Котангенциальный пучок

В алгебраической геометрии, учитывая морфизм F : X → S схема, то котангенс пучок на X является пучком -модулей${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ , который представляет (или классифицирует) S - деривации ^[1] в том смысле: для любых -модулей F , существует изоморфизм${\ displaystyle \ Omega _ {X / S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X/S},F)=\operatorname {Der} _{S}({\mathcal {O}}_{X},F)}$

что , естественно , зависит F . Другими словами, котангенсный пучок характеризуется универсальным свойством: существует такой дифференциал , что любое S -дифференцирование множится как с некоторыми .${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/S}}$${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X}\to F}$${\displaystyle D=\alpha \circ d}$${\displaystyle \alpha :\Omega _{X/S}\to F}$

В случае, если X и S - аффинные схемы, приведенное выше определение означает, что это модуль кэлерова дифференциалов . Стандартный способ построения кокасательного пучка (например, Hartshorne, Ch II. § 8) - это диагональный морфизм (который сводится к склеиванию модулей кэлеровских дифференциалов на аффинных картах для получения глобально определенного кокасательного пучка). Двойственный модуль к кокасательный пучок на схеме X называется касательным пучком на X и иногда обозначается через . ^[2]${\displaystyle \Omega _{X/S}}$${\displaystyle \Theta _{X}}$

Есть две важные точные последовательности:

1. Если S → T - морфизм схем, то

   ${\displaystyle f^{*}\Omega _{S/T}\to \Omega _{X/T}\to \Omega _{X/S}\to 0.}$

2. Если Z - замкнутая подсхема в X с пучком идеалов I , то

   ${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{X/S}\otimes _{O_{X}}{\mathcal {O}}_{Z}\to \Omega _{Z/S}\to 0.}$^{[3] [4]}

Пучок котангенса тесно связан с гладкостью разновидности или схемы. Например, алгебраическое многообразие гладко размерности n тогда и только тогда, когда Ω _X - локально свободный пучок ранга n . ^[5]

Построение через диагональный морфизм [ править ]

Пусть - морфизм схем, как во введении, и ∆: X → X × _S X - диагональный морфизм. Тогда образ Δ локально замкнут ; то есть, закрытый в некотором открытом подмножестве W из X × _S X (изображение замкнуто тогда и только тогда , когда F будет отделен ). Пусть I идеал пучок Δ ( X ) в W . Затем кладут:${\displaystyle f:X\to S}$

${\displaystyle \Omega _{X/S}=\Delta ^{*}(I/I^{2})}$

и проверяет, что этот пучок модулей удовлетворяет требуемому универсальному свойству кокасательного пучка (Hartshorne, Ch II. Remark 8.9.2). Конструкция показывает, в частности, что кокасательный пучок квазикогерентен . Это когерентное , если S является нётеровым и е конечного типа.

Сказанное означает , что определение котангенс пучок на X есть ограничение на X от конормального пучка к диагональному вложению X над S .

См. Также: комплект основных частей .

Отношение к тавтологическому пучку строк [ править ]

Котангенс пучок на проективном пространстве связан с тавтологической линией пучок O (-1) с помощью следующей точной последовательности: запись для проективного пространства над кольцом R ,${\displaystyle \mathbf {P} _{R}^{n}}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbf {P} _{R}^{n}/R}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}\to 0.}$

(См. Также Класс Черна # Комплексное проективное пространство .)

Стек котангенса [ править ]

По поводу этого понятия см. § 1

А. Бейлинсон и В. Дринфельд, Квантование интегрируемой системы Хитчина и собственные пучки Гекке [1] ^[6]

Там, стек котангенс на алгебраической стеке X определяются как относительная Spec симметричной алгебры касательного пучка на X . (Примечание: в общем, если Е является локально свободным пучком конечного ранга, является алгебраическими векторным расслоением , соответствующего E . ^{[ Править ]} )${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} ({\check {E}}))}$

Смотрите также: расслоение Хитчина (котангенс стека - это полное пространство расслоения Хитчина).${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Примечания [ править ]

См. Также [ править ]

• котангенс комплекс

Ссылки [ править ]

• «Связка дифференциалов морфизма» .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157

Внешние ссылки [ править ]

• «Вопросы о касательном и котангенсном расслоении на схемах» . Обмен стеками . 2 ноября 2014 г.