В алгебраической геометрии многообразие над полем k называется линейчатым , если оно бирационально произведению проективной прямой на некоторое многообразие над k . Многообразие является унилинейчатым , если оно покрывается семейством рациональных кривых . (Точнее, многообразие X является унилинейчатым, если существует многообразие Y и доминантное рациональное отображение Y × P 1 – → X , которое не факторизуется через проекцию на Y .) Понятие возникло из линейчатых поверхностей геометрии XIX века, означающей поверхности в аффинном пространстве или проективном пространстве , покрытые линиями. Однолинейчатые разновидности можно считать относительно простыми среди всех разновидностей, хотя их много.
Всякое нелинейчатое многообразие над полем нулевой характеристики имеет размерность Кодаиры −∞. Обратное - это гипотеза, известная в размерности не выше 3: многообразие размерности Кодаиры −∞ над полем нулевой характеристики должно быть унилинейчатым. Родственное утверждение известно во всех измерениях: Буксом, Демайи , Паун и Петернелл показали, что гладкое проективное многообразие X над полем нулевой характеристики унилинейчато тогда и только тогда, когда каноническое расслоение X не является псевдоэффективным (т. е. не в замкнутом выпуклом конусе, натянутом на эффективные делители в группе Нерона-Севери, тензорной с вещественными числами).[1] Как очень частный случай, гладкая гиперповерхность степени d в P n над полем нулевой характеристики унилинейчата тогда и только тогда , когда d ⩽ n , по формуле присоединения . (На самом деле гладкая гиперповерхность степени d ≤ n в Pn является многообразием Фано и, следовательно, рационально связна , что сильнее, чем унилинейчатость.)
Многообразие X над несчетным алгебраически замкнутым полем k является унилинейчатым тогда и только тогда, когда через каждую k -точку X проходит рациональная кривая . Напротив, существуют многообразия над алгебраическим замыканием k конечного поля , которые не являются однолинейчатыми, но имеют рациональную кривую, проходящую через каждую k -точку. ( Этим свойством обладает куммерово многообразие любой несуперсингулярной абелевой поверхности над Fp при нечетном p . [ 2] ) Неизвестно, существуют ли многообразия с такими свойствами над алгебраическим замыканием рациональных чисел .
Унилинейчатость — это геометрическое свойство (оно не меняется при расширении поля), а линейчатость — нет. Например, коника x 2 + y 2 + z 2 = 0 в P 2 над вещественными числами R однолинейчатая, но не линейчатая. (Ассоциированная кривая над комплексными числами C изоморфна P 1 и, следовательно, линейчата.) В положительном направлении линейчато всякое нелинейчатое многообразие размерности не выше 2 над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Гладкие трехмерные кубические и гладкие трехмерные многообразия четвертой степени в P 4 над Cнеуправляемы, но не управляемы.
Неуправляемость ведет себя совсем иначе в положительной характеристике. В частности, существуют однолинейчатые (и даже унирациональные ) поверхности общего типа : примером может служить поверхность x p +1 + y p +1 + z p +1 + w p +1 = 0 в P 3 над F p , для любое простое число p ≥ 5. [3] Таким образом, однолинейность не означает, что размерность Кодаиры равна −∞ в положительной характеристике.
Многообразие X называется сепарабельно унилинейчатым , если существует многообразие Y с доминантным сепарабельным рациональным отображением Y × P 1 – → X , которое не факторизуется через проекцию на Y . («Отделимость» означает, что производная сюръективна в какой-то точке; это было бы автоматически для доминантного рационального отображения в нулевой характеристике.) Сепарабельно однолинейчатое многообразие имеет размерность Кодаиры −∞. Обратное верно в измерении 2, но не в более высоких измерениях. Например, существует гладкое проективное трехмерное многообразие над F 2 , имеющее размерность Кодаиры −∞, но не линейчатое сепарабельно. [4]Неизвестно, каждое ли гладкое многообразие Фано в положительной характеристике является сепарабельно унилинейчатым.