Нильпотентный

В математике , элемент х из кольца R называется нильпотентной , если существует некоторое положительное целое число п , называется индексом (или иногда степень ), такой , что х ^п = 0.

Термин был введен Бенджамином Пирсом в контексте его работы по классификации алгебр. ^[1]

Примеры [ править ]

Это определение может применяться, в частности, к квадратным матрицам . Матрица

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

нильпотентна, потому что A ³ = 0. Подробнее см. нильпотентную матрицу .

В фактор кольца Z / 9 Z , то класс эквивалентности из 3 нильпотентен , поскольку 3 ² является конгруэнтны до 0 по модулю 9.
Предположим, что два элемента a , b в кольце R удовлетворяют условию ab = 0. Тогда элемент c = ba нильпотентен, поскольку c ² = ( ba ) ² = b ( ab ) a = 0. Пример с матрицами (для a , b ):

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \; \; B = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Здесь АВ = 0, ВА = В .

По определению любой элемент нильполугруппы нильпотентен.

Свойства [ править ]

Ни один нильпотентный элемент не может быть единицей (за исключением тривиального кольца {0}, которое имеет только один элемент 0 = 1 ). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля .

An N матрицу с размерностью п матрица с элементами из в поле нильпотентна тогда и только тогда , когда его характеристический полином является т ^п .

Если x нильпотентен, то 1 - x является единицей , потому что x ⁿ = 0 влечет

{\ displaystyle (1-x) (1 + x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n-1}) = 1-x ^ {n} = 1.}

В более общем смысле сумма единичного элемента и нильпотентного элемента является единицей, когда они коммутируют.

Коммутативные кольца [ править ]

Нильпотентные элементы коммутативного кольца образуют идеал ; это следствие биномиальной теоремы . Этот идеал - нильрадикал кольца. Каждый нильпотентный элемент коммутативного кольца содержится в каждом первичном идеале этого кольца, поскольку . Так содержится в пересечении всех простых идеалов. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {N}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\mathfrak {p}}$ $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {N}}$

Если не является нильпотентным, мы можем локализовать по степеням :, чтобы получить ненулевое кольцо . Простые идеалы локализованного кольца в точности соответствуют тем простым идеалам из с . ^[2] Поскольку каждое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотент не содержится в каком-либо простом идеале. Таким образом, в точности пересекаются все простые идеалы. ^[3] $x$ $x$ $S=\{1,x,x^{2},...\}$ $S^{-1}R$ ${\mathfrak {p}}$ $R$ ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ $x$ ${\mathfrak {N}}$

Для нильрадикала имеется характеристика, аналогичная характеристике радикала Джекобсона и аннигиляции простых модулей: нильпотентными элементами кольца R являются в точности те, которые аннулируют все области целостности, внутренние по отношению к кольцу R (то есть имеют вид R / I для простых идеалов I ). Это следует из того факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы в алгебре Ли [ править ]

Позвольте быть алгеброй Ли . Тогда элемент из называется нильпотентным, если он входит в нильпотентное преобразование и является его преобразованием. См. Также: Йордановы разложения в алгебре Ли . ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\operatorname {ad} x$

Нильпотентность в физике [ править ]

Операнд Q , который удовлетворяет Q ² = 0 нильпотентна. Числа Грассмана, которые позволяют представить фермионные поля в виде интеграла по путям, являются нильпотентами, поскольку их квадраты равны нулю. Заряд BRST является важным примером в физике .

Поскольку линейные операторы образуют ассоциативную алгебру и, следовательно, кольцо, это частный случай исходного определения. ^[4]^{[5] В} более общем смысле, ввиду приведенных выше определений, оператор Q является нильпотентным, если существует n ∈ N такое, что Q ⁿ = 0 ( нулевая функция ). Таким образом, линейное отображение является нильпотентным, если оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другой пример - внешняя производная (опять же с n = 2 ). Оба связаны, также через суперсимметрию и теорию Морса , ^[6]как показано Эдвардом Виттеном в известной статье. ^[7]

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентна , когда оно выражено в терминах алгебры физического пространства . ^{[8] В} более общем смысле, техника микроаддитивности, используемая для вывода теорем, использует нильпотентные или нильквадратные бесконечно малые величины и является частью гладкого бесконечно малого анализа .

Алгебраические нильпотенты [ править ]

Двумерные двойственные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, содержащие нильпотентные пространства, включают расщепленные кватернионы (кокватернионы), расщепленные октонионы , бикватернионы и комплексные октонионы . $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$

См. Также [ править ]

Идемпотентный элемент (теория колец)
Унипотентный
Уменьшенное кольцо
Ноль идеал

Ссылки [ править ]

^ Polcino Milies & Sehgal (2002), Введение в групповые кольца . п. 127.
^ Мацумура Hideyuki (1970). «Глава 1: Элементарные результаты». Коммутативная алгебра . WA Бенджамин. п. 6. ISBN 978-0-805-37025-6.
^ Atiyah, MF; Макдональд, И.Г. (21 февраля 1994 г.). «Глава 1: Кольца и идеалы». Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. п. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.
^ Пирс, Б. Линейная ассоциативная алгебра . 1870 г.
^ Polcino Milies, Сезар; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
^ А. Роджерс, Топологическая частица и теория Морса , Класс. Квантовая гравитация. 17: 3703-3714, 2000 DOI : 10,1088 / 0264-9381 / 17/18/309 .
^ E Виттен, Суперсимметрия и теория Морса . J.Diff.Geom.17: 661–692, 1982.
^ Роулендс, П. От нуля до бесконечности: основы физики , Лондон, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

[1] Polcino Milies & Sehgal (2002), Введение в групповые кольца . п. 127.

[2] Мацумура Hideyuki (1970). «Глава 1: Элементарные результаты». Коммутативная алгебра . WA Бенджамин. п. 6. ISBN 978-0-805-37025-6.

[3] Atiyah, MF; Макдональд, И.Г. (21 февраля 1994 г.). «Глава 1: Кольца и идеалы». Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. п. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.

[4] Пирс, Б. Линейная ассоциативная алгебра . 1870 г.

[5] Polcino Milies, Сезар; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0

[6] А. Роджерс, Топологическая частица и теория Морса , Класс. Квантовая гравитация. 17: 3703-3714, 2000 DOI : 10,1088 / 0264-9381 / 17/18/309 .

[7] E Виттен, Суперсимметрия и теория Морса . J.Diff.Geom.17: 661–692, 1982.

[8] Роулендс, П. От нуля до бесконечности: основы физики , Лондон, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

[1]