Теорема Левицкого
В математике , в частности , в теории колец и теории ниль-идеалов , теорема Левицкого , названная в честь Якоба Левицкого , утверждает, что в нётеровом справа кольце каждый ниль-односторонний идеал обязательно нильпотентен . [1] [2] Теорема Левицкого является одним из многих результатов, подтверждающих правдивость гипотезы Кёте , и действительно дала решение одного из вопросов Кёте, как описано в ( Levitzki 1945 ). Результат был первоначально представлен в 1939 году как ( Levitzki 1950 ), а особенно простое доказательство было дано в ( Utumi 1963).).
Предположим, что R удовлетворяет условию восходящей цепи на аннуляторах вида, где a находится в R . потом
Пусть R — нётерово справа кольцо. Тогда каждый ниль-односторонний идеал в R нильпотентен. В этом случае верхний и нижний нильрадикалы равны, и, кроме того, этот идеал является наибольшим нильпотентным идеалом среди нильпотентных правых идеалов и среди нильпотентных левых идеалов.
Доказательство . Ввиду предыдущей леммы достаточно показать, что нижний нильрадикал R нильпотентен. Поскольку R нётерово справа, существует максимальный нильпотентный идеал N. В силу максимальности N факторкольцо R / N не имеет ненулевых нильпотентных идеалов, поэтому R / N — полупервичное кольцо . В результате N содержит нижний нильрадикал R. Поскольку нижний нильрадикал содержит все нильпотентные идеалы, он также содержит N , а значит, N равен нижнему нильрадикалу. КЭД