Квазиконечный морфизм

В алгебраической геометрии , ветвь математики , А морфизм F  : X → Y из схем является квазиконечным , если он имеет конечный типа и удовлетворяют любые из следующих эквивалентных условий: ^[1]

• Каждая точка x из X изолирована в своем слое f ⁻¹ ( f ( x )). Другими словами, каждый слой представляет собой дискретное (следовательно, конечное) множество.
• Для каждой точки x из X схема f ⁻¹ ( f ( x )) = X × _Y Spec κ ( f ( x )) является конечной схемой κ ( f ( x )). (Здесь κ ( p ) - поле вычетов в точке p .)
• Для каждой точки х из X , конечно порожден над .${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x} \ otimes \ kappa (f (x))}$${\ Displaystyle \ каппа (е (х))}$

Квазиконечные морфизмы были первоначально определены Александром Гротендиком в SGA 1 и не включали гипотезу конечного типа. Эта гипотеза была добавлена ​​к определению в EGA II 6.2, потому что она позволяет дать алгебраическую характеристику квазиконечности в терминах стеблей .

Для общего морфизма F  : X → Y и точка х в X , F называется квазиконечным по й , если существует открытые аффинные окрестности U по й и V из ф ( х ) такие , что ф ( U ) содержится в V и такое, что ограничение f  : U → V квазиконечное. е является локально квазиконечнымесли он квазиконечно в каждой точке X . ^[2] Квазикомпактный локально квазиконечный морфизм квазиконечен.

Свойства [ править ]

Для морфизма f верны следующие свойства. ^[3]

• Если f квазиконечное, то индуцированное отображение f _red между редуцированными схемами квазиконечное.
• Если f - замкнутое погружение, то f квазиконечное.
• Если X нетерово, а f - погружение, то f квазиконечное.
• Если g: Y → Z и если g ∘ f квазиконечное, то f квазиконечное, если выполняется одно из следующих утверждений:
  1. g отделен,
  2. X - нётер,
  3. X × _Z Y локально нётерово.

Квазиконечность сохраняется заменой базы. Составное и послойное произведение квазиконечных морфизмов квазиконечное. ^[3]

Если F является неразветвленным в точке х , то е квазиконечна при х . Наоборот, если f квазиконечна в x , а также если локальное кольцо x в слое f ⁻¹ ( f ( x )) является полем и конечным сепарабельным расширением κ ( f ( x )), тогда f не разветвляется в x . ^[4]${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {f ^ {- 1} (f (x)), x}}$

Конечные морфизмы квазиконечны. ^[5] Квазиконечный собственный морфизм локально конечного представления конечен. ^[6] Действительно, морфизм конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный (Делинь).

Обобщенная форма Зарискому основной теоремы состоит в следующем: ^[7] Предположим , что Y является квазикомпактна и квази-разделены. Пусть f квазиконечное, отделенное и конечное представление. Тогда f множится как где первый морфизм - открытое погружение, а второй - конечно. ( X открыто в конечной схеме над Y. )${\ Displaystyle X \ hookrightarrow от X '\ до Y}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гротендик, Александр ; Мишель Рейно (2003) [1971]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) (на французском языке) (обновленное издание). Société Mathématique de France. xviii + 327. ISBN 2-85629-141-4.
• Гротендик, Александр ; Жан Дьедонне (1961). "Альбомы геометрических элементов (разработки с участием Жана Дьедонне): II. Глобальный эксперимент по классам морфизмов" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. DOI : 10.1007 / bf02699291 .
• Гротендик, Александр ; Жан Дьедонне (1966). "Algébrique Éléments de géométrie algébrique (разработки с участием Жана Дьедонне): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255.