для некоторого положительного целого числа . Самые маленькие такие , называется индексом из , [1] иногда степень в .
В более общем смысле нильпотентное преобразования является линейным преобразованием из векторного пространства таким образом, что для некоторого положительного целого числа (и , таким образом, для всех ). [2] [3] [4] Оба эти понятия являются частными случаями более общего понятия нильпотентности, которое применяется к элементам колец .
В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Май 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
Для квадратной матрицы с действительными (или комплексными ) элементами следующее эквивалентно:
нильпотентен.
Характеристический полином для это .
Минимальный многочлен для является для некоторого положительного целого числа .
Единственное комплексное собственное значение для - 0.
Последняя теорема верна для матриц над любым полем характеристики 0 или достаточно большой характеристики. (ср . тождества Ньютона )
Эта теорема имеет несколько следствий, в том числе:
Индекс нильпотентной матрицы всегда меньше или равен . Например, каждая нильпотентная матрица равняется нулю.
Определитель и след нилъпотентной матрицы всегда равны нулю. Следовательно, нильпотентная матрица не может быть обратимой .
Единственная нильпотентная диагонализуемая матрица - это нулевая матрица.
Классификация [ править ]
Рассмотрим матрицу сдвига :
Эта матрица имеет единицы вдоль наддиагонали и нули во всех остальных местах. В качестве линейного преобразования матрица сдвига «сдвигает» компоненты вектора на одну позицию влево, при этом ноль появляется в последней позиции:
[6]
Эта матрица нильпотентна со степенью и является канонической нильпотентной матрицей.
В частности, если любая нильпотентная матрица, то это похоже на блочно - диагональную матрицу вида
где каждый из блоков представляет собой матрицу сдвига (возможно, разного размера). Эта форма является частным случаем канонической формы Жордана для матриц. [7]
Например, любая ненулевая нильпотентная матрица 2 × 2 аналогична матрице
То есть, если является любой ненулевой нильпотентной матрицей 2 × 2, то существует базис b 1 , b 2 такой, что N b 1 = 0 и N b 2 = b 1 .
Эта классификационная теорема верна для матриц над любым полем . (Необязательно, чтобы поле было алгебраически замкнутым.)
Флаг подпространств [ править ]
Нильпотентное преобразование на естественным образом определяет флаг подпространств
и подпись
Сигнатура характеризует с точностью до обратимого линейного преобразования . Кроме того, он удовлетворяет неравенствам
И наоборот, любая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая этим неравенствам, является сигнатурой нильпотентного преобразования.
Дополнительные свойства [ править ]
Если нильпотентно, то и являются обратимыми , где есть единичная матрица . Обратные значения даются выражением
Пока она нильпотентна, обе суммы сходятся, так как только конечное число членов не равны нулю.
Если нильпотентен, то
где обозначает единичную матрицу. Наоборот, если - матрица и
для всех значений , то нильпотентен. Фактически, поскольку это многочлен степени , достаточно, чтобы это выполнялось для различных значений .
Каждую сингулярную матрицу можно записать как произведение нильпотентных матриц. [8]
Нильпотентная матрица - это частный случай сходящейся матрицы .
Обобщения [ править ]
Линейный оператор является локально нильпотентным , если для любого вектора , существует такое , что
Для операторов в конечномерном векторном пространстве локальная нильпотентность эквивалентна нильпотентности.
Заметки [ править ]
^ Херстейн (1975 , стр. 294)
^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 312)
^ Херстейн (1975 , стр. 268)
^ Nering (1970 , стр. 274)
↑ Мерсер, Идрис Д. (31 октября 2005 г.). «Нахождение» неочевидных «нильпотентных матриц» (PDF) . math.sfu.ca . самоиздан; личные данные: кандидат математических наук, Университет Саймона Фрейзера . Проверено 22 августа 2020 .
^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 312)
^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 312313)
^ Р. Салливан, Произведения нильпотентных матриц, Линейная и полилинейная алгебра , Vol. 56, № 3
Ссылки [ править ]
Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (2-е изд.), John Wiley & Sons
Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN 76091646
Внешние ссылки [ править ]
Нильпотентная матрица и нильпотентное преобразование на PlanetMath .