В математике , область Безу является формой домена прюферовым . Это область целостности, в которой сумма двух главных идеалов снова является главным идеалом. Это означает, что для каждой пары элементов выполняется тождество Безу и что каждый конечно порожденный идеал является главным. Любая область главных идеалов (PID) является областью Безу, но область Безу не обязательно должна быть нётеровым кольцом , поэтому она может иметь неконечно порожденные идеалы (что, очевидно, исключает возможность быть PID); если да, то это не уникальный домен факторизации (UFD), но все же домен GCD.. Теория доменов Безу сохраняет многие свойства PID, не требуя свойства Нётерова. Домены Безу названы в честь французского математика Этьена Безу .
Примеры
- Все PID являются доменами Безу.
- Примеры областей Безу, которые не являются PID, включают кольцо целых функций (функций, голоморфных на всей комплексной плоскости) и кольцо всех алгебраических целых чисел . [1] В случае целых функций единственными неприводимыми элементами являются функции, связанные с полиномиальной функцией степени 1, поэтому элемент имеет факторизацию только в том случае, если он имеет конечное число нулей. В случае целых алгебраических чисел неприводимых элементов нет вообще, поскольку для любого целого алгебраического числа его квадратный корень (например) также является целым алгебраическим числом. В обоих случаях это показывает, что кольцо не является UFD и, конечно же, не PID.
- Кольца оценки - это домены Безу. Любое нётерово оценочное кольцо является примером нётеровой области Безу.
- Следующая общая конструкция создает домен Безу S, который не является UFD, из любого домена Безу R, который не является полем, например, из PID; случай R = Z является основным примером, который следует иметь в виду. Пусть F быть поле частных из R , и положить S = R + XF [ Х ] , подкольцо многочленов F [ X ] с постоянным членом в R . Это кольцо не является нётеровым, поскольку такой элемент, как X с нулевым постоянным членом, может быть неограниченно разделен на необратимые элементы из R , которые по-прежнему необратимы в S , а идеал, порожденный всеми этими частными из, не является конечно порожденным (и поэтому X имеет без факторизации в S ). Как показано ниже, S - область Безу.
- Достаточно доказать, что для каждой пары a , b в S существуют s , t в S такие, что as + bt делит как a, так и b .
- Если a и b имеют общий делитель d , достаточно доказать это для a / d и b / d , так как одни и те же s , t подойдут.
- Мы можем считать полиномы a и b ненулевыми; если оба имеют нулевой постоянный член, то пусть n будет таким минимальным показателем, что хотя бы один из них имеет ненулевой коэффициент при X n ; можно найти f в F такое, что fX n является общим делителем a и b, и разделить на него.
- Поэтому мы можем предположить, что по крайней мере один из a , b имеет ненулевой постоянный член. Если a и b, рассматриваемые как элементы F [ X ], не являются относительно простыми, существует наибольший общий делитель a и b в этом UFD, который имеет постоянный член 1 и, следовательно, лежит в S ; мы можем разделить на этот коэффициент.
- Поэтому мы можем также считать, что a и b взаимно просты в F [ X ], так что 1 лежит в aF [ X ] + bF [ X ] , а некоторый постоянный многочлен r из R лежит в aS + bS . Кроме того , поскольку R является областью Безу, НОД д в R из постоянных условиях а 0 и б 0 лежит в виде 0 R + б 0 R . Так как любой элемент без свободного члена, как и в - в 0 или б - б 0 , делится на любой ненулевой константе, константа д является общим делителем в S из и б ; мы покажем, что это на самом деле наибольший общий делитель, показав, что он лежит в aS + bS . Умножив и б соответственно коэффициентами Безу для г по отношению к более 0 и б 0 дает многочлен р в качестве + Bs с постоянным термином д . Тогда p - d имеет нулевой постоянный член и, следовательно, является кратным в S постоянному многочлену r и, следовательно, лежит в aS + bS . Но тогда работает и d , что завершает доказательство.
Характеристики
Кольцо является областью Безу тогда и только тогда, когда оно является областью целостности, в которой любые два элемента имеют наибольший общий делитель , являющийся их линейной комбинацией : это эквивалентно утверждению, что идеал, порожденный двумя элементами, также является порождается одним элементом, и индукция показывает, что все конечно порожденные идеалы являются главными. Выражение наибольшего общего делителя двух элементов PID в виде линейной комбинации часто называют тождеством Безу , отсюда и терминология.
Обратите внимание, что указанное выше условие gcd сильнее, чем простое существование gcd. Область целостности, где НОД существует для любых двух элементов, называется областью НОД, и, следовательно, домены Безу являются доменами НОД. В частности, в области Безу неприводимые числа являются простыми (но, как показывает пример алгебраических целых чисел, они могут не существовать).
Для области Безу R все следующие условия эквивалентны:
- R - область главных идеалов.
- R - нетеровский.
- R - это уникальный домен факторизации (UFD).
- R удовлетворяет условию возрастающей цепочки главных идеалов (ACCP).
- Каждая ненулевая единица в R делится на произведение неприводимых (R - атомарная область ).
Эквивалентность (1) и (2) отмечена выше. Поскольку область Безу является областью НОД, немедленно следует, что (3), (4) и (5) эквивалентны. Наконец, если R не нётерово, то существует бесконечная восходящая цепочка конечно порожденных идеалов, так что в области Безу бесконечная восходящая цепочка главных идеалов. Таким образом, (4) и (2) эквивалентны.
Область Безу - это область Прюфера , т. Е. Область , в которой каждый конечно порожденный идеал обратим, или, иначе говоря, коммутативная полунаследственная область.)
Следовательно, можно рассматривать эквивалентность «домен Безу, если и только если, прюферский домен и GCD-домен», как аналог более знакомого «PID iff, Dedekind domain and UFD».
Области Прюфера можно охарактеризовать как целостные области, локализации которых на всех простых (эквивалентно, на всех максимальных ) идеалах являются областями оценки . Таким образом, локализация области Безу в простом идеале - это область оценки. Поскольку обратимый идеал в локальном кольце является главным, локальное кольцо является областью Безу тогда и только тогда, когда оно является областью оценки. Более того, область оценки с нециклической (эквивалентно недискретной ) группой значений не является нётеровой, и каждая полностью упорядоченная абелева группа является группой значений некоторой области оценки. Это дает множество примеров нётеровых областей Безу.
В некоммутативной алгебре, правые домены Без домены , чьи конечно порожденные правые идеалы являются главными правыми идеалами, то есть вид Xr для некоторых х в R . Одним из примечательных результатов является то, что правый домен Безу является правым доменом Оре . В коммутативном случае этот факт не интересен, поскольку каждая коммутативная область является областью Оре. Правые области Безу также являются полунаследственными справа кольцами.
Модули над доменом Безу
Некоторые факты о модулях над PID распространяются на модули над доменом Безу. Пусть R некоторая область Безу и M конечно порожденный модуль над R . Тогда M плоский тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. [2]
Смотрите также
- Полуфир (коммутативная полутень - это в точности область Безу.)
- Кольцо Bézout
Рекомендации
- ^ Кон
- ↑ Бурбаки 1989 , гл. I, §2, № 4, предложение 3
- Кон, PM (1968), "Кольца Безу и их подкольца" (PDF) , Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 : 251-264, DOI : 10,1017 / s0305004100042791 , МР 0222065
- Хелмер, Олаф (1940), "Свойства делимости интегральных функций", Duke Math. J. , 6 : 345-356, DOI : 10,1215 / s0012-7094-40-00626-3 , ISSN 0012-7094 , МР 0001851
- Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, MR 0254021
- Бурбаки, Николас (1989), Коммутативная алгебра
- "Кольцо Безу" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]