В алгебраической геометрии , А нётерова схема является схемой , которая допускает конечное покрытие открытых аффинных подмножеств, нётерские кольца . В более общем смысле схема является локально нётеровой, если она покрывается спектрами нётеровых колец. Таким образом, схема нётерова тогда и только тогда, когда она локально нётерова и квазикомпактна. Как и в случае с кольцами Нётер , концепция названа в честь Эмми Нётер .
Можно показать, что в локально нётеровой схеме, если открытое аффинное подмножество, то A - нётерово кольцо. В частности,является нётеровой схемой тогда и только тогда, когда A - нётеровское кольцо. Пусть X - локально нётерова схема. Тогда местные кольца нётеровы кольца.
Нетерова схема - это нетерово топологическое пространство . Но в целом обратное неверно; рассмотрим, например, спектр кольца нётеровых оценок.
Определения распространяются на формальные схемы .
Свойства и нётеровские гипотезы
Наличие (локально) нётеровой гипотезы для утверждения о схемах обычно делает множество проблем более доступными, поскольку они в достаточной мере закрепляют многие из их свойств.
Девисаж
Одной из наиболее важных структурных теорем о нётеровых кольцах и нётеровых схемах является теорема Девисажа . Эта теорема позволяет разложить аргументы о когерентных пучках на индуктивные аргументы. Это потому, что при наличии короткой точной последовательности когерентных пучков
Доказательство того, что один из пучков обладает некоторым свойством, эквивалентно доказательству того, что два других обладают этим свойством. В частности, при фиксированном когерентном пучке и подкогерентный пучок , показывая есть какое-то свойство, которое можно свести к рассмотрению а также . Поскольку этот процесс может быть применен нетривиальным образом только конечное число раз, это делает возможным множество индукционных аргументов.
Количество неприводимых компонентов
Каждая нётерова схема может иметь только конечное число компонентов. [1]
Морфизмы из нётеровых схем квазикомпактны.
Каждый морфизм из нётеровой схемы является квазикомпактна . [2]
Гомологические свойства
У нётеровых схем есть много хороших гомологических свойств. [3]
Когомологии Чеха и Шефа
Когомологии Чеха и когомологии пучков согласовывают аффинное открытое покрытие. Это позволяет вычислить пучковые когомологии из с использованием когомологий Чеха для стандартной открытой крышки.
Совместимость копределов с когомологиями
Учитывая прямую систему пучков абелевых групп по нётеровой схеме существует канонический изоморфизм
имея в виду функторы
сохранять прямые ограничения и сопутствующие продукты.
Производное прямое изображение
Для локально конечного морфизма типа по нётеровой схеме и комплекс связок с ограниченными когерентными когомологиями такими, что пучки иметь надлежащую поддержку , то производный pushforward имеет ограниченные когерентные когомологии над , что означает, что это объект в . [4]
Примеры
Многие из схем, которые встречаются в природе, являются схемами Нётера.
Локально конечного типа над нётеровой базой
Другой класс примеров нётеровых схем [5] - это семейства схем где база нётерский и имеет конечный тип над . Это включает в себя множество примеров, таких как компоненты связности схемы Гильберта , то есть с фиксированным многочленом Гильберта. Это важно, потому что это подразумевает, что многие пространства модулей, встречающиеся в дикой природе, являются нетеровыми, например, Модули алгебраических кривых и Модули стабильных векторных расслоений . Кроме того, это свойство можно использовать, чтобы показать, что многие схемы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, на самом деле нетеровы.
Квазипроективные многообразия
В частности, квазипроективные многообразия являются нётеровыми схемами. Этот класс включает в себя алгебраические кривые , эллиптические кривые , абелевы многообразия , схемы Калаби-Яу , сорта Симуры , K3 поверхностей и кубические поверхности . Практически все объекты классической алгебраической геометрии вписываются в этот класс примеров.
Бесконечно малые деформации нётеровых схем
В частности, бесконечно малые деформации нётеровых схем снова нётеровы. Например, учитывая кривую, любая деформация также является нётеровой схемой. Башню таких деформаций можно использовать для построения формальных нётеровых схем.
Не примеры
Схемы над адельными базами
Одно из естественных колец, которые не являются нётеровыми, - это Кольцо аделей. для поля алгебраических чисел . Чтобы иметь дело с такими кольцами, рассматривается топология, дающая топологические кольца . Существует понятие алгебраической геометрии над такими кольцами, разработанное Вейлем и Александром Гротендиком . [6]
Кольца целых чисел над бесконечными расширениями
Учитывая бесконечное расширение поля Галуа , такой как (путем присоединения всех корней из единицы) кольцо целых чисел является нётеровым кольцом, которое является размерностью . Это разрушает интуицию о том, что конечномерные схемы обязательно нётеровы. Кроме того, этот пример дает мотивацию для изучения схем на основе нётерова; то есть схемы, может быть интересной и плодотворной темой.
Частным случаем [7] с. 93 такого расширения является взятие максимального неразветвленного расширения и рассматривая кольцо целых чисел . Индуцированный морфизм
образует универсальное покрытие из.
Кольцо многочленов с бесконечным числом образующих
Другой пример нётеровой конечномерной схемы (фактически нульмерной) дается следующим фактором кольца многочленов с бесконечным числом образующих.
Смотрите также
- Превосходное кольцо - немного более жесткое, чем кольца Нётерана, но имеет лучшие свойства
- Теорема Шевалле о конструктивных множествах
- Основная теорема Зарисского
- Дуализирующий комплекс
- Теорема нагаты о компактификации
Рекомендации
- ^ «Лемма 28.5.7 (0BA8) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .
- ^ «Лемма 28.5.8 (01P0) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .
- ^ "Когомологии пучков" (PDF) .
- ^ «Лемма 36.10.3 (08E2) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .
- ^ «Лемма 29.15.6 (01T6) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 .
- ^ Конрад, Брайан. «Подходы Вейля и Гротендика к адельным точкам» (PDF) . Архивировано 21 июля 2018 года (PDF) .
- ^ Нойкирх, Юрген (1999). «1,13». Алгебраическая теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC 851391469 .
- Робин Хартсхорн , Алгебраическая геометрия .
- Сильнее. Когомологии арифметических групп.
- Схема Нётера. Энциклопедия математики. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Noetherian_scheme&oldid=34135