В математике , точнее в теории колец , атомная область или область факторизации - это целостная область, в которой каждое ненулевое неединичное значение может быть записано, по крайней мере, одним способом как конечное произведение неприводимых элементов . Атомарные домены отличаются от уникальных доменов факторизации тем, что это разложение элемента на неприводимые элементы не обязательно должно быть уникальным; иначе говоря, неприводимый элемент не обязательно является простым элементом .
Важные примеры атомарных доменов включают класс всех уникальных доменов факторизации и всех нётеровых доменов . В более общем смысле, любая область целостности, удовлетворяющая условию восходящей цепочки главных идеалов (ACCP), является атомарной областью. Хотя в статье Кона утверждается обратное , [1] это, как известно, неверно. [2]
Термин «атомный» принадлежит П. М. Кону , который назвал неприводимый элемент области целостности «атомом».
Мотивация
В этом разделе кольцо можно рассматривать как просто абстрактный набор, в котором можно выполнять операции сложения и умножения; аналогично целым числам .
Кольцо целых чисел (то есть набор целых чисел с естественными операциями сложения и умножения) удовлетворяет многим важным свойствам. Одно из таких свойств - основная теорема арифметики . Таким образом, при рассмотрении абстрактных колец возникает естественный вопрос, при каких условиях выполняется такая теорема. Поскольку единственная область факторизации - это в точности кольцо, в котором выполняется аналог основной теоремы арифметики, на этот вопрос нетрудно ответить. Однако можно заметить, что есть два аспекта фундаментальной теоремы арифметики: во-первых, любое целое число является конечным произведением простых чисел , а во-вторых, это произведение уникально с точностью до перестановки (и умножения на единицы). Поэтому также естественно задаться вопросом, при каких условиях отдельные элементы кольца могут быть «разложены», не требуя единственности. Концепция атомарного домена решает эту проблему.
Определение
Пусть R - область целостности . Если каждый ненулевой неединичный x из R может быть записан как произведение неприводимых элементов , R называется атомарной областью. (Произведение обязательно конечно, поскольку бесконечные произведения не определены в теории колец . Такое произведение может включать один и тот же неприводимый элемент более одного раза в качестве множителя.) Любое такое выражение называется факторизацией x .
Особые случаи
В атомарной области возможно, что разные факторизации одного и того же элемента x имеют разную длину. Возможно даже, что среди факторизаций x нет ограничения на количество неприводимых множителей. Если, наоборот, количество факторов ограничено для любого ненулевого неединичного x , тогда R является ограниченной областью факторизации ( BFD ); формально это означает, что для каждого такого x существует целое число N такое, что если x = x 1 x 2 ... x n ни с одним из x iобратим, тогда n < N .
Если такая граница существует, никакая цепочка собственных делителей от x до 1 не может превышать эту границу по длине (поскольку частное на каждом шаге может быть факторизовано, производя факторизацию x по крайней мере с одним неприводимым множителем для каждого шага цепочки) , так что не может быть бесконечной строго возрастающей цепочки главных идеалов из R . Это условие, называемое условием возрастающей цепи на главных идеалах или ACCP, строго слабее, чем условие BFD, и строго сильнее, чем условие атомарности (другими словами, даже если существуют бесконечные цепочки собственных делителей, все равно может быть, что каждый x имеет конечную факторизацию [3] ).
Два независимых условия, которые строго сильнее, чем условие BFD, - это условие полуфакториальной области ( HFD : любые две факторизации любого заданного x имеют одинаковую длину) и условие конечной факторизации области ( FFD : любой x имеет только конечное число из не- ассоциированных делителей). Очевидно, что каждая уникальная область факторизации удовлетворяет этим двум условиям, но ни одно из них не подразумевает уникальной факторизации.
Ссылки
- ^ PM Кон, кольца Безу и их подкольца; Proc. Camb. Phil.Soc. 64 (1968) 251–264
- ^ A. Граммы, Атомные кольца и условие возрастающей цепи для главных идеалов. Proc. Cambridge Philos. Soc. 75 (1974), 321–329.
- ^ Д.Д. Андерсон, Д.Ф. Андерсон, М. Зафрулла, Факторизация в целостных областях; J. Чистая и прикладная алгебра 69 (1990) 1–19
- PM Кон, Кольца Безу и их подкольца , 1968.
