В теории алгебраических чисел , алгебраическое число является комплексным числом , что является корнем некоторого унитарный многочлен (полином которого старший коэффициент равен 1) с коэффициентами в ℤ (множество целых чисел ). Множество всех алгебраических целых чисел A замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел. Кольцо является целым замыканием регулярного целых ℤ в комплексных числах.
Кольцо целых чисел одного числового поля К , обозначаемой O K , является пересечением K и A : это также можно охарактеризовать как максимального порядка поля K . Каждое целое алгебраическое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Ряд α является целым алгебраическим тогда и только тогда , когда кольцо ℤ [ α ] является конечно порожден как абелевой группы , который должен сказать, как ℤ - модуль .
Определения
Ниже приведены эквивалентные определения алгебраического целого числа. Пусть K будет поле число (то есть, конечное расширение из ℚ , множество рациональных чисел ), другими словами, K = ℚ ( θ ) для некоторого алгебраического числа & thetas ∈ ℂ по теореме примитивного элемента .
- α ∈ K является целым алгебраическим числом, если существует унитарный многочлен f ( x ) ∈ ℤ [ x ] такой, что f ( α ) = 0 .
- α ∈ K является целым алгебраическим числом, если минимальный монический многочлен α над ℚ принадлежит ℤ [ x ] .
- α ∈ K - целое алгебраическое число, если ℤ [ α ] конечно порожденный ℤ -модуль.
- & alpha ; ∈ K является целым алгебраическимесли существует ненулевой конечно порожденный ℤ подмодуль М ⊂ ℂ такойчто аш ⊆ M .
Целые алгебраические числа - это частный случай целых элементов расширения кольца. В частности, целое алгебраическое число является неотъемлемым элементом конечного расширения K / ℚ .
Примеры
- Единственные алгебраические целые числа, которые встречаются в наборе рациональных чисел, - это целые числа. Другими словами, пересечение ℚ и А именно ℤ . Рациональное числоа/бне является целым алгебраическим числом, если b не делит a . Обратите внимание, что старший коэффициент полинома bx - a - это целое число b . В качестве другого частного случая квадратный корень √ n из неотрицательного целого числа n является целым алгебраическим числом, но является иррациональным, если n не является полным квадратом .
- Если d - целое число без квадратов, то расширение K = ℚ ( √ d ) является квадратичным полем рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел O K содержит √ d, поскольку оно является корнем монического многочлена x 2 - d . Более того, если d ≡ 1 mod 4 , то элемент1/2(1 + √ d ) также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет многочлену x 2 - x + 1/4(1 - d ) где постоянный член 1/4(1 - d ) - целое число. Полное кольцо целых чисел порождается √ d или1/2(1 + √ d ) соответственно. См. Дополнительные сведения о квадратичных целых числах .
- Кольцо целых чисел поля F = ℚ [ α ] , α = 3 √ m , имеет следующий интегральный базис , записывая m = hk 2 для двух взаимно простых целых чисел h и k без квадратов : [1]
- Если ζ n является примитивным корнем n- й степени из единицы , то кольцо целых чисел кругового поля ℚ ( ζ n ) есть в точности ℤ [ ζ n ] .
- Если α - целое алгебраическое число, то β = n √ α - другое целое алгебраическое число. Полином для β получается заменой x n в полином вместо α .
Не пример
- Если Р ( х ) является примитивным многочленом , который имеет целые коэффициенты , но не унитарные, а Р является неприводимым над ℚ , то ни один из корней P не являются алгебраическими целыми числа (но являются алгебраическими числами ). Здесь примитив используется в том смысле, что наивысший общий множитель набора коэффициентов P равен 1; это слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно взаимно простыми.
Факты
- Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом. В общем, их частное нет. Используемый монический полином обычно имеет более высокую степень, чем у исходных алгебраических целых чисел, и может быть найден путем взятия результирующих и факторизации. Например, если x 2 - x - 1 = 0 , y 3 - y - 1 = 0 и z = xy , то удаление x и y из z - xy = 0 и полиномов, удовлетворяющих x и y, с использованием результирующего дает z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0 , которое является неприводимым и является моническим уравнением, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что xy является корнем x -результанта z - xy и x 2 - x - 1 , можно использовать тот факт, что результат содержится в идеале, порожденном его двумя входными полиномами.)
- Следовательно, любое число, построенное из целых чисел с корнями, сложением и умножением, является алгебраическим целым числом; но не все алгебраические целые числа так конструктивны: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик - нет. Это теорема Абеля – Руффини .
- Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, целиком замкнутое в любом своем расширении.
- Кольцо целых алгебраических чисел является областью Безу , как следствие теоремы о главном идеале .
- Если монический многочлен, связанный с алгебраическим целым числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратная величина этого алгебраического целого числа также является алгебраическим целым числом и является единицей , элементом группы единиц кольца алгебраических целых чисел.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.
- Стейн, В. Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF) .