Радикал целого числа

В теории чисел , то радикал из положительного целого числа п определяются как произведение различных простых чисел делящихся п . Каждый простой делитель числа n встречается ровно один раз как множитель этого продукта:

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

Радикал играет центральную роль в утверждении гипотезы abc . ^[1]

Примеры [ править ]

Радикальные числа для первых нескольких натуральных чисел:

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (последовательность A007947 в OEIS ).

Например,

$${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

и поэтому

$${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

Свойства [ править ]

Функция является мультипликативной (но не вполне мультипликативным ).${\displaystyle \mathrm {rad} }$

Радикал любого целого числа является наибольшим делителем числа без квадратов, поэтому его также называют бесквадратным ядром числа . ^[2] Не существует известного алгоритма с полиномиальным временем для вычисления бесквадратной части целого числа. ^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Определение обобщается наибольшим свободном от делителя , , которые являются мультипликативными функциями , которые действуют на главных державах , как${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

Случаи и приведены в таблицах в OEIS :  A007948 и OEIS :  A058035 .${\displaystyle t=3}$${\displaystyle t=4}$

Понятие радикала происходит в аЬсе гипотезе , в которой говорится , что для любого , существует конечные такие , что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел , и удовлетворяющий , ^[1]${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+b=c}$

$${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

Для любого целого числа все нильпотентные элементы конечного кольца кратны .${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$

Ссылки [ править ]