Кубическая поверхность

В математике , А кубическая поверхность представляет собой поверхность в 3-мерном пространстве определяется одним полиномиальным уравнением степени 3. кубических поверхностей являются фундаментальными примерами в алгебраической геометрии . Теория упрощается, работая в проективном пространстве, а не в аффинном пространстве , поэтому кубические поверхности обычно рассматриваются в проективном 3-пространстве . Теория также становится более единообразной, если сосредоточить внимание на поверхностях над комплексными числами, а не над действительными числами ; обратите внимание, что сложная поверхность имеет действительную размерность 4. Простым примером является кубическая поверхность Ферма.${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0}$

в . Многие свойства кубических поверхностей в целом верны для поверхностей дель Пеццо .${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Гладкая кубическая поверхность (поверхность Клебша)

Рациональность кубических поверхностей [ править ]

Центральная особенность гладких кубических поверхностей X над алгебраически замкнутым полем состоит в том, что все они рациональны , как показал Альфред Клебш в 1866 году. ^[1] То есть существует взаимно однозначное соответствие, определяемое рациональными функциями между проективными плоскость минус подмножество более низкой размерности и X минус подмножество более низкой размерности. В более общем смысле любая неприводимая кубическая поверхность (возможно, особая) над алгебраически замкнутым полем рациональна, если только это не проективный конус над кубической кривой. ^[2]${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$В этом отношении кубические поверхности намного проще гладких поверхностей степени не ниже 4 дюйма , которые никогда не бывают рациональными. В нулевой характеристике гладкие поверхности степени не менее 4 дюймов даже не являются однолинейными . ^[3]${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Сильнее, Клебша- показали , что каждая гладкая кубическая поверхность в над алгебраически замкнутым полем изоморфна раздутия из в 6 точках. ^[4] В результате, каждая гладкая кубическая поверхность над комплексными числами диффеоморфен к связной сумме , где знак минус относится к изменению ориентации . Наоборот, раздутие в 6 точках изоморфно кубической поверхности тогда и только тогда, когда точки находятся в общем положении, что означает, что никакие три точки не лежат на прямой и все 6 не лежат на конике . Как комплексное многообразие (или алгебраическое многообразие${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {CP} ^ {2} \ # 6 (- \ mathbf {CP} ^ {2})}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$) поверхность зависит от расположения этих 6 точек.

27 линий на кубической поверхности [ править ]

Большинство доказательств рациональности кубических поверхностей начинается с поиска линии на поверхности. (В контексте проективной геометрии прямая изоморфна .) Точнее, Артур Кэли и Джордж Сэлмон показали в 1849 году, что каждая гладкая кубическая поверхность над алгебраически замкнутым полем содержит ровно 27 прямых. ^[5] Это отличительная черта кубик: гладкая поверхность квадрики (степени 2) покрывается непрерывным семейством прямых, в то время как большинство поверхностей степени не менее 4 in не содержат прямых. Другой полезный метод нахождения 27 линий включает в себя исчисление Шуберта, которое вычисляет количество прямых, используя теорию пересечений грассманиана прямых на${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$.

При изменении коэффициентов гладкой комплексной кубической поверхности 27 линий непрерывно перемещаются. В результате замкнутый цикл в семействе гладких кубических поверхностей определяет перестановку 27 прямых. Группа перестановок из 27 линий , возникающих таким образом, называется группой монодромии семейства кубических поверхностей. Замечательное открытие XIX века заключалось в том, что группа монодромии не является ни тривиальной, ни всей симметрической группой ; это группа порядка 51840 , транзитивно действующая на множестве линий. ^[4] Эта группа постепенно была признана ( Эли Картан (1896), Артур Кобл (1915-17) и${\ displaystyle S_ {27}}$Патрик дю Валь (1936)) как группа типа Вейля, группа , порожденная отражениями в 6-мерном вещественном векторном пространстве, связанная с группой Ли размерности 78. ^[4]${\ displaystyle E_ {6}}$ E 6 {\ displaystyle E_ {6}}

Же группа порядка 51840 может быть описана в комбинаторных терминах, как группы автоморфизмов на графике из 27 строк, с вершиной для каждой линии и ребра всякий раз , когда две линии встречаются. ^[6] Этот граф был проанализирован в XIX веке с использованием таких подграфов, как конфигурация двойной шестерки Шлефли . Дополнительный граф (с ребром, если две прямые не пересекаются) известен как граф Шлефли .

Многие задачи о кубических поверхностях можно решить с помощью комбинаторики корневой системы . Например, 27 прямых можно отождествить с весами фундаментального представления группы Ли . Возможные наборы особенностей, которые могут возникать на кубической поверхности, могут быть описаны в терминах подсистем корневой системы. ^[7] Одно из объяснений этой связи состоит в том, что решетка возникает как ортогональное дополнение к антиканоническому классу в группе Пикара с его формой пересечения (исходя из теории пересечений${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$кривых на поверхности). Для гладкой комплексной кубической поверхности решетку Пикара также можно отождествить с группой когомологий .${\displaystyle H^{2}(X,\mathbf {Z} )}$

Эккарда точка является точкой , где 3 из 27 линий с концами. Большинство кубических поверхностей не имеют точки Эккарда, но такие точки встречаются на подмножестве коразмерности -1 семейства всех гладких кубических поверхностей. ^[8]

Учитывая отождествление между кубической поверхностью на X и раздутием в 6 точках в общем положении, 27 прямых на X можно рассматривать как: 6 исключительных кривых, созданных раздутием, бирациональные преобразования 15 прямых через пары 6 точек в , и бирациональные преобразования 6 коник, содержащих все 6 точек, кроме одной. ^[9] Данная кубическая поверхность может рассматриваться как раздутие более чем одним способом (фактически, 72 различными способами), и поэтому описание как раздутие не обнаруживает симметрии между всеми 27 из них. линий.${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

Связь между кубическими поверхностями и корневой системой обобщается на отношения между всеми поверхностями дель Пеццо и корневыми системами. Это одна из многих классификаций ADE по математике. Продолжая эти аналогии, Вера Серганова и Алексей Скоробогатов установили прямую геометрическую связь между кубическими поверхностями и группой Ли . ^[10]${\displaystyle E_{6}}$${\displaystyle E_{6}}$

В физике 27 линий можно отождествить с 27 возможными зарядами М-теории на шестимерном торе (6 импульсов; 15 мембран ; 6 пятибран ), а группа E ₆ естественным образом действует как группа U-двойственности . Это отображение между поверхностями дель Пеццо и M-теорией на торах известно как загадочная двойственность .

Специальные кубические поверхности [ править ]

Гладкая комплексная кубическая поверхность с наибольшей группой автоморфизмов - это кубическая поверхность Ферма, определяемая формулой${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

Его группа автоморфизмов является расширением порядка 648. ^[11]${\displaystyle 3^{3}:S_{4}}$

Следующей наиболее симметричной гладкой кубической поверхностью является поверхность Клебша , которая может быть определена двумя уравнениями${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

Ее группа автоморфизмов - это симметрическая группа порядка 120. После сложной линейной замены координат поверхность Клебша также может быть определена уравнением${\displaystyle S_{5}}$

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0}$

в .${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Среди особых комплексных кубических поверхностей узловая кубическая поверхность Кэли является единственной поверхностью с максимальным числом узлов 4:

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

Его группа автоморфизмов имеет порядок 24.${\displaystyle S_{4}}$

Реальные кубические поверхности [ править ]

В отличие от комплексного случая, пространство гладких кубических поверхностей над действительными числами не связно в классической топологии (основанной на топологии R ). Его компоненты связности (другими словами, классификация гладких вещественных кубических поверхностей с точностью до изотопии ) были определены Людвигом Шлефли (1863 г.), Феликсом Клейном (1865 г.) и Х. Г. Цойтеном (1875 г.). ^[12] А именно, существует 5 изотопических классов гладких вещественных кубических поверхностей X in , различающихся топологией пространства вещественных точек . Пространство вещественных точек диффеоморфно либо${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X(\mathbf {R} )}$${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$, или несвязное объединение и 2-сферы, где обозначает связную сумму r копий реальной проективной плоскости . Соответственно, количество реальных строк, содержащихся в X, равно 27, 15, 7, 3 или 3.${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$

Гладкая вещественная кубическая поверхность рациональна над R тогда и только тогда, когда ее пространство вещественных точек связно, следовательно, в первых четырех из предыдущих пяти случаев. ^[13]

Пространство модулей кубических поверхностей [ править ]

Две гладкие кубические поверхности изоморфны как алгебраические многообразия тогда и только тогда, когда они эквивалентны некоторым линейным автоморфизмом . Геометрическая теория инвариантов дает пространство модулей кубических поверхностей с одной точкой для каждого класса изоморфизма гладких кубических поверхностей. Это пространство модулей имеет размерность 4. Точнее, это открытое подмножество весового проективного пространства P (12345) Салмона и Клебша (1860). В частности, это рациональная четверка. ^[14]${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Конус кривых [ править ]

Линии на кубической поверхности X над алгебраически замкнутым полем могут быть описаны внутренне, без ссылки на вложение X в : они в точности (−1) -кривые на X , то есть кривые, изоморфные тем, которые имеют самопересечение: 1. Кроме того, классы прямых в решетке Пикара X (или, что эквивалентно, группа классов дивизоров ) - это в точности элементы u из Pic ( X ) такие, что и . ( При этом используется , что ограничение Гиперплоскости линейного расслоения O (1) на с X представляет собой линейное расслоение антиканонического${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle u^{2}=-1}$${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle -K_{X}}$, по формуле присоединения .)

Для любого проективного многообразия X , то конус кривых означает , что выпуклый конус , натянутых на всех кривых в X (в реальном векторном пространстве 1-циклов по модулю численной эквивалентности, или в группе гомологии , если основное поле комплексных чисел). Для кубической поверхности конус кривых натянут на 27 прямых. ^[15] В частности, это рациональный многогранный конус с большой группой симметрии, группой Вейля . Аналогичное описание конуса кривых существует для любой поверхности дель Пеццо.${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$${\displaystyle N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}}$${\displaystyle E_{6}}$

Кубические поверхности над полем [ править ]

Гладкая кубическая поверхность X над полем k, не являющаяся алгебраически замкнутой, не обязательно должна быть рациональной над k . В качестве крайнего случая существуют гладкие кубические поверхности над рациональными числами Q (или p-адическими числами ) без рациональных точек , и в этом случае X определенно не рационально. ^[16] Если X ( k ) непусто, то X по крайней мере унирационально над k , по Бениамино Сегре и Яношу Коллару . ^[17] Для k${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$бесконечно, унирациональность следует , что множество K - рациональных точек Зариский в X .

Абсолютная группа Галуа из к переставляет 27 строк X над алгебраическим замыканием по к (через некоторую подгруппу группы Вейля ). Если некоторая орбита этого действия состоит из непересекающихся прямых, то X - раздутие «более простой» поверхности дель Пеццо над k в замкнутой точке. В противном случае X имеет число Пикара 1. (Группа Пикара X является подгруппой геометрической группы Пикара .) В последнем случае Сегре показал, что X никогда не является рациональным. Более того, Юрий Манин доказал утверждение бирациональной жесткости: две гладкие кубические поверхности с числом Пикара 1 над${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle E_{6}}$${\displaystyle \operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$совершенное поле к являются бирациональными тогда и только тогда , когда они изоморфны. ^[18] Например, эти результаты дают множество кубических поверхностей над Q , которые унирациональны, но не рациональны.

Особые кубические поверхности [ править ]

В отличие от гладких кубических поверхностей, которые содержат 27 линий, особые кубические поверхности содержат меньше линий. ^[19] Более того, их можно классифицировать по типу особенности, возникающей в их нормальной форме. Эти особенности классифицируются с помощью диаграмм Дынкина .

Классификация [ править ]

Нормальная особая кубическая поверхность в с локальными координатами называется нормальной, если она задана формулой . В зависимости от типа содержащейся особенности , она изоморфна проективной поверхности в, заданной как where are, как в таблице ниже. Это означает, что мы можем получить классификацию всех особых кубических поверхностей. Параметры следующей таблицы следующие: это три отдельных элемента , параметры находятся в и является элементом . Обратите внимание, что есть две разные особые кубические поверхности с особенностью . ^[20]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}}$${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]}$${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$${\displaystyle f_{2},f_{3}}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$${\displaystyle d,e}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1\}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle D_{4}}$

Классификация особых кубических поверхностей по типу особенности ^[20]

Сингулярность	${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}$	${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})}$
${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-ax_{1})(-x_{0}+(b+1)x_{1}-bx_{2})(x_{1}-cx_{2})}$
${\displaystyle 2A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-2x_{1}+x_{2})(x_{0}-ax_{1})(x_{1}-bx_{2})}$
${\displaystyle A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})}$
${\displaystyle 3A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})}$
${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-2x_{1}+x_{2})}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{2}(x_{0}-x_{2})}$
${\displaystyle 4A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(x_{1}-x_{2})x_{1}}$
${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}x_{1}}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}^{2}}$
${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}}$
${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}^{3}}$
${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(dx_{0}+ex_{1}+dex_{2})}$
${\displaystyle 2A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{1}+x_{2})(-x_{1}+dx_{2})}$
${\displaystyle 3A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}^{3}}$
${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(x_{0}-ux_{1})}$
${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}x_{2}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}}$
${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}}$
${\displaystyle D_{4}(1)}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}}$
${\displaystyle D_{4}(2)}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}}$
${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}}$
${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}}$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{0}(x_{0}-x_{2})(x_{0}-ax_{2})}$

В нормальной форме, если кубическая поверхность содержит хотя бы одну особенность, она будет иметь особенность в точке . ^[19]${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle [0:0:0:1]}$

Линии на особых кубических поверхностях [ править ]

В соответствии с классификацией особых кубических поверхностей в следующей таблице показано количество линий, содержащихся на каждой поверхности.

Прямые на особых кубических поверхностях ^[20]

Сингулярность	${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle 2A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle 3A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle 4A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle 2A_{2}}$	${\displaystyle 3A_{2}}$	${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
Кол-во линий	21 год	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\displaystyle \infty }$

Группы автоморфизмов особых кубических поверхностей без параметров [ править ]

Автоморфизм нормальной сингулярной кубической поверхности является ограничением из automprhism в проективном пространстве к . Такие автоморфизмы сохраняют особые точки. Более того, они не переставляют особенности разных типов. Если поверхность содержит две особенности одного типа, автоморфизм может их переставлять. Набор автоморфизмов на кубической поверхности образует группу , так называемую группу автоморфизмов . В следующей таблице показаны все группы автоморфизмов особых кубических поверхностей без параметров.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$${\displaystyle X}$

Группы автоморфизмов особых кубических поверхностей без параметров ^[20]

Сингулярность	Группа автоморфизмов ${\displaystyle X}$
${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle 4A_{1}}$	${\displaystyle \Sigma _{4}}$, То симметрическая группа порядка${\displaystyle 4!}$
${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle \mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }}$
${\displaystyle 3A_{2}}$	${\displaystyle (\mathbb {C} )^{2}\rtimes \Sigma _{3}}$
${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle (\mathbb {C} \rtimes \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle D_{4}(1)}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \Sigma _{3}}$
${\displaystyle D_{4}(2)}$	${\displaystyle \Sigma _{3}}$
${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$
${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }}$

См. Также [ править ]

• Алгебраическая поверхность
• Классификация Энрикеса-Кодаира
• Сорт Фано
• Исчисление Шуберта

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брюс, JW; Стена, CTC (1979), " К вопросу о классификации кубических поверхностей", журнал Лондонского математического общества , 19 (2): 245-256, DOI : 10,1112 / jlms / s2-19.2.245 , ISSN  0024-6107 , MR  0533323
• Кэли, Артур (1849), "О тройных касательных плоскостях поверхностей третьего порядка" , Cambridge and Dublin Math. J. , 4 : 118–138
• Кейли, Артур (1869), "Мемуары на кубические поверхности", Философские труды Королевского общества в Лондоне , The Royal Society, 159 : 231-326, DOI : 10.1098 / rstl.1869.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108997
• Дегтярев А.И.; Харламов, В.М. (2000), "Топологические свойства вещественных алгебраических многообразий: путь Рохлина", Российские математические обзоры , 55 (4): 735–814, arXiv : math / 0004134 , doi : 10.1070 / RM2000v055n04ABEH000315 , MR  1786731
• Долгачев Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд , Cambridge University Press , DOI : 10,1017 / CBO9781139084437 , ISBN 9781139084437, Руководство по ремонту  2964027
• Робин Хартшорн (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Руководство по ремонту  0463157 .
• Хендерсон, Арчибальд (2015) [1911], Двадцать семь линий на кубической поверхности , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Хольцер, Стефан; Labs, Оливер (2006), «Иллюстрируя классификацию реальных кубических поверхностей» (PDF) , Алгебраическая геометрия и геометрическое моделирование , Springer, стр. 119–134, MR  2279847
• Исковских В.А. (2001) [1994], "Кубическая гиперповерхность" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Коллар, Янош ; Смит, Карен Э .; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, Руководство по ремонту  2062787 , S2CID  117569533
• Манин, Юрий Иванович (1986), Кубические формы , Математическая библиотека Северной Голландии, 4 (2-е изд.), Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-87823-6, Руководство по ремонту  0833513
• Рид, Майлз (1988). Бакалавриат по алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-35662-6. Руководство по ремонту  0982494 .
• Schläfli, Людвиг (1863), «О распределении поверхностей третьего порядка по видам в связи с отсутствием или наличием особых точек и реальностью их линий», Философские труды Лондонского королевского общества , The Royal Общество, 153 : 193-241, DOI : 10.1098 / rstl.1863.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108795
• Сегре, Бениамино (1942), Неособые кубические поверхности , Oxford University Press , MR  0008171
• Серганова, Вера ; Скоробогатов, Алексей (2007), "Del Пеццо и теория представлений", Алгебра и теория чисел , 1 (4): 393-419, DOI : 10,2140 / ant.2007.1.393 , MR  2368955
• Silhol, Роберт (1989), Вещественные алгебраические поверхности , Лекции по математике, 1392 , Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / BFb0088815 , ISBN 3-540-51563-1, MR  1015720

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме кубических поверхностей .

• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Кубическая поверхность» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Линии на кубической поверхности. Автор Райан Хобан (Лаборатория экспериментальной геометрии в Университете Мэриленда), основанный на работе Уильяма Голдмана, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Кубические поверхности диски DVD (54 анимации кубических поверхностей, загружаемые по отдельности или в виде DVD)