В абстрактной алгебре , A не- ненулевой блок элемента в области целостности называется неприводимым , если он не является произведением двух не- единиц , или , что эквивалентно, если каждый факторинга такого элемента содержит , по меньшей мере , один блок.
Отношения с первоэлементами
Неприводимые элементы не следует путать с простыми элементами . (Ненулевой неединичный элементв коммутативном кольце называется простым, если, всякий раз, когда для некоторых а также в тогда или же ) В области целостности каждый простой элемент неприводим, [1] [2], но обратное, вообще говоря, неверно. Обратное верно для уникальных доменов факторизации [2] (или, в более общем смысле, доменов GCD ).
Более того, хотя идеал, порожденный простым элементом, является простым идеалом , в общем случае неверно, что идеал, порожденный неприводимым элементом, является неприводимым идеалом . Однако если является доменом GCD и является неприводимым элементом , то, как указано выше прост, поэтому идеал, порожденный является простым (следовательно, неприводимым) идеалом . [3]
Пример
В квадратичном целочисленном кольце используя аргументы нормы, можно показать, что число 3 неприводимо. Однако это не первичный элемент в этом кольце, так как, например,
но 3 не делит ни один из двух факторов. [4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Рассмотрим главный элемент и предположим потом или же Сказать тогда у нас есть Так как является областью целостности, мы имеем Так это единица и неприводимо.
- ^ a b Шарп (1987) с.54
- ^ "Архивная копия" . Архивировано из оригинала на 2010-06-20 . Проверено 18 марта 2009 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Уильям У. Адамс и Ларри Джоэл Голдштейн (1976), Введение в теорию чисел , стр. 250, Прентис-Холл, Инк., ISBN 0-13-491282-9
- Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008 .