Целое число Эйзенштейна

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  «Целое число Эйзенштейна»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Целые числа Эйзенштейна как точки пересечения треугольной решетки на комплексной плоскости

В математике , Эйзенштейн целых числа (названные в честь Готхольда Eisenstein ), иногда также известны ^[1] , как Eulerian целых числа (после Леонарда Эйлера ), являются комплексными числами вида

${\ Displaystyle г = а + б \ омега,}$

где a и b - целые числа и

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {-1 + i {\ sqrt {3}}} {2}} = e ^ {\ frac {2 \ pi i} {3}}}$

является примитивным (следовательно, нереальным) кубическим корнем из единицы . Целые числа Эйзенштейна образуют треугольную решетку в комплексной плоскости , в отличие от целых чисел Гаусса , которые образуют квадратную решетку в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна - это счетное бесконечное множество .

Свойства [ править ]

Числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо из алгебраических чисел в поле алгебраических чисел - третье круговое поле . Чтобы убедиться, что целые числа Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами, обратите внимание, что каждое z = a + b ω является корнем монического многочлена${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ omega)}$  

${\ displaystyle z ^ {2} - (2 \, ab) \, z + \ left (a ^ {2} -a \, b + b ^ {2} \ right) ~.}$

В частности, ω удовлетворяет уравнению

${\ displaystyle \ omega ^ {2} + \ omega + 1 = 0 ~.}$

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна a + b ω и c + d ω явно задается формулой    

${\displaystyle (a+b\,\omega )\,(c+d\,\omega )=(a\,c-b\,d)+(b\,c+a\,d-b\,d)\,\omega ~.}$

Норма целого числа Эйзенштейна - это просто квадрат его модуля и определяется выражением

${\displaystyle {\left|a+b\,\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-a\,b+b^{2}~,}$

что, очевидно, является обычным положительным (рациональным) целым числом.

Кроме того, комплексно сопряженное к ω удовлетворяет

${\displaystyle {\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.}$

Группа единиц в этом кольце представляет собой циклическая группа , образованная шестые корни из единицы в комплексной плоскости: целые числа Эйзенштейн нормы 1.${\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,}$

Простые числа Эйзенштейна [ править ]

Если x и y - целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y, если существует некоторое целое число Эйзенштейна z такое, что y = zx . Неединичное целое число Эйзенштейна x называется простым числом Эйзенштейна, если его единственные неединичные делители имеют вид ux , где u - любая из шести единиц.

Есть два типа простых чисел Эйзенштейна. Во-первых, обычное простое число (или рациональное простое число ), которое конгруэнтно 2 по модулю 3 , также является простым числом Эйзенштейна. Во-вторых, 3 и любое рациональное простое число, конгруэнтное 1 по модулю 3 , равно норме x ² - xy + y ² целого числа Эйзенштейна x + ωy . Таким образом, такое простое число может быть разложено на множители как ( x + ωy ) ( x + ω ² y ), и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: это в точности целые числа Эйзенштейна, норма которых является рациональным простым числом.

Евклидова область [ править ]

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует евклидову область , норма N которой задается квадратом модуля, как указано выше:

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Алгоритм деления , применяется к любому делимому и делителю , дает частное и остаток меньше делителя, удовлетворяющий:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta \neq 0}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).}$

Вот все целые числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает алгоритм Евклида , который доказывает лемму Евклида и уникальную факторизацию целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.${\displaystyle \alpha ,\beta ,\kappa ,\rho }$

Один алгоритм деления следующий. Сначала выполните деление в поле комплексных чисел и запишите частное через ω:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,}$

для рационального . Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округляя рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа:${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .}$

Здесь может обозначаться любая из стандартных функций округления до целого числа.${\displaystyle \lfloor x\rceil }$

Причина, по которой это выполняется , в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичных целочисленных колец, заключается в следующем. Фундаментальной областью идеала , действующего посредством сдвигов на комплексной плоскости, является ромб 60 ° -120 ° с вершинами . Любое целое число Эйзенштейна α лежит внутри одного из сдвигов этого параллелограмма, а частное является одной из его вершин. Остаток - это квадратное расстояние от α до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме равно только , so . (Размер ρ можно немного уменьшить, приняв его за ближайший угол.)${\displaystyle N(\rho )<N(\beta )}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]\beta =\mathbb {Z} \beta +\mathbb {Z} \omega \beta }$${\displaystyle 0,\beta ,\omega \beta ,\beta {+}\omega \beta }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |}$${\displaystyle |\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |}$${\displaystyle \kappa }$

Частное от C по целым числам Эйзенштейна [ править ]

Фактор комплексной плоскости С помощью решетки , содержащей все целых числа Эйзенштейн является комплексным тором вещественной размерности 2. Это один из двух торы с максимальной симметрией среди всех таких комплексных торов. ^{[ необходима цитата ]} Этот тор может быть получен путем идентификации каждой из трех пар противоположных сторон правильного шестиугольника. (Другой максимально симметричный тор - это фактор комплексной плоскости по аддитивной решетке гауссовских целых чисел , и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, такой как [0,1] × [ 0,1] .)

См. Также [ править ]

• Гауссовское целое число
• Циклотомическое поле
• Систолическая геометрия
• Постоянная Эрмита
• Кубическая взаимность
• Неравенство тора Лёвнера
• Кватернион Гурвица
• Квадратичное целое число

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Целое число Эйзенштейна - из MathWorld