского математика Киити Морита, который определил эквивалентность и аналогичное понятие двойственности в 1958 году.

Два кольца R и S (ассоциативные, с 1) называются ( Morita ) эквивалентными, если существует эквивалентность категории (левых) модулей над R , R-Mod , и категории (левых) модулей над S , S-Mod . Можно показать, что категории левого модуля R-Mod и S-Mod эквивалентны тогда и только тогда, когда категории правого модуля Mod-R и Mod-S эквивалентны. Далее можно показать, что любой функтор из R-Mod в S-Mod , дающий эквивалентность, автоматически аддитивен..

Группа Брауэра [ править ]

Группа Брауэра поля K - абелева группа , элементы которой являются классами эквивалентности Мориты центральных простых алгебр конечного ранга над K, а сложение индуцируется тензорным произведением алгебр. Он возник в результате попыток классификации алгебр с делением над полем и назван в честь алгебраиста Ричарда Брауэра . Группа также может быть определена в терминах когомологий Галуа . В более общем смысле группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Адзумая .

Состояние руды [ править ]

Условие Оре - это условие, введенное Ойстейном Оре в связи с вопросом о расширении за пределы коммутативных колец конструкции поля дробей или, в более общем смысле, локализации кольца . Правый остаток руды для мультипликативного подмножества S из в кольце R является то , что для более ∈ R и ˙s ∈ S , пересечение AS ∩ С.Р. ≠ ∅ . ^[15] Область, которая удовлетворяет правому условию Оре, называется правой областью Оре.. Левый случай определяется аналогично.

Теорема Голди [ править ]

В математике , теорема Голди является основным структурным результатом в теории колец , доказанной Alfred Голди в течение 1950 - х годов. То , что сейчас называется правое кольцо Голди является кольцо R , который имеет конечную однородную размерность (также называемую «конечный рангом») как правый модуль над самими собой, и удовлетворяют восходящую цепь условие на правых аннигиляторах подмножеств R .

Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди - это в точности те, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Тогда структура этого кольца частных полностью определяется теоремой Артина – Веддерберна .

В частности, теорема Голди применима к полупервичным нётеровым справа кольцам , поскольку по определению нётеровы справа кольца имеют условие возрастающей цепи на всех правых идеалах. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что правое нётерское кольцо - правильное Голди. Обратное неверно: каждая правая область Оре является правой областью Голди, а значит, и любая коммутативная область целостности .

Следствием теоремы Голди, опять же благодаря Голди, является то, что каждое полупервичное кольцо главных правых идеалов изоморфно конечной прямой сумме колец простых главных правых идеалов. Каждое кольцо первичных главных правых идеалов изоморфно кольцу матриц над правой областью Оре.

См. Также [ править ]

• Производная алгебраическая геометрия
• Некоммутативная алгебраическая геометрия
• Некоммутативный гармонический анализ
• Теория представлений (теория групп)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, выпускной курс (1-е изд.), Брукс / Коул , ISBN 0-534-19002-2
• Якобсон, Н. (1945), "Теория Структура простых колец без конечности предположений", Труды Американского математического общества , 57 : 228-245, DOI : 10,2307 / 1990204 , JSTOR  1990204
• Нагата, М. (1962), Местные кольца , Wiley-Interscience

Дальнейшее чтение [ править ]

• Херштейн, И. Н. (1968), Некоммутативные кольца , Математическая ассоциация Америки , ISBN 0-88385-015-X
• Лам, TY (2001), Первый курс в некоммутативных кольцах , Springer-Verlag