Суперсингулярная эллиптическая кривая

В алгебраической геометрии , суперсингулярные эллиптические кривые образуют определенный класс эллиптических кривых над полем характеристики р  > 0 с необычно большими кольцами эндоморфизмов . Эллиптические кривые над такими полями, которые не являются суперсингулярными, называются обычными, и эти два класса эллиптических кривых ведут себя принципиально по-разному во многих аспектах. Хассе (1936) открыл суперсингулярные эллиптические кривые во время работы над гипотезой Римана для эллиптических кривых, заметив, что положительные характеристические эллиптические кривые могут иметь кольца эндоморфизмов необычно большого ранга 4, и Дойринг (1941) разработали свою основную теорию.

Термин «суперсингулярный» не имеет ничего общего с особыми точками кривых , и все суперсингулярные эллиптические кривые неособые. Это происходит от фразы « особые значения j-инварианта», используемой для значений j-инварианта, для которых комплексная эллиптическая кривая имеет комплексное умножение . Комплексные эллиптические кривые с комплексным умножением - это те, для которых кольцо эндоморфизмов имеет максимально возможный ранг 2. В положительной характеристике кольцо эндоморфизмов может быть даже больше: оно может быть порядком в алгебре кватернионов.размерности 4, и в этом случае эллиптическая кривая суперсингулярна. Простые числа p такие, что каждая суперсингулярная эллиптическая кривая в характеристике p может быть определена над простым подполем, а не называются суперсингулярными простыми числами .${\ displaystyle F_ {p}}$${\ displaystyle F_ {p ^ {m}}}$

Определение [ править ]

Было использовано много различных, но эквивалентных способов определения суперсингулярных эллиптических кривых. Некоторые из способов их определения приведены ниже. Пусть будет поле с алгебраическим замыканием и Е эллиптической кривой над K .${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}}}$

• В -значных точках имеют структуру абелевой группы . Для каждого n у нас есть карта умножения . Его ядро ​​обозначается . Теперь предположим, что характеристика K равна p  > 0. Тогда можно показать, что либо${\ displaystyle {\ overline {K}}}$${\ displaystyle E ({\ overline {K}})}$${\ displaystyle [n]: от E \ до E}$${\ displaystyle E [n]}$

${\displaystyle E[p^{r}]({\overline {K}})\cong {\begin{cases}0&{\mbox{or}}\\\mathbb {Z} /p^{r}\mathbb {Z} \end{cases}}}$

для r = 1, 2, 3, ... В первом случае E называется суперсингулярным . В противном случае он называется обычным . Другими словами, эллиптическая кривая суперсингулярна тогда и только тогда, когда группа геометрических точек порядка p тривиальна.

• Суперсингулярные эллиптические кривые имеют много эндоморфизмов над алгебраическим замыканием в том смысле, что эллиптическая кривая суперсингулярна тогда и только тогда, когда ее алгебра эндоморфизмов (над ) является порядком в алгебре кватернионов. Таким образом, их алгебра эндоморфизмов (над ) имеет ранг 4, в то время как группа эндоморфизмов любой другой эллиптической кривой имеет только ранг 1 или 2. Кольцо эндоморфизмов суперсингулярной эллиптической кривой может иметь ранг меньше 4, и может потребоваться взять конечное расширение базового поля K, чтобы сделать ранг кольца эндоморфизмов 4. В частности, кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой над полем простого порядка никогда не имеет ранга 4, даже если эллиптическая кривая суперсингулярна.${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle {\overline {K}}}$${\displaystyle {\overline {K}}}$
• Пусть G будет формальная группа связана с  E . Поскольку K имеет положительную характеристику, мы можем определить его высоту ht ( G ), которая равна 2 тогда и только тогда, когда E суперсингулярно, а else равно 1.
• У нас есть морфизм Фробениуса , который индуцирует отображение в когомологиях${\displaystyle F:E\to E}$

${\displaystyle F^{*}:H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})\to H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})}$.

Эллиптическая кривая E суперсингулярна тогда и только тогда, когда равна 0.${\displaystyle F^{*}}$

• У нас есть оператор Вершибунга , который индуцирует отображение на глобальных 1-формах${\displaystyle V:E\to E}$

${\displaystyle V^{*}:H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})\to H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})}$.

Эллиптическая кривая E суперсингулярна тогда и только тогда, когда равна 0.${\displaystyle V^{*}}$

• Эллиптическая кривая суперсингулярна тогда и только тогда, когда ее инвариант Хассе равен 0.
• Эллиптическая кривая суперсингулярна тогда и только тогда, когда групповая схема точек порядка p связна.
• Эллиптическая кривая суперсингулярна тогда и только тогда, когда двойственное отображение Фробениуса чисто неотделимо.
• Эллиптическая кривая суперсингулярна тогда и только тогда, когда отображение «умножения на p » чисто неотделимо и j -инвариант кривой лежит в квадратичном расширении простого поля K , конечного поля порядка p ² .
• Предположим, что E находится в форме Лежандра , определенной уравнением , а p нечетно. Тогда E суперсингулярно тогда и только тогда, когда сумма${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}\lambda ^{i}}$

исчезает, где . Используя эту формулу, можно показать, что суперсингулярных эллиптических кривых над K конечное число (с точностью до изоморфизма).${\displaystyle n=(p-1)/2}$

• Предположим, что E задано как кубическая кривая на проективной плоскости, заданная однородным кубическим многочленом f ( x , y , z ). Тогда E суперсингулярно тогда и только тогда, когда коэффициент при ( xyz ) ^{p –1} в f ^{p –1} равен нулю.
• Если поле K является конечным полем порядка q , то эллиптическая кривая над K суперсингулярна тогда и только тогда, когда след эндоморфизма Фробениуса q -степени конгруэнтен нулю по модулю p .

Когда q = p является простым числом больше 3, это эквивалентно тому, что след Фробениуса равен нулю (по границе Хассе ); это неверно для p = 2 или 3.

Примеры [ править ]

• Если K - поле характеристики 2, каждая кривая определяется уравнением вида

${\displaystyle y^{2}+a_{3}y=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

с более ₃ ненулевыми является суперсингулярен эллиптическим кривым, и , наоборот , каждый суперсингулярен кривым изоморфен одной из этой формы (см Washington2003, стр. 122).

• Над полем с двумя элементами любая суперсингулярная эллиптическая кривая изоморфна ровно одной из суперсингулярных эллиптических кривых

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+x+1}$

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+1}$

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+x}$

с 1, 3 и 5 баллами. Это дает примеры суперсингулярных эллиптических кривых над простым полем с различным числом точек.

• Над алгебраически замкнутым полем характеристики 2 существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна суперсингулярная эллиптическая кривая, заданная формулой

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}}$,

с J -инвариантными 0. Его кольцо эндоморфизмов является кольцом Гурвица кватернионов , порожденное двух автоморфизмов и где примитивный кубический корень из единицы. Его группа автоморфизмов - это группа единиц кватернионов Гурвица, которая имеет порядок 24, содержит нормальную подгруппу порядка 8, изоморфную группе кватернионов , и является бинарной группой тетраэдра${\displaystyle x\rightarrow x+\omega }$${\displaystyle y\rightarrow y+x+\omega ,x\rightarrow x+1}$${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0}$

• Если K - поле характеристики 3, каждая кривая определяется уравнением вида

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

с более ₄ ненулевыми является суперсингулярен эллиптическим кривым, и , наоборот , каждый суперсингулярен кривым изоморфен одной из этой формы (см Washington2003, стр. 122).

• Над полем из трех элементов любая суперсингулярная эллиптическая кривая изоморфна ровно одной из суперсингулярных эллиптических кривых

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+1}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+2}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$

• Над алгебраически замкнутым полем характеристики 3 существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна суперсингулярная эллиптическая кривая, заданная формулой

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$,

с j -инвариантом 0. Его кольцо эндоморфизмов - это кольцо кватернионов вида a + bj с целыми числами Эйзенштейна a и b . , Порожденные два автоморфизмов и где я примитивный корень четвертой степени из единицы. Его группа автоморфизмов - это группа единиц этих кватернионов, которая имеет порядок 12 и содержит нормальную подгруппу порядка 3 с фактором циклической группы порядка 4.${\displaystyle x\rightarrow x+1}$${\displaystyle y\rightarrow iy,x\rightarrow -x}$

• Действительно, при p> 3 эллиптическая кривая, определяемая с помощью j -инварианта 0, является суперсингулярной тогда и только тогда, а эллиптическая кривая, определяемая с помощью j -инварианта 1728, является суперсингулярной тогда и только тогда, когда (см. Вашингтон 2003, 4.35).${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+1}$${\displaystyle p\equiv 2{\text{(mod 3)}}}$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$${\displaystyle p\equiv 3{\text{(mod 4)}}}$
• Эллиптическая кривая, заданная как, неособа над при . Он суперсингулярен при p = 23 и обычен для всех остальных (см. Hartshorne, 1977, 4.23.6).${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x+2)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p\neq 2,3}$${\displaystyle p\leq 73}$
• Модульная кривая Х ₀ (11) имеет J -инвариантным -2 ¹² 11 ^-5 31 ³ , и изоморфна кривой у ² + у = х ³ - х ² - 10 х - 20. простые числа р , для которого она суперсингулярными считаются те, для которых коэффициент при q ^p в η (τ) ² η (11τ) ² обращается в нуль по модулю p , и задаются списком

2, 19, 29, 199, 569, 809, 1289, 1439, 2539, 3319, 3559, 3919, 5519, 9419, 9539, 9929, ... OEIS :  A006962

• Если эллиптическая кривая над рациональными числами имеет комплексное умножение, то множество простых чисел, для которых она является суперсингулярной, имеет плотность 1/2. Если он не имеет комплексного умножения, то Серр показал, что множество простых чисел, для которых он является суперсингулярным, имеет нулевую плотность. Элкис (1987) показал, что любая эллиптическая кривая, определенная над рациональными числами, является суперсингулярной для бесконечного числа простых чисел.

Классификация [ править ]

Для каждой положительной характеристики существует только конечное число возможных j -инвариантов суперсингулярных эллиптических кривых. Над алгебраически замкнутым полем K эллиптическая кривая определяется своим j -инвариантом, поэтому существует лишь конечное число суперсингулярных эллиптических кривых. Если каждая такая кривая имеет вес 1 / | Aut ( E ) | тогда общий вес суперсингулярных кривых равен ( p –1) / 24. Эллиптические кривые имеют группы автоморфизмов порядка 2, если их j -инвариант не равен 0 или 1728, поэтому суперсингулярные эллиптические кривые классифицируются следующим образом. Существует ровно ⌊ p / 12⌋ суперсингулярных эллиптических кривых с группами автоморфизмов порядка 2. Кроме того, если p≡3 mod 4 существует суперсингулярная эллиптическая кривая (с j -инвариантом 1728), группа автоморфизмов которой циклическая или порядка 4, если p = 3, и в этом случае она имеет порядок 12, а если p ≡2 mod 3, существует суперсингулярная эллиптическая кривая (с j -инвариантом 0), группа автоморфизмов которого циклическая порядка 6, если p = 2, и в этом случае она имеет порядок 24.

Birch & Kuyk (1975) приводят таблицу всех j -инвариантов суперсингулярных кривых для простых чисел до 307. Для нескольких первых простых чисел суперсингулярные эллиптические кривые задаются следующим образом. Количество суперсингулярных значений j, отличных от 0 или 1728, является целой частью (p − 1) / 12.

См. Также [ править ]

• Суперсингулярное простое число

Ссылки [ править ]

• Берч, ЛЮ ; Куйк, В., ред. (1975), «Таблица 6», Модульные функции одной переменной. IV , Лекции по математике, 476 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag ., С. 142-144, DOI : 10.1007 / BFb0097591 , ISBN 978-3-540-07392-5, Руководство по ремонту  0376533 , Zbl  0315.14014
• Дойринг, Макс (1941), "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper", Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург , 14 : 197-272, DOI : 10.1007 / BF02940746 , MR  0005125
• Elkies, Ноам Д. (1987), "Существование бесконечного числа простых чисел суперсингулярных для каждой эллиптической кривой над Q", Inventiones Mathematicae , 89 (3): 561-567, DOI : 10.1007 / BF01388985 , ISSN  0020-9910 , МР  0903384 , Zbl  0631,14024
• Робин Хартсхорн (1977), Алгебраическая геометрия , Springer. ISBN 1-4419-2807-3 
• Хассе (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I. Die Struktur der Gruppe der Divisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Die Vermutiemenings". , J. Reine Angew. Математика. , 175 : 55–62, 69–88, 193–208
• Джозеф Х. Сильверман (2009), Арифметика эллиптических кривых , Springer. ISBN 0-387-09493-8 
• Лоуренс С. Вашингтон (2003), Эллиптические кривые , Chapman & Hall. ISBN 1-58488-365-0