Бесконечный продукт

В математике для последовательности комплексных чисел a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... бесконечное произведение

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}

определяется , чтобы быть пределом из частичных произведений ₁₂ ... _п а п неограниченно возрастает. Говорят, что произведение сходится, если предел существует и не равен нулю. В противном случае говорят, что продукт расходится . Предел нуля рассматривается специально, чтобы получить результаты, аналогичные результатам для бесконечных сумм . Некоторые источники допускают сходимость к 0, если имеется только конечное число нулевых множителей и произведение ненулевых множителей не равно нулю, но для простоты мы не допустим этого здесь. Если произведение сходится, то предел последовательности a _n приn неограниченно возрастает, должно быть 1, в то время как обратное, вообще говоря, неверно.

Наиболее известными примерами бесконечных произведений, вероятно, являются некоторые из формул для π , такие как следующие два произведения, соответственно, Виете ( формула Вьете , первое опубликованное бесконечное произведение в математике) и Джона Уоллиса ( произведение Уоллиса ):

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} { 2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdot \; \ cdots}

{\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).

Критерии конвергенции [ править ]

Произведение положительных действительных чисел

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}

сходится к ненулевому действительному числу тогда и только тогда, когда сумма

\sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})

сходится. Это позволяет переводить критерии сходимости для бесконечных сумм в критерии сходимости для бесконечных произведений. Же критерий относится к продуктам произвольных комплексных чисел ( в том числе и отрицательных чисел) , если логарифм понимаются как фиксированная ветвь логарифма , которая удовлетворяет условию Ln (1) = 0, при условии , что бесконечный расходится продукт , когда бесконечно много _п выходит за пределами область LN, тогда как конечное число таких в _п можно пренебречь в сумме.

Для произведений вещественных чисел, в которых каждое , записанное, например, как , где , границы $a_{n}\geq 1$ $a_{n}=1+p_{n}$ $p_{n}\geq 0$

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

покажите, что бесконечное произведение сходится, если сходится бесконечная сумма p _n . Это основано на теореме о монотонной сходимости . Мы можем показать обратное, заметив, что если , то $p_{n}\to 0$

\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1,

и из теста сравнения пределов следует, что две серии

\sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }p_{n},

эквивалентны, что означает, что либо они сходятся, либо расходятся.

То же доказательство также показывает, что если для некоторых , то сходится к ненулевому числу тогда и только тогда, когда сходится. $a_{n}=1-q_{n}$ $0\leq q_{n}<1$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-q_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }q_{n}}$

Если ряд расходится до , то последовательность частичных произведений a _n сходится к нулю. Говорят, что бесконечное произведение расходится к нулю . ^[1] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ $-\infty$

Для случая, когда у них есть произвольные знаки, сходимость суммы не гарантирует сходимость произведения . Например, если , то сходится, но расходится до нуля. Однако, если он сходится, то продукт сходится абсолютно, то есть факторы могут быть переставлены в любом порядке, не изменяя ни сходимость, ни предельное значение бесконечного продукта. ^[2] Кроме того, если сходится, то сумма и произведение либо сходятся, либо расходятся. ^[3] $p_{n}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ $p_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$

Представление функций продукта [ править ]

Одним из важных результатов, касающихся бесконечных произведений, является то, что каждая целая функция f ( z ) (то есть каждая функция, голоморфная на всей комплексной плоскости ) может быть разложена на бесконечное произведение целых функций, каждая из которых имеет не более одного корня. В общем, если f имеет корень порядка m в начале координат и другие комплексные корни в u ₁ , u ₂ , u ₃ , ... (перечисленные с кратностями, равными их порядкам), то

f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace

где λ _n - неотрицательные целые числа, которые могут быть выбраны так, чтобы произведение сходилось, и является некоторой целой функцией (что означает, что член перед произведением не будет иметь корней в комплексной плоскости). Вышеупомянутая факторизация не является единственной, так как она зависит от выбора значений для λ _n . Однако для большинства функций будет некоторое минимальное неотрицательное целое число p такое, что λ _n = p дает сходящееся произведение, называемое каноническим представлением произведения . Этот p называется рангом канонического произведения. В случае p = 0 это принимает вид $\phi (z)$

f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).

Это можно рассматривать как обобщение основной теоремы алгебры , поскольку для многочленов произведение становится конечным, а φ ( z ) постоянным.

В дополнение к этим примерам следует особо отметить следующие изображения:

Функция	Бесконечное представление продукта (я)	Примечания
Простой полюс	${\begin{aligned}{\frac {c}{c-z}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}}\\{\frac {1}{1-z}}&=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)\end{aligned}}$
Функция Sinc	${\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$	Это связано с Эйлером . Формула Уоллиса для π - частный случай этого.
Взаимная гамма-функция	${\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}$	Schlömilch
Сигма-функция Вейерштрасса	$\sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}$	Вот решетка без начала координат. $\Lambda _{*}$
Символ Q-Pochhammer	$(z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})$	Широко используется в теории q-аналога . Функция Эйлера - частный случай.
Тета-функция Рамануджана	${\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}$	Выражение тройного произведения Якоби , также используемое в выражении тета-функции Якоби
Дзета-функция Римана	$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}$	Здесь p _n обозначает n- е простое число . Это частный случай произведения Эйлера .

Последнее из них не является представлением произведения того же типа, что обсуждалось выше, поскольку ζ не является целым. Скорее, приведенное выше представление произведения ζ ( z ) сходится точно при Re ( z )> 1, где это аналитическая функция. Используя методы аналитического продолжения , эту функцию можно однозначно расширить до аналитической функции (все еще обозначаемой ζ ( z )) на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 1, где она имеет простой полюс .

См. Также [ править ]

Бесконечные произведения в тригонометрии
Бесконечная серия
Непрерывная дробь
Бесконечное выражение
Итерированная бинарная операция

Ссылки [ править ]

^ Джеффрис, Гарольд ; Джеффрис, Берта Свирлс (1999). Методы математической физики . Кембриджская математическая библиотека (3-е исправленное издание). Издательство Кембриджского университета . п. 52. ISBN 1107393671.
^ Тренч, Уильям Ф. (1999). «Условная сходимость бесконечных произведений» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 106 : 646–651. DOI : 10.1080 / 00029890.1999.12005098 . Проверено 10 декабря 2018 года .
^ Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов . Лондон: Blackie & Son Ltd.

Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов . Dover Publications . ISBN 978-0-486-66165-0.
Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Бостон: Макгроу Хилл . ISBN 0-07-054234-1.
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.

Внешние ссылки [ править ]

Бесконечные продукты от Wolfram Math World
Коллекция бесконечных продуктов - I
Коллекция бесконечных продуктов - II

[1] Джеффрис, Гарольд ; Джеффрис, Берта Свирлс (1999). Методы математической физики . Кембриджская математическая библиотека (3-е исправленное издание). Издательство Кембриджского университета . п. 52. ISBN 1107393671.

[Trench1999-2] Тренч, Уильям Ф. (1999). «Условная сходимость бесконечных произведений» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 106 : 646–651. DOI : 10.1080 / 00029890.1999.12005098 . Проверено 10 декабря 2018 года .

[Knopp-3] Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов . Лондон: Blackie & Son Ltd.

[1]