Радикальный идеал

В коммутативной теории колец , ветвь математики , то радикал идеала является идеальным таким образом, что элемент находится в радикале , если и только если какая - то сила в ( с радикалом называют радикализацию ). Радикальный идеал (или полупервичный идеал ) является идеальным , что равно своим радикалом. Радикал первичного идеала есть первичный идеал.${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle I}$

Эта концепция обобщается на некоммутативные кольца в статье о полупервичных кольцах .

Определение [ править ]

Радикал идеала в коммутативном кольце , обозначаются или , определяются как${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ operatorname {рад} (I)}$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = \ {r \ in R \ mid r ^ {n} \ in I \ {\ hbox {для некоторых}} \ n \ in \ mathbb {Z} ^ {+} \ ! \},}$

(обратите внимание на это ). Интуитивно получается, беря все корни элементов кольца . Эквивалентно, это прообраз идеала нильпотентных элементов ( нильрадикал ) в кольце частных (через естественное отображение ). Последнее шоу само по себе является идеалом. ^{[Примечание 1]}${\ displaystyle I \ subset {\ sqrt {I}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$ ${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle \ pi \ двоеточие R \ to R / I}$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$

Если радикал из конечно порожден, то некоторая степень из содержится в . ^[1] В частности, если и - идеалы нётерова кольца , то и имеют один и тот же радикал тогда и только тогда, когда содержат некоторую степень и содержат некоторую степень .${\ displaystyle I}$${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle I}$

Если идеал совпадает со своим радикалом, то он называется радикальным идеалом или полупервичным идеалом .${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$

Примеры [ править ]

• Рассмотрим кольцо из целых чисел .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

1. Радикал идеала целых кратных есть .${\ Displaystyle 4 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 4}$${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$
2. Радикальный вариант есть .${\ Displaystyle 5 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle 5 \ mathbb {Z}}$
3. Радикальный вариант есть .${\ Displaystyle 12 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle 6 \ mathbb {Z}}$
4. В общем случае, радикал равен , где - произведение всех различных простых делителей числа , наибольшего бесквадратного множителя числа (см. Радикал целого числа ). Фактически, это обобщается на произвольный идеал (см. Раздел «Свойства» ).${\ Displaystyle м \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle r \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

• Рассмотрим идеал. Показать (используя основное свойство ) тривиально , но мы дадим несколько альтернативных методов. ^{[ требуется пояснение ]} Радикал соответствует нильрадикалу фактор-кольца, который является пересечением всех первичных идеалов фактор-кольца. Он содержится в радикале Джекобсона , который является пересечением всех максимальных идеалов, являющихся ядрами гомоморфизмов полей. Любой кольцевой морфизм должен иметься в ядре, чтобы иметь четко определенный морфизм (если бы мы сказали, например, что ядро ​​должно быть композицией, то это то же самое, что и попытка заставить${\ displaystyle I = (y ^ {4}) \ subset \ mathbb {C} [x, y].}$${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = (y)}$${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}}$${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/(y^{4}),}$${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y-1)}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C} }$${\displaystyle (x,y^{4},y-1)}$${\displaystyle 1=0}$). Поскольку он алгебраически замкнут, каждый морфизм должен пройти факторизацию, поэтому у нас есть только вычисление пересечения для вычисления радикала. Затем мы находим, что${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \{\ker(\Phi ):\Phi \in {\text{Hom}}(R,\mathbb {C} )\}}$${\displaystyle (0).}$${\displaystyle {\sqrt {0}}=(y)\subset R.}$

Свойства [ править ]

В этом разделе мы продолжим соглашение о том, что I - идеал коммутативного кольца :${\displaystyle R}$

• Это всегда верно , т.е. радикализация - это идемпотентная операция. Более того, это наименьший радикальный идеал, содержащий .${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$является пересечением всех простых идеалов в , содержащих${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

  ${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\scriptscriptstyle {\begin{array}{c}{\mathfrak {p}}{\text{ prime}}\\R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I\end{array}}}{\mathfrak {p}},}$

  и, таким образом, радикал простого идеала равен самому себе. Доказательство: с одной стороны, каждый первичный идеал радикален, поэтому это пересечение содержит . Предположим, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$что это элемент, которого нет , и пусть будет множество По определению , должно быть не пересекающимся с . также мультипликативно замкнуто . Таким образом, согласно варианту теоремы Крулля существует простой идеал, который содержит и все еще не пересекается с (см. Простой идеал ). Поскольку содержит , но не содержит , это показывает, что не находится в пересечении простых идеалов, содержащих${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{r^{n}\mid n=0,1,2,...\}.}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I}$. Это завершает доказательство. Утверждение можно немного усилить: радикал является пересечением всех простых идеалов, которые являются минимальными среди содержащих .${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$
• Специализируя последнюю точку, нильрадикал (множество всех нильпотентных элементов) равен пересечению всех простых идеалов ^{[Примечание 2]}${\displaystyle R}$

  ${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{\scriptscriptstyle {\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.}$

  Это свойство эквивалентно предыдущему с помощью естественного отображения, которое дает биекцию${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$${\displaystyle u}$

  ${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&\left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace &{\overset {u}{\rightleftharpoons }}&\left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,\end{array}}}$

  определено ^{[2] [Примечание 3]}${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .}$
• Идеал в кольце является радикальным тогда и только тогда , когда фактор - кольцо будет уменьшено .${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$
• Радикал однородного идеала однороден.
• Радикал пересечения идеалов равно пересечение их радикалы: .${\displaystyle {\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$
• Радикал первичного идеала первичен . Если радикал идеала максимален, то он первичен. ^[3]${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$
• Если это идеал, то . Поскольку простые идеалы являются радикальными идеалами, для любого простого идеала .${\displaystyle I}$${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• Позвольте быть идеалы кольца . Если есть comaximal , то есть comaximal. ^{[Примечание 4]}${\displaystyle I,J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}}$${\displaystyle I,J}$
• Пусть - конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом . потом${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$ ^[4]

где есть поддержка от и есть множество связанных простых чисел из .${\displaystyle \operatorname {supp} M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {ass} M}$${\displaystyle M}$

Приложения [ править ]

Первичной мотивацией при изучении радикалов является Nullstellensatz Гильберта в коммутативной алгебре . Одна из версий этой знаменитой теоремы утверждает, что для любого идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем выполняется${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Bbbk [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \Bbbk }$

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}}$

куда

${\displaystyle \operatorname {V} (J)=\{x\in \Bbbk ^{n}\ |\ f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\}}$

и

${\displaystyle \operatorname {I} (V)=\{f\in \Bbbk [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.}$

С геометрической точки зрения это означает, что если многообразие вырезано полиномиальными уравнениями , то единственные другие многочлены, которые обращаются в нуль, - это те, которые лежат в радикале идеала . ${\displaystyle V}$${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{r})}$

Иначе говоря: композиция - это оператор замыкания на множестве идеалов кольца.${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}}$

См. Также [ править ]

• Радикал Якобсона
• Нильрадикал кольца
• Настоящий радикал

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5 
• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 . 
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001