Составной элемент

В коммутативной алгебре , элемент Ь из коммутативного кольца B называется интеграл по А , в подкольцу из B , если существуют п ≥ 1 и _J в таким образом, что

${\ displaystyle b ^ {n} + a_ {n-1} b ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} b + a_ {0} = 0.}$

То есть, б является корнем унитарного многочлена над A . ^[1] Множество элементов B , которые являются неотъемлемой частью над А называется целое замыкание из A в B . Это подкольцо B , содержащего A . Если каждый элемент B является целым над А , то мы говорим , что B является интеграл по А , или , что эквивалентно B является целым расширением от А .

Если A , B - поля, то понятия «интеграла по» и «целочисленного расширения » в теории поля являются в точности «алгебраическими над» и « алгебраическими расширениями » (поскольку корень любого многочлена является корнем монического многочлена ).

Наибольший интерес в теории чисел представляет случай комплексных чисел, целых над Z (например, или ); в этом контексте целые элементы обычно называют целыми алгебраическими числами . Алгебраические целые числа в конечном поле расширения к из рациональных чисел Q образуют подкольцо к , называемому кольцом целых чисел от к , центральный объект исследования в алгебраической теории чисел .${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle 1 + i}$

В этой статье под термином « кольцо» понимается коммутативное кольцо с мультипликативной единицей.

Примеры [ править ]

Интегральное замыкание в алгебраической теории чисел [ править ]

Есть много примеров целочисленного замыкания, которое можно найти в теории алгебраических чисел, поскольку оно является фундаментальным для определения кольца целых чисел для расширения алгебраического поля (или ).${\ displaystyle K / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle L / \ mathbb {Q} _ {p}}$

Целочисленное замыкание целых чисел в рациональных числах [ править ]

Целые являются единственными элементами Q , которые являются неотъемлемой частью над Z . Другими словами, Z представляет собой целое замыкание Z в Q .

Квадратичные расширения [ править ]

В гауссовых целых числах , являются комплексными числами вида , и являются неотъемлемой частью над Z . - тогда интегральное замыкание Z в . Обычно это кольцо обозначается .${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}, a, b \ in \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-1}}]}$${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-1}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} [я]}}$

Целостное замыкание Z в - это кольцо${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {5}})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} [{\ sqrt {5}}]} = \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right]}$

этот и предыдущий примеры являются примерами квадратичных целых чисел . Целочисленное замыкание квадратичного расширения можно найти, построив минимальный многочлен произвольного элемента и найдя теоретико-числовой критерий того, что многочлен имеет целые коэффициенты. Этот анализ можно найти в статье о квадратичных расширениях .${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$${\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}}}$

Корни единства [ править ]

Пусть ζ - корень из единицы . Тогда интегральное замыкание Z в круговом поле Q (ζ) есть Z [ζ]. ^[2] Это можно найти, используя минимальный многочлен и критерий Эйзенштейна .

Кольцо целых алгебраических чисел [ править ]

Целочисленное замыкание Z в поле комплексных чисел C или алгебраическое замыкание называется кольцом целых алгебраических чисел .${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

Другое [ править ]

В корнях из единицы , нильпотентные элементы и идемпотентные элементы в любом кольце являются неотъемлемой частью над Z .

Интегральное замыкание в геометрии [ править ]

В геометрии интегральное замыкание тесно связано с нормализацией и нормальными схемами . Это первый шаг в разрешении сингулярностей, поскольку он дает процесс разрешения особенностей коразмерности 1.

• Например, интегральное замыкание - это кольцо, поскольку геометрически первое кольцо соответствует -плоскости, соединенной с -плоскостью. Они имеют особенность коразмерности 1 вдоль оси -оси, в которой они пересекаются.${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]/(xy)}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]}$${\displaystyle xz}$${\displaystyle yz}$${\displaystyle z}$

• Пусть конечная группа G действует на кольце A . Тогда цело над A ^G множество неподвижных элементов G . См. Кольцо инвариантов .
• Пусть R быть кольцо и U блок в кольцо , содержащее R . Тогда ^[3]

1. u ⁻¹ цело над R тогда и только тогда, когда u ⁻¹ ∈ R [ u ].
2. ${\displaystyle R[u]\cap R[u^{-1}]}$цело над R .
3. Целостным замыканием однородного координатного кольца нормального проективного многообразия X является кольцо сечений ^[4]

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$

Целостность в алгебре [ править ]

• Если - алгебраическое замыкание поля k , то цело по${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$
• Целочисленное замыкание C [[ x ]] в конечном расширении C (( x )) имеет вид (ср. Ряд Пюизо ) ^{[ необходимая ссылка ]}${\displaystyle \mathbf {C} [[x^{1/n}]]}$

Эквивалентные определения [ править ]

Пусть B является кольцо, и пусть подкольцо B . Для элемента b в B следующие условия эквивалентны:

(i) b цело над A ;

(ii) подкольцо A [ b ] кольца B, порожденное A и b, является конечно порожденным A -модулем ;

(III) существует подкольцо С из B , содержащий A [ б ] и которая является конечно-порожденный - модуль;

(iv) существует точный A [ b ] -модуль M такой, что M конечно порожден как A -модуль.

Обычное доказательство этого использует следующий вариант теоремы Кэли – Гамильтона о детерминантах :

Теорема Пусть у быть эндоморфизм из А - модуля М , порожденной п элементами и I идеал таким образом, что . Тогда есть отношение:${\displaystyle u(M)\subset IM}$

${\displaystyle u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.}$

Эта теорема (с I = A и умножением u на b ) дает (iv) ⇒ (i), а остальное несложно. По совпадению, лемма Накаямы также является непосредственным следствием этой теоремы.

Элементарные свойства [ править ]

Цельное замыкание образует кольцо [ править ]

Из приведенных выше четырех эквивалентных утверждений следует, что множество элементов, которые являются целыми над, образует подкольцо содержащих . (Доказательство: если х , у являются элементы , которые интеграл по , то имеют интеграл по , так как они стабилизация , которая представляет собой конечно порожденный модуль над и уничтожаются только нуль.) ^[5] Это кольцо называется целое замыкание на в .${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x+y,xy,-x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A[x]A[y]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Транзитивность целостности [ править ]

Другое следствие указанной выше эквивалентности состоит в том, что «целостность» транзитивна в следующем смысле. Позвольте быть кольцо, содержащее и . Если целое и целое , то целое . В частности, если само является целым по и является целым по , то также является целым по .${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

Интеграл, замкнутый в поле дроби [ править ]

Если это интегральное замыкание in , то A называется интегрально замкнутым в . Если это общее кольцо фракций из (например, поле частных , когда область целостности), то один иногда падает квалификацию «в » и просто говорит , что «целое замыкание » и « является целозамкнуто .» ^[6] Например, кольцо целых чисел целозамкнуто в поле .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$

Транзитивность интегрального замыкания с целозамкнутыми областями [ править ]

Пусть область целостности с полем дробей К и А» целого замыкания А в качестве алгебраического расширения поля L в K . Тогда поле частных А» является л . В частности, A ' - целозамкнутая область .

Транзитивность в алгебраической теории чисел [ править ]

Эта ситуация применима в алгебраической теории чисел при связывании кольца целых чисел и расширения поля. В частности, с учетом расширения поля интегральным замыканием in является кольцо целых чисел .${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

Замечания [ править ]

Обратите внимание, что транзитивность указанной выше целочисленности означает, что if является целым по , то является объединением (эквивалентно индуктивным пределом ) подкольц, которые являются конечно порожденными -модулями.${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

Если это нетеров , транзитивность цельности может быть ослаблена в заявление:${\displaystyle A}$

Существует конечно порожденный -подмодуль , содержащий .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A[b]}$

Связь с условиями конечности [ править ]

Наконец, предположение, что это подкольцо из, можно немного изменить. Если - гомоморфизм колец , то говорят, что является целым, если является целым над . Точно так же говорят, что он конечный ( конечно порожденный -модуль) или конечный тип ( конечно порожденный -алгебра). С этой точки зрения${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle f}$конечно тогда и только тогда, когда оно целое и конечного типа.${\displaystyle f}$

Или, точнее,

${\displaystyle B}$является конечно порожденным -модулем тогда и только тогда, когда он порождается как -алгебра конечным числом целочисленных элементов .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Интегральные расширения [ править ]

Теоремы Коэна-Зайденберга [ править ]

Неотъемлемое расширение  ⊆  B имеет Собирается вверх свойство , то лежащий над собственностью, и несопоставимость свойство ( Cohen-Seidenberg теоремы ). Явно, для данной цепочки первичных идеалов в A существует a в B с (восходящим и лежащим над), и два различных первичных идеала с отношением включения не могут сжиматься с одним и тем же первичным идеалом (несравнимость). В частности, размеры Крулл из A и B являются такими же. Кроме того, если A${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{i}\cap A}$ является целозамкнутой областью, то имеет место спад (см. ниже).

В общем, подъём подразумевает лежание. ^[7] Таким образом, ниже мы просто говорим «подъем», чтобы означать «подъем» и «лежание».

Когда A , B - области, такие что B цело над A , A является полем тогда и только тогда, когда B является полем. Как следствие, один имеет: дан простой идеал из B , является максимальным идеалом в B , если и только если это максимальный идеал А . Другое следствие: если L / K - алгебраическое расширение, то любое подкольцо L, содержащее K, является полем.${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$

Приложения [ править ]

Пусть B - кольцо, целое над подкольцом A, а k - алгебраически замкнутое поле. Если - гомоморфизм, то f продолжается до гомоморфизма B → k . ^[8] Это следует из роста.${\displaystyle f:A\to k}$

Геометрическая интерпретация подъема [ править ]

Позвольте быть целым расширением колец. Тогда индуцированное отображение${\displaystyle f:A\to B}$

${\displaystyle {\begin{cases}f^{\#}:\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A\\p\mapsto f^{-1}(p)\end{cases}}}$

это замкнутая карта ; на самом деле для любого идеала I и сюръективно, если f инъективно. Это геометрическая интерпретация восходящего движения.${\displaystyle f^{\#}(V(I))=V(f^{-1}(I))}$${\displaystyle f^{\#}}$

Геометрическая интерпретация интегральных расширений [ править ]

Пусть Б быть кольцом и подкольцо , что является нетеровым целозамкнутой области (то есть, это нормальная схема .) Если В является целой над А , то есть submersive ; т.е. топология является фактор-топологией . ^[9] Доказательство использует понятие конструктивных множеств . (См. Также: торсор (алгебраическая геометрия) .)${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$

Целостность, изменение базы, универсальная замкнутость и геометрия [ править ]

Если цела над , то цело над R для любого алгебра R . ^[10] В частности, закрыто; т.е. интегральное расширение индуцирует « универсально замкнутое » отображение. Это приводит к геометрической характеристике интегрального расширения . А именно, пусть B - кольцо только с конечным числом минимальных первичных идеалов (например, с областью целостности или нётеровым кольцом). Тогда Б является интегралом по (подкольцу) А тогда и только тогда , когда замкнута для любого - алгебры R . ^[11]${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\otimes _{A}R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R}$В частности, каждая собственная карта универсально замкнута. ^[12]

Действия Галуа на интегральных расширениях целозамкнутых областей [ править ]

Предложение. Пусть быть целозамкнутая область с полем частных K , L конечное нормальное расширение из K , B целое замыкание A в L . Тогда группа действует транзитивно на каждом слое .${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

Доказательство. Предположим , что для любого в G . Тогда, по простому избеганию , найдется элемент x в такой, что для любого . G фиксирует элемент и , следовательно , у является чисто неотделима над K . Тогда некоторая степень принадлежит K ; поскольку A интегрально замкнуто, мы имеем: Таким образом, мы нашли, что находится внутри, но не внутри ; то есть .${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}\neq \sigma ({\mathfrak {p}}_{1})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$${\displaystyle \sigma (x)\not \in {\mathfrak {p}}_{1}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle y=\prod \nolimits _{\sigma }\sigma (x)}$${\displaystyle y^{e}}$${\displaystyle y^{e}\in A.}$${\displaystyle y^{e}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\cap A\neq {\mathfrak {p}}_{2}\cap A}$

Приложение к алгебраической теории чисел [ править ]

Затем группа Галуа действует на всех первичных идеалах, лежащих над фиксированным первичным идеалом . ^[13] То есть, если${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$

тогда на множестве есть действие Галуа . Это называется расщеплением простых идеалов в расширениях Галуа .${\displaystyle S_{\mathfrak {p}}=\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}}$

Замечания [ править ]

Та же идея в доказательстве показывает, что если является чисто неотделимым расширением (не обязательно нормальным), то биективно.${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

Пусть A , K и т.д. , как и раньше , но предположим L только конечное расширение поля K . потом

(i) имеет конечные слои.${\displaystyle \operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A}$

(ii) снижение сохраняется между A и B : при условии , что существует, что сжимается.${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'_{n}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}}$

В самом деле, в обоих утверждениях, увеличивая L , мы можем считать L нормальным расширением. Тогда (i) немедленно. Что касается (ii), поднимаясь вверх, мы можем найти цепь, которая сокращается до . По транзитивности существует такое, что и тогда - искомая цепочка.${\displaystyle {\mathfrak {p}}''_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{i}}$${\displaystyle \sigma \in G}$${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {p}}''_{n})={\mathfrak {p}}'_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'_{i}=\sigma ({\mathfrak {p}}''_{i})}$

Интегральное закрытие [ править ]

Пусть ⊂ B будет кольца и А» целое замыкание A в B . (См. Определение выше.)

Интегральные замыкания прекрасно себя ведут при различных конструкциях. В частности, для мультипликативно замкнутого подмножества S из A , то локализация S ^-1 А» представляет целое замыкание S ^-1 A в S ^-1 B , и это целое замыкание в . ^[14] Если являются подкольцами колец , то целое замыкание in - это где - целые замыкания кольца in . ^[15]${\displaystyle A'[t]}$${\displaystyle A[t]}$${\displaystyle B[t]}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i},1\leq i\leq n}$${\displaystyle \prod A_{i}}$${\displaystyle \prod B_{i}}$${\displaystyle \prod {A_{i}}'}$${\displaystyle {A_{i}}'}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i}}$

Целостное замыкание локального кольца A , скажем, в B не обязательно должно быть локальным. (Если это так, то кольцо называется unibranch .) Это тот случай, например , когда является гензелево и B является расширением поля области фракций А .

Если является подкольцом поля K , то целое замыкание A в K является пересечением всех колец нормирования из K , содержащих A .

Пусть быть -градуированы подкольцо - градуированное кольцо B . Тогда целое замыкание A в B является -градуированным подкольцом B . ^[16]${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Также существует понятие целостной замкнутости идеала . Целочисленное замыкание идеала , обычно обозначаемое символом , - это множество всех элементов , для которых существует монический многочлен ${\displaystyle I\subset R}$${\displaystyle {\overline {I}}}$${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}}$

с с как корень. Обратите внимание, что это определение появляется, например, в Eisenbud и отличается от определения Бурбаки и Атьи – Макдональда.${\displaystyle a_{i}\in I}$${\displaystyle r}$

Для нётеровых колец также существуют альтернативные определения.

• ${\displaystyle r\in {\overline {I}}}$если существует не содержащееся ни в каком минимальном простом числе, такое что для всех .${\displaystyle c\in R}$${\displaystyle cr^{n}\in I^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$
• ${\displaystyle r\in {\overline {I}}}$если в нормализованном раздутии I , тяга заднего г содержатся в прообразе I . Разрушение идеала - это операция схем, которая заменяет данный идеал главным идеалом. Нормализация схемы - это просто схема, соответствующая целочисленному замыканию всех ее колец.

Понятие интегрального замыкания идеала используется в некоторых доказательствах теоремы о понижении .

Дирижер [ править ]

Пусть Б быть кольцо и подкольцо B таким образом, что В цело над A . Затем аннуляторный из А - модуля B / A называется проводник из A в B . Поскольку это понятие возникло из теории алгебраических чисел , проводник обозначается через . Явно состоит из таких элементов a в A , что . (ср. идеализатор в абстрактной алгебре.) Это наибольший идеал в A${\displaystyle {\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}(B/A)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$${\displaystyle aB\subset A}$это также идеал B . ^[17] Если S - мультипликативно замкнутое подмножество A , то

${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)={\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A)}$.

Если B является подкольцом полного кольца фракций из А , то мы можем определить

${\displaystyle \ {\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Hom} _{A}(B,A)}$.

Пример: Пусть k - поле и пусть (т. Е. A - координатное кольцо аффинной кривой .) B - интегральное замыкание A в . Проводник A в B - идеальный . В более общем плане , проводник , , б взаимно просты, является с . ^[18]${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]}$${\displaystyle x^{2}=y^{3}}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle (t^{2},t^{3})A}$${\displaystyle A=k[[t^{a},t^{b}]]}$${\displaystyle (t^{c},t^{c+1},\dots )A}$${\displaystyle c=(a-1)(b-1)}$

Предположим, что B - целое замыкание области целостности A в поле частных A, такое что A -модуль конечно порожден. Тогда проводник из A является идеальным определением поддержки ; таким образом, A совпадает с B в дополнении к in . В частности, множество , дополнение , является открытым множеством.${\displaystyle B/A}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle B/A}$${\displaystyle V({\mathfrak {f}})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid A_{\mathfrak {p}}{\text{ is integrally closed}}\}}$${\displaystyle V({\mathfrak {f}})}$

Конечность интегрального замыкания [ править ]

Важный, но трудный вопрос - это конечность интегрального замыкания конечно порожденной алгебры. Есть несколько известных результатов.

Целостное замыкание дедекиндовской области в конечном расширении поля дробей есть дедекиндова область; в частности, нётеровское кольцо. Это следствие теоремы Крулля – Акизуки . В общем, интегральное замыкание нётеровой области размерности не более 2 является нётеровым; Нагата привел пример нётеровой области размерности 3, интегральное замыкание которой не является нётеровым. ^[19] Более красивое утверждение: целочисленное замыкание нётеровой области является областью Крулля ( теорема Мори – Нагаты ). Нагата также привел пример нётеровой локальной области размерности 1, в которой интегральное замыкание не является конечным по этой области. ^{[ необходима цитата ]}

Пусть нётерова целозамкнутое область с полем частных K . Если L / K есть конечное сепарабельное расширение, то целое замыкание из A в L является конечно порожденным - модулем. ^[20] Это просто и стандартно (использует тот факт, что след определяет невырожденную билинейную форму.)${\displaystyle A'}$

Пусть конечно порожденная алгебра над полем к , который является неотъемлемой область с полем частных K . Если L есть конечное расширение К , то целое замыкание из A в L является конечно порожденным - модулем , а также конечно порожденными к - алгебра. ^[21] Результат принадлежит Нётер и может быть показан с помощью леммы о нормализации Нётер следующим образом. Ясно, что достаточно показать утверждение, когда L / K${\displaystyle A'}$либо отделимо, либо полностью неотделимо. Разделимый случай отмечен выше; таким образом, предположим, что L / K полностью неразделимы. По лемме о нормализации A цело над кольцом многочленов . Так как L / K является конечным чисто несепарабельным расширением, есть сила , д простого числа , такие , что каждый элемент из L является д -го корнем элемента в K . Пусть конечное расширение к , содержащих все Q -й корни коэффициентов конечного числа рациональных функций, порождающих L . Тогда у нас есть:${\displaystyle S=k[x_{1},...,x_{d}]}$${\displaystyle k'}$${\displaystyle L\subset k'(x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}).}$Кольцо справа - это поле дробей , которое является целым замыканием S ; таким образом, содержит . Следовательно, конечно над S ; подавно над A . Результат остается верным , если заменить K на Z .${\displaystyle k'[x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}]}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A'}$

Целое замыкание полного локального нетерова домена А в конечном расширении поля частных А конечно над A . ^[22] Точнее, для локального нётерова кольца R мы имеем следующие цепочки импликаций: ^[23]

(я) полное является Нагаты кольцо${\displaystyle \Rightarrow }$

(ii) A - область Нагаты. A аналитически неразветвленная, интегральное замыкание пополнения конечно над целым замыканием A конечно над A.${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\widehat {A}}}$${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

Лемма Нётер о нормализации [ править ]

Лемма Нётер о нормализации - это теорема коммутативной алгебры . Для поля K и конечно порожденной K -алгебры A теорема утверждает, что можно найти элементы y ₁ , y ₂ , ..., y _m в A , которые алгебраически независимы над K такие, что A конечно (и, следовательно, интеграл) над B = K [ y ₁ , ..., y _m ]. Таким образом, расширение K ⊂ Aможно записать как композицию K ⊂ B ⊂ A, где K ⊂ B - чисто трансцендентное расширение, а B ⊂ A конечно. ^[24]

Интегральные морфизмы [ править ]

В алгебраической геометрии , морфизм из схем является интегралом , если это аффинное и если по какой - то ( что то же самое, каждый) аффинного открытого покрытия из Y , каждая карта имеет вид , где является интегральной Б - алгебра. Класс интегральных морфизмов более общий, чем класс конечных морфизмов, потому что существуют целые расширения, которые не являются конечными, например, во многих случаях алгебраическое замыкание поля над полем.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle f^{-1}(U_{i})\to U_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)}$

Абсолютное интегральное замыкание [ править ]

Пусть область целостности и L (некоторые) алгебраическое замыкание поля фракций A . Тогда целое замыкание из А в L называется абсолютным целое замыкание в А . ^[25] Он единственен с точностью до неканонического изоморфизма. Кольцо всех целых алгебраических чисел является примером (и , таким образом , как правило , не нетерова.)${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{+}}$

См. Также [ править ]

• Нормальная схема
• Лемма Нётер о нормализации
• Алгебраическое целое число
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Торсор (алгебраическая геометрия)

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5 
• Николя Бурбаки , Коммутатор Альгебра , 2006.
• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 . 
• Каплански, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-42454-5.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Мацумура, Х (1970), Коммутативная алгебра
• Х. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.
• Дж. С. Милн , "Алгебраическая теория чисел". доступно на http://www.jmilne.org/math/
• Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, 336 , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, Руководство MR  2266432
• М. Рид , Коммутативная алгебра для студентов , Лондонское математическое общество, 29 , Cambridge University Press, 1995.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ирена Суонсон, Интегральные замыкания идеалов и колец
• Есть ли у DG-алгебр какое-нибудь разумное понятие интегрального замыкания?
• k [ x 1 , … , x n {\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}} Всегда ли является целым расширением для регулярной последовательности ?]${\displaystyle k[f_{1},\ldots ,f_{n}]}$${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{n})}$