Бесконечное произведение на пи
Сравнение сходимости произведения Уоллиса (фиолетовые звездочки) и нескольких исторических бесконечных рядов для
π .
S n - это приближение после принятия
n членов. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз.
(нажмите для подробностей) В математике , тем продукт Уоллиса для П Джон Уоллис , [1]
π 2 знак равно ∏ п знак равно 1 ∞ 4 п 2 4 п 2 - 1 знак равно ∏ п знак равно 1 ∞ ( 2 п 2 п - 1 ⋅ 2 п 2 п + 1 ) знак равно ( 2 1 ⋅ 2 3 ) ⋅ ( 4 3 ⋅ 4 5 ) ⋅ ( 6 5 ⋅ 6 7 ) ⋅ ( 8 7 ⋅ 8 9 ) ⋅ ⋯ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ pi} {2}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2 } -1}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1}} \ right ) \\ [6pt] & = {\ Big (} {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} { 7}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} {\ Big)} \ cdot \; \ cdots \\ \ конец {выровнено}}} Доказательство с использованием интеграции [ править ] Уоллис вывел это бесконечное произведение, как это делается сегодня в книгах по математике, исследуя четные и нечетные значения и отмечая, что для больших увеличение на 1 приводит к изменению, которое становится все меньше по мере увеличения. Пусть [2] ∫ 0 π грех п Икс d Икс {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx} п {\ displaystyle n} п {\ displaystyle n} п {\ displaystyle n} п {\ displaystyle n}
я ( п ) знак равно ∫ 0 π грех п Икс d Икс . {\displaystyle I(n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx.} (Это форма интегралов Уоллиса .) Интегрируйте по частям :
u = sin n − 1 x ⇒ d u = ( n − 1 ) sin n − 2 x cos x d x d v = sin x d x ⇒ v = − cos x {\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sin ^{n-1}x\\\Rightarrow du&=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\dv&=\sin x\,dx\\\Rightarrow v&=-\cos x\end{aligned}}} ⇒ I ( n ) = ∫ 0 π sin n x d x = − sin n − 1 x cos x | 0 π − ∫ 0 π ( − cos x ) ( n − 1 ) sin n − 2 x cos x d x = 0 + ( n − 1 ) ∫ 0 π cos 2 x sin n − 2 x d x , n > 1 = ( n − 1 ) ∫ 0 π ( 1 − sin 2 x ) sin n − 2 x d x = ( n − 1 ) ∫ 0 π sin n − 2 x d x − ( n − 1 ) ∫ 0 π sin n x d x = ( n − 1 ) I ( n − 2 ) − ( n − 1 ) I ( n ) = n − 1 n I ( n − 2 ) ⇒ I ( n ) I ( n − 2 ) = n − 1 n ⇒ I ( 2 n − 1 ) I ( 2 n + 1 ) = 2 n + 1 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow I(n)&=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=-\sin ^{n-1}x\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }(-\cos x)(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\[6pt]{}&=0+(n-1)\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,dx,\qquad n>1\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}x\,dx-(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)\\[6pt]{}&={\frac {n-1}{n}}I(n-2)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {I(n)}{I(n-2)}}&={\frac {n-1}{n}}\\[6pt]\Rightarrow {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}&={\frac {2n+1}{2n}}\end{aligned}}} Этот результат будет использован ниже:
I ( 0 ) = ∫ 0 π d x = x | 0 π = π I ( 1 ) = ∫ 0 π sin x d x = − cos x | 0 π = ( − cos π ) − ( − cos 0 ) = − ( − 1 ) − ( − 1 ) = 2 I ( 2 n ) = ∫ 0 π sin 2 n x d x = 2 n − 1 2 n I ( 2 n − 2 ) = 2 n − 1 2 n ⋅ 2 n − 3 2 n − 2 I ( 2 n − 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(0)&=\int _{0}^{\pi }dx=x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=\pi \\[6pt]I(1)&=\int _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\\[6pt]I(2n)&=\int _{0}^{\pi }\sin ^{2n}x\,dx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)\end{aligned}}} Повторяя процесс,
= 2 n − 1 2 n ⋅ 2 n − 3 2 n − 2 ⋅ 2 n − 5 2 n − 4 ⋅ ⋯ ⋅ 5 6 ⋅ 3 4 ⋅ 1 2 I ( 0 ) = π ∏ k = 1 n 2 k − 1 2 k {\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}} I ( 2 n + 1 ) = ∫ 0 π sin 2 n + 1 x d x = 2 n 2 n + 1 I ( 2 n − 1 ) = 2 n 2 n + 1 ⋅ 2 n − 2 2 n − 1 I ( 2 n − 3 ) {\displaystyle I(2n+1)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)} Повторяя процесс,
= 2 n 2 n + 1 ⋅ 2 n − 2 2 n − 1 ⋅ 2 n − 4 2 n − 3 ⋅ ⋯ ⋅ 6 7 ⋅ 4 5 ⋅ 2 3 I ( 1 ) = 2 ∏ k = 1 n 2 k 2 k + 1 {\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}} sin 2 n + 1 x ≤ sin 2 n x ≤ sin 2 n − 1 x , 0 ≤ x ≤ π {\displaystyle \sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x\leq \sin ^{2n-1}x,0\leq x\leq \pi } ⇒ I ( 2 n + 1 ) ≤ I ( 2 n ) ≤ I ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1)} ⇒ 1 ≤ I ( 2 n ) I ( 2 n + 1 ) ≤ I ( 2 n − 1 ) I ( 2 n + 1 ) = 2 n + 1 2 n {\displaystyle \Rightarrow 1\leq {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leq {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}} По теореме гармони ,
⇒ lim n → ∞ I ( 2 n ) I ( 2 n + 1 ) = 1 {\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1} lim n → ∞ I ( 2 n ) I ( 2 n + 1 ) = π 2 lim n → ∞ ∏ k = 1 n ( 2 k − 1 2 k ⋅ 2 k + 1 2 k ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1} ⇒ π 2 = ∏ k = 1 ∞ ( 2 k 2 k − 1 ⋅ 2 k 2 k + 1 ) = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ ⋯ {\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots } Доказательство с использованием бесконечного произведения Эйлера для синусоидальной функции [ править ] Хотя приведенное выше доказательство обычно приводится в современных учебниках по математическому анализу, произведение Уоллиса, в ретроспективе, является простым следствием более позднего бесконечного произведения Эйлера для синусоидальной функции .
sin x x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 π 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)} Пусть : x = π 2 {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}}
⇒ 2 π = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − 1 4 n 2 ) ⇒ π 2 = ∏ n = 1 ∞ ( 4 n 2 4 n 2 − 1 ) = ∏ n = 1 ∞ ( 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 ) = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}} [1]
Отношение к приближению Стирлинга [ править ] Приближение Стирлинга для факториальной функции утверждает, что n ! {\displaystyle n!}
n ! = 2 π n ( n e ) n [ 1 + O ( 1 n ) ] . {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left[1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right].} Рассмотрим теперь конечные приближения к произведению Уоллиса, полученные взятием первых членов в произведении k {\displaystyle k}
p k = ∏ n = 1 k 2 n 2 n − 1 2 n 2 n + 1 , {\displaystyle p_{k}=\prod _{n=1}^{k}{\frac {2n}{2n-1}}{\frac {2n}{2n+1}},} где можно записать как p k {\displaystyle p_{k}}
p k = 1 2 k + 1 ∏ n = 1 k ( 2 n ) 4 [ ( 2 n ) ( 2 n − 1 ) ] 2 = 1 2 k + 1 ⋅ 2 4 k ( k ! ) 4 [ ( 2 k ) ! ] 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{k}&={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{[(2n)(2n-1)]^{2}}}\\[6pt]&={1 \over {2k+1}}\cdot {{2^{4k}\,(k!)^{4}} \over {[(2k)!]^{2}}}.\end{aligned}}} Подставляя приближение Стирлинга в это выражение (как для и ), можно вывести (после коротких вычислений), что сходится к как . k ! {\displaystyle k!} ( 2 k ) ! {\displaystyle (2k)!} p k {\displaystyle p_{k}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} k → ∞ {\displaystyle k\rightarrow \infty }
Производная дзета-функции Римана в нуле [ править ] Дзета - функция Римана , а функция ETA Дирихля могут быть определены: [1]
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s , ℜ ( s ) > 1 η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s , ℜ ( s ) > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\Re (s)>1\\[6pt]\eta (s)&=(1-2^{1-s})\zeta (s)\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}},\Re (s)>0\end{aligned}}} Применяя преобразование Эйлера к последней серии, получаем следующее:
η ( s ) = 1 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 [ 1 n s − 1 ( n + 1 ) s ] , ℜ ( s ) > − 1 ⇒ η ′ ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ′ ( s ) + 2 1 − s ( ln 2 ) ζ ( s ) = − 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 [ ln n n s − ln ( n + 1 ) ( n + 1 ) s ] , ℜ ( s ) > − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (s)&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1\\[6pt]\Rightarrow \eta '(s)&=(1-2^{1-s})\zeta '(s)+2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {\ln n}{n^{s}}}-{\frac {\ln(n+1)}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1\end{aligned}}} ⇒ η ′ ( 0 ) = − ζ ′ ( 0 ) − ln 2 = − 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 [ ln n − ln ( n + 1 ) ] = − 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ln n n + 1 = − 1 2 ( ln 1 2 − ln 2 3 + ln 3 4 − ln 4 5 + ln 5 6 − ⋯ ) = 1 2 ( ln 2 1 + ln 2 3 + ln 4 3 + ln 4 5 + ln 6 5 + ⋯ ) = 1 2 ln ( 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ ⋯ ) = 1 2 ln π 2 ⇒ ζ ′ ( 0 ) = − 1 2 ln ( 2 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \eta '(0)&=-\zeta '(0)-\ln 2=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln(n+1)\right]\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\ln {\frac {n}{n+1}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {1}{2}}-\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {3}{4}}-\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {5}{6}}-\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {2}{1}}+\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {4}{3}}+\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {6}{5}}+\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\pi }{2}}\\\Rightarrow \zeta '(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)\end{aligned}}} Внешние ссылки [ править ] «Формула Уоллиса» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] «Почему это произведение равно π / 2? Новое доказательство формулы Уоллиса для π». 3Синий1Коричневый . 20 апреля 2018 г. - через YouTube . 
![{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ pi} {2}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2 } -1}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1}} \ right ) \\ [6pt] & = {\ Big (} {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} { 7}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} {\ Big)} \ cdot \; \ cdots \\ \ конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df59bf8aa67b6dff8be6cffb4f59777cea828454)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow I (n) & = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx \\ [6pt] {} & = - \ sin ^ {n-1} x \ cos x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} - \ int _ {0} ^ {\ pi} (- \ cos x) (n-1) \ sin ^ {n-2} x \ cos x \, dx \\ [6pt] {} & = 0+ (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos ^ {2} x \ sin ^ { n-2} x \, dx, \ qquad n> 1 \\ [6pt] {} & = (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} (1- \ sin ^ {2} x) \ sin ^ {n-2} x \, dx \\ [6pt] {} & = (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} x \, dx- (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx \\ [6pt] {} & = (n-1) I (n-2) - (n- 1) I (n) \\ [6pt] {} & = {\ frac {n-1} {n}} I (n-2) \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {I (n)} { I (n-2)}} & = {\ frac {n-1} {n}} \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} & = {\ гидроразрыва {2n + 1} {2n}} \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4caccf8ab14199dbcb12f3e9868532004b259d)
![{\ displaystyle {\ begin {align} I (0) & = \ int _ {0} ^ {\ pi} dx = x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} = \ pi \\ [6pt ] I (1) & = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin x \, dx = - \ cos x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} = (- \ cos \ pi ) - (- \ cos 0) = - (- 1) - (- 1) = 2 \\ [6pt] I (2n) & = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2n} x \, dx = {\ frac {2n-1} {2n}} I (2n-2) = {\ frac {2n-1} {2n}} \ cdot {\ frac {2n-3} {2n-2} } I (2n-4) \ end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339c163bd5fc874b98398ccb5e11ac396be37bf2)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow {\ frac {2} {\ pi}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {4n ^ {2}}} \ right) \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {\ pi} {2}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} \ right) \\ [6pt] & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n- 1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1}} \ right) = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4 } {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdots \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ce7488d92c2708916455e66c7770dbfed21150)
![{\ displaystyle n! = {\ sqrt {2 \ pi n}} {\ left ({\ frac {n} {e}} \ right)} ^ {n} \ left [1 + O \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fbe5666b3943b49f7279545f2d83f745c8bed2)
![{\ displaystyle {\ begin {align} p_ {k} & = {1 \ over {2k + 1}} \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {(2n) ^ {4}} { [(2n) (2n-1)] ^ {2}}} \\ [6pt] & = {1 \ over {2k + 1}} \ cdot {{2 ^ {4k} \, (k!) ^ { 4}} \ over {[(2k)!] ^ {2}}}. \ End {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4425b5472edd553ad732621d722aa0a7ddf13ab)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (s) & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}, \ Re (s)> 1 \\ [6pt] \ eta (s) & = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta (s) \\ [6pt] & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {s}}}, \ Re (s)> 0 \ end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf32ebbc781cbf33667c496c10e1231e0a10c3e)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ eta (s) & = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n-1} \ left [{\ frac {1} {n ^ {s}}} - {\ frac {1} {(n + 1) ^ {s}}} \ right], \ Re (s)> - 1 \\ [6pt] \ Rightarrow \ eta '(s) & = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta' (s) + 2 ^ {1-s} (\ ln 2) \ zeta (s) \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left [{\ frac {\ ln n} {n ^ {s}}} - {\ frac {\ ln (n + 1)} {(n + 1) ^ {s}}} \ right], \ Re ( s)> - 1 \ end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62998eb05e0fccc87195869efc243c134bad554)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow \ eta '(0) & = - \ zeta' (0) - \ ln 2 = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left [\ ln n- \ ln (n + 1) \ right] \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ ln {\ frac {n} {n + 1}} \\ [6pt] & = - {\ frac {1 } {2}} \ left (\ ln {\ frac {1} {2}} - \ ln {\ frac {2} {3}} + \ ln {\ frac {3} {4}} - \ ln { \ frac {4} {5}} + \ ln {\ frac {5} {6}} - \ cdots \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ ln {\ frac {2} {1}} + \ ln {\ frac {2} {3}} + \ ln {\ frac {4} {3}} + \ ln {\ frac {4} {5}} + \ ln {\ frac {6} {5}} + \ cdots \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot \ cdots \ right) = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {\ pi} {2}} \\\ Rightarrow \ zeta '(0) & = - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (2 \ pi \ right ) \ конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3803d63abff3794e62b95627aefe28f36754d24f)
