Ковер Серпинского является плоской фрактальной впервые описал Серпинский в 1916 году Ковер является обобщением множества Кантора в двух измерениях; другой - канторовская пыль .
Техника разделения фигуры на меньшие копии самой себя , удаления одной или нескольких копий и рекурсивного продолжения может быть распространена на другие фигуры. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и повторение приводит к треугольнику Серпинского . В трех измерениях похожая конструкция, основанная на кубах, известна как губка Менгера .
Строительство
Строительство ковра Серпинского начинается с квадрата . Квадрат разрезается на 9 конгруэнтных подквадратов в сетке 3 на 3, а центральный подквадрат удаляется. Затем та же процедура рекурсивно применяется к оставшимся 8 подквадратам до бесконечности . Это может быть реализовано как набор точек в единичном квадрате, координаты которого, записанные в базе три, не имеют обеих цифр '1' в одной и той же позиции, используя представление бесконечно малых чисел. [1]
Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правила конечного подразделения .
Характеристики
Площадь ковра равна нулю (в стандартной мере Лебега ).
- Доказательство. Обозначим a i область итерации i . Тогда a i + 1 =8/9а я . Итак, a i = ( 8/9) i , который стремится к 0 при стремлении i к бесконечности.
Интерьер ковра пуст.
- Доказательство. Предположим от противного, что внутри ковра есть точка P. Тогда есть квадрат с центром в точке P, который полностью заключен в ковер. Этот квадрат содержит меньший квадрат, координаты которого кратны 1/3 кдля некоторых k . Но этот квадрат должен быть продырявлен на итерации k , поэтому он не может содержаться в ковре - противоречие.
Хаусдорфова ковражурнал 8/журнал 3≈ 1,8928 . [2]
Серпинский показал, что его ковер представляет собой универсальную плоскую кривую. [3] То есть ковер Серпинского - это компактное подмножество плоскости с размерностью 1 покрытия Лебега , и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфно некоторому подмножеству ковра Серпинского.
Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинно универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, непересекающееся соединение ковра Серпинского и круга также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 году Гордон Уайберн [4] однозначно охарактеризовал ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, которая локально связна и не имеет «локальных точек разреза», гомеоморфна ковру Серпинского. Здесь местный разрез точка является точкой р , для которых некоторая связная окрестность U от р обладает свойством , что U - { р } не подключен. Так, например, любая точка окружности является локальной точкой разреза.
В той же статье Уайберн дал другую характеристику ковру Серпинского. Напомним , что континуум непустое связное компактное метрическое пространство. Пусть X есть континуум встроенный в плоскости. Предположим , что его дополнение в плоскости имеет счетное число компонент связности C 1 , C 2 , C 3 , ... и пусть:
- диаметр C i стремится к нулю при i → ∞ ;
- граница С я и граница C J не пересекаются , если я ≠ J ;
- граница C i - простая замкнутая кривая для каждого i ;
- объединение границ множеств C я плотно в X .
Тогда X гомеоморфен ковру Серпинского.
Броуновское движение на ковре Серпинского
Тема броуновского движения на ковре Серпинского вызывает интерес в последние годы. [5] Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание по ковру Серпинского распространяется медленнее, чем неограниченное случайное блуждание по плоскости. Последний достигает среднего расстояния, пропорционального √ n после n шагов, но случайное блуждание по дискретному ковру Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального β √ n для некоторого β > 2 . Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильным неравенствам больших уклонений (так называемым «субгауссовским неравенствам») и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Гарнака, но не параболическому. Существование такого примера долгие годы оставалось открытой проблемой.
Сито Уоллиса
Разновидность ковра Серпинского, называемая Уоллис ситом , начинается таким же образом, путем разбиения единичного квадрата на девять меньшие квадраты и удаления середины них. На следующем уровне подразделения, он подразделяет каждый из квадратов на 25 меньших квадратов и удаляет средний один, и он продолжается на I - й шаг за подразделяя каждый квадрат в (2 я + 1) 2 (на нечетных квадратов [6] ) меньшие квадраты и удаление среднего.
По произведению Уоллиса площадь результирующего множества равна π/4, [7] [8] в отличие от стандартного ковра Серпинского, который имеет нулевую предельную площадь.
Однако по результатам Уайберна, упомянутым выше, мы видим, что сито Уоллиса гомеоморфно ковру Серпинского. В частности, его интерьер по-прежнему пуст.
Приложения
Фрактальные антенны для мобильных телефонов и WiFi были созданы в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности они легко адаптируются к нескольким частотам. Они также просты в изготовлении и меньше по размеру, чем обычные антенны с аналогичными характеристиками, что делает их оптимальными для карманных мобильных телефонов.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Аллуш, Жан-Поль; Шаллит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . стр. 405 -406. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015 .
- ^ Семмеса, Стивен (2001). Некоторые Новые типы фрактальной геометрии . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. п. 31. ISBN 0-19-850806-9. Zbl 0970.28001 .
- ^ Серпинский, Вацлав (1916). "Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée". CR Acad. Sci. Париж (на французском). 162 : 629–632. ISSN 0001-4036 . JFM 46.0295.02 .
- ^ Уайберн, Гордон (1958). «Топологическая характеристика кривой Серпинского» . Фонд. Математика . 45 : 320–324. DOI : 10,4064 / фм-45-1-320-324 .
- ^ Барлоу, Мартин; Bass, Ричард, броуновское движение и гармонический анализ на Серпинских коврах (PDF)
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A016754 (нечетных квадратов:. A (N) = (2n + 1) ^ 2 Также в центре восьмиугольные чисел.)" . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Руммлер, Хансклав (1993). «Квадратная круг с дырками». Американский математический ежемесячник . 100 (9): 858–860. DOI : 10.2307 / 2324662 . JSTOR 2324662 . Руководство по ремонту 1247533 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Сито Уоллис» . MathWorld .
Внешние ссылки
- Вариации на тему Tremas II
- Печенье Серпинского
- Проект ковров Серпинского
- Ковер Серпинского решен с помощью модульной арифметики