Хаусдорфово измерение

Пример нецелочисленных измерений. Первые четыре итерации по кривой Коха , где после каждой итерации, все исходные отрезки заменены с четырьмя, каждый -автомодельная копирования , что составляет 1/3 длины оригинала. Один формализм размерности Хаусдорфа использует этот масштабный коэффициент (3) и количество самоподобных объектов (4) для вычисления размерности D после первой итерации, равной D = (log N) / (log S) = ( log 4) / (log 3) ≈ 1,26. ^[1] То есть, в то время как размерность Хаусдорфа одной точки равна нулю, отрезка прямой - 1, квадрата - 2, а куба - 3, для фракталов например, этот объект может иметь нецелочисленное измерение.

В математике , размерность Хаусдорфа является мерой шероховатости , или , более конкретно, фрактальной размерности , которая была впервые введена в 1918 году математик Хаусдорф . ^[2] Например, размерность Хаусдорфа отдельной точки равна нулю, отрезка прямой - 1, квадрата - 2, куба - 3. То есть для наборов точек, которые определяют гладкую форму или форма с небольшим количеством углов - формы традиционной геометрии и науки - размерность Хаусдорфа является целым числомсогласуясь с обычным смыслом измерения, также известным как топологическое измерение . Однако были также разработаны формулы, которые позволяют рассчитывать размерность других, менее простых объектов, где исключительно на основе их свойств масштабирования и самоподобия можно сделать вывод, что определенные объекты, включая фракталы , не имеют -целые размерности Хаусдорфа. Из-за значительных технических достижений, сделанных Абрамом Самойловичем Безиковичем, позволяющих вычислять размерности для очень нерегулярных или «грубых» множеств, это измерение также обычно называют размерностью Хаусдорфа – Безиковича.

Измерение Хаусдорфа, более конкретно, является дополнительным размерным числом, связанным с данным набором, где определены расстояния между всеми элементами этого набора. Такое множество называется метрическим пространством . Измерение берется из расширенных действительных чисел , в отличие от более интуитивного понятия измерения, которое не связано с общими метрическими пространствами и принимает значения только в неотрицательных целых числах.${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

С математической точки зрения, размерность Хаусдорфа обобщает понятие размерности реального векторного пространства . То есть размерность Хаусдорфа n- мерного внутреннего пространства продукта равна n . Это лежит в основе более раннего утверждения, что размерность Хаусдорфа точки равна нулю, линии равна единице и т. Д., И что нерегулярные множества могут иметь нецелые хаусдорфовые размерности. Например, изображенная справа снежинка Коха построена из равностороннего треугольника; на каждой итерации его составляющие линейные сегменты делятся на 3 сегмента единичной длины, вновь созданный средний сегмент используется в качестве основы нового равностороннеготреугольник, который указывает наружу, и этот базовый сегмент затем удаляется, чтобы оставить последний объект из итерации единичной длины 4. ^[3] То есть после первой итерации каждый исходный сегмент линии был заменен на N = 4, где каждая самоподобная копия имеет длину 1 / S = 1/3 от длины оригинала. ^[1] Иначе говоря, мы сделали объект с евклидовой размерностью, D, и уменьшить его линейную шкалу на 1/3 в каждом направлении, так что его длина увеличивается до N = S ^D . ^[4] Это уравнение легко решается относительно D, давая соотношение логарифмов (или натуральных логарифмов ), фигурирующих на рисунках, и давая - в случае Коха и других фрактальных случаях - нецелочисленные измерения для этих объектов.

Размерность Хаусдорфа является преемником более простой, но обычно эквивалентной размерности с подсчетом ящиков или размерности Минковского – Булиганда .

Интуиция [ править ]

Интуитивно понятное понятие размера геометрического объекта X - это количество независимых параметров, необходимых для выделения уникальной точки внутри. Тем не менее, любая точка задается двумя параметрами могут быть , вместо указанных на единицу, так как количество элементов в действительной плоскости равна мощности на реальной линии (это можно увидеть с помощью аргумента с участием переплетение цифры двух чисел с получением одного число, кодирующее ту же информацию). Пример кривой, заполняющей пространство, показывает, что можно даже сюръективно отобразить реальную линию на реальную плоскость.(преобразование одного действительного числа в пару действительных чисел таким образом, чтобы покрыть все пары чисел) и непрерывно , так что одномерный объект полностью заполняет объект более высокой размерности.

Каждая кривая заполнения пространства попадает в некоторые точки несколько раз и не имеет непрерывной обратной линии. Невозможно отобразить два измерения в одно непрерывным и непрерывно обратимым способом. Топологическая размерность, также называемая покрывающей размерностью Лебега , объясняет, почему. Эта размерность равна n, если в каждом покрытии X маленькими открытыми шарами есть хотя бы одна точка, в которой n  + 1 мяч перекрывается. Например, когда кто-то покрывает линию с короткими открытыми интервалами, некоторые точки должны быть покрыты дважды, что дает размер  n  = 1.

Но топологическое измерение - это очень грубая мера локального размера пространства (размер около точки). Кривая, которая почти заполняет пространство, может иметь топологическое измерение один, даже если она заполняет большую часть области области. Фрактальный имеет целое топологической размерность, но с точкой зрения объема пространства он занимает, он ведет себя как многомерное пространство.

Измерение Хаусдорфа измеряет локальный размер пространства с учетом расстояния между точками, метрики . Рассмотрим количество N ( r ) шаров радиуса не больше r, необходимое для полного покрытия X. Когда r очень мало, N ( r ) полиномиально растет с 1 / r . Для достаточно хорошо управляемого X размерность Хаусдорфа - это уникальное число d, такое что N ( r ) растет как 1 / r ^d, когда r приближается к нулю. Точнее, это определяетразмерность подсчета ящиков , которая равна размерности Хаусдорфа, когда значение d является критической границей между темпами роста, недостаточными для покрытия пространства, и темпами роста, которые являются избыточными.

Для гладких форм или форм с небольшим количеством углов, форм традиционной геометрии и науки, размерность Хаусдорфа является целым числом, соответствующим топологическому измерению. Но Бенуа Мандельброт заметил, что фракталы , множества с нецелой хаусдорфовой размерностью, встречаются в природе повсюду. Он заметил, что правильная идеализация большинства грубых форм, которые вы видите вокруг себя, заключается не в гладких идеализированных формах, а в терминах фрактальных идеализированных форм:

Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не круги, кора не гладкая, и молнии не движутся по прямой. ^[5]

Для фракталов, которые встречаются в природе, измерения Хаусдорфа и подсчета ящиков совпадают. Размер упаковки - еще одно похожее понятие, которое дает одинаковое значение для многих форм, но есть хорошо задокументированные исключения, когда все эти размеры различаются.

Формальные определения [ править ]

Содержание Хаусдорфа [ править ]

Пусть X - метрическое пространство . Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), то д - мерное неограниченное содержание Хаусдорфово из S определяется

${\ displaystyle C_ {H} ^ {d} (S): = \ inf {\ Bigl \ {} \ sum _ {i} r_ {i} ^ {d}: {\ text {есть обложка}} S {\ text {шариками с радиусами}} r_ {i}> 0 {\ Bigr \}}.}$

Другими словами, это точная нижняя грань множества чисел , для которых существует некоторый (индексированный) набор шаров, покрывающих S с r _i  > 0 для каждого i  ∈  I , удовлетворяющего . (Здесь мы используем стандартное соглашение, что inf Ø = ∞ .)${\ Displaystyle C_ {H} ^ {d} (S)}$${\ displaystyle \ delta \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ {B (x_ {i}, r_ {i}): я \ in I \}}$${\ displaystyle \ sum _ {я \ in I} r_ {i} ^ {d} <\ delta}$

Мера Хаусдорфа [ править ]

Внешняя мера Хаусдорфа отличается от неограниченного содержания Хаусдорфа тем, что вместо рассмотрения всех возможных покрытий S мы видим, что происходит, когда размеры шаров стремятся к нулю. При определим d -мерную внешнюю меру Хаусдорфа для S как${\ displaystyle d \ geq 0}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {d} (S): = \ lim _ {r \ to 0} \ inf {\ Bigl \ {} \ sum _ {i} r_ {i} ^ {d} : {\ text {есть покрытие}} S {\ text {шариками с радиусами}} 0 <r_ {i} <r {\ Bigr \}}.}$

Измерение Хаусдорфа [ править ]

Хаусдорфова из X определяется

${\ displaystyle \ dim _ {\ operatorname {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: {\ mathcal {H}} ^ {d} (X) = 0 \}.}$

Эквивалентно, тусклая _Н ( Х ) может быть определен как инфимум множества D ∈ [0, ∞) такое , что d - мерная мера Хаусдорфа из X равна нуль. Это то же самое, что и супремум множества d  ∈ [0, ∞), такого что d- мерная мера Хаусдорфа X бесконечна (за исключением того, что когда этот последний набор чисел d пуст, размерность Хаусдорфа равна нулю).

Примеры [ править ]

• Счетные множества имеют размерность Хаусдорфа 0. ^[6]
• Евклидово пространство ℝ ^п имеет размерность Хаусдорфа п , а окружность S ¹ имеет размерность Хаусдорфа 1. ^[6]
• Фракталы часто представляют собой пространства, хаусдорфова размерность которых строго превышает топологическую размерность . ^[5] Например, множество Кантора , нульмерное топологическое пространство, представляет собой объединение двух копий самого себя, каждая копия уменьшена в 1/3 раза; следовательно, можно показать, что его размерность Хаусдорфа составляет ln (2) / ln (3) ≈ 0,63. ^[7] Серпинский треугольник представляет собой объединение трех экземпляров самого по себе, каждой копии сократилась с коэффициентом 1/2; это дает размерность Хаусдорфа ln (3) / ln (2) ≈ 1,58. ^[1] Эти размерности Хаусдорфа связаны с «критическим показателем» основной теоремы для решения рекуррентных соотношений ванализ алгоритмов .
• Кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Пеано, имеют ту же размерность Хаусдорфа, что и заполняемое ими пространство.
• Предполагается, что траектория броуновского движения в размерности 2 и выше является размерностью Хаусдорфа 2. ^[8]

• Льюис Фрай Ричардсон провел подробные эксперименты, чтобы измерить приблизительную размерность Хаусдорфа для различных береговых линий. Его результаты варьировались от 1,02 для побережья Южной Африки до 1,25 для западного побережья Великобритании . ^[5]

Свойства измерения Хаусдорфа [ править ]

Размерность Хаусдорфа и индуктивная размерность [ править ]

Пусть X - произвольное сепарабельное метрическое пространство. Существует топологическое понятие индуктивной размерности для X, которое определяется рекурсивно. Это всегда целое число (или + ∞) и обозначается dim _ind ( X ).

Теорема . Предположим, что X не пусто. потом

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).}$

Более того,

${\displaystyle \inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),}$

где Y пробегает метрические пространства гомеоморфных к X . Другими слова, Х и Y имеют тот же основной набор точек и метрика д _У из Y топологический эквивалентен д _X .

Эти результаты были первоначально установлены Эдвардом Шпильрайном (1907–1976), например, см. Hurewicz and Wallman, Глава VII. ^{[ требуется полная ссылка ]}

Размерность Хаусдорфа и размерность Минковского [ править ]

Размерность Минковского аналогична, и по крайней мере не меньше, размерность Хаусдорфа, и они одинаковы во многих ситуациях. Однако множество рациональных точек в [0, 1] имеет размерность Хаусдорфа ноль и размерность Минковского один. Существуют также компактные множества, для которых размерность Минковского строго больше размерности Хаусдорфа.

Измерения Хаусдорфа и меры Фростмана [ править ]

Если существует мера μ, определенная на борелевских подмножествах метрического пространства X такая, что μ ( X )> 0 и μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s выполняется для некоторой константы s > 0 и для любого шара B ( x , r ) в X , то dim _Haus ( X ) ≥ s . Частичное обратное утверждение дается леммой Фростмана . ^{[ необходима цитата ] [9]}

Поведение под союзами и продуктами [ править ]

Если - конечное или счетное объединение, то${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).}$

В этом можно убедиться прямо из определения.

Если X и Y - непустые метрические пространства, то размерность Хаусдорфа их произведения удовлетворяет ^[10]

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).}$

Это неравенство может быть строгим. Можно найти два множества размерности 0, произведение которых имеет размерность 1. ^[11] В противоположном направлении известно, что, когда X и Y являются борелевскими подмножествами R ⁿ , размерность Хаусдорфа X × Y ограничена сверху размерность Хаусдорфа X плюс верхней размерностью упаковки из Y . Эти факты обсуждаются в Mattila (1995).

Самоподобные наборы [ править ]

Многие наборы, определяемые условием самоподобия, имеют размеры, которые можно определить явно. Грубо говоря, множество E самоподобно, если оно является неподвижной точкой многозначного преобразования ψ, то есть ψ ( E ) = E , хотя точное определение дается ниже.

Теорема . Предполагать

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m}$

являются сжимающими отображениями на R ⁿ с константой сжатия r _j <1. Тогда существует единственный непустой компакт A такой, что

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).}$

Теорема следует из теоремы Стефана Банаха о фиксированной точке о сжимающем отображении, примененной к полному метрическому пространству непустых компактных подмножеств R ⁿ с расстоянием Хаусдорфа . ^[12]

Условие открытого набора [ править ]

Для определения размерности самоподобного множества A (в некоторых случаях) нам потребуется техническое условие, называемое условием открытого множества (OSC) на последовательности сокращений ψ _i .

Существует относительно компактное открытое множество V такое, что

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$

где множества в объединении слева попарно не пересекаются .

Условие открытого набора - это условие разделения, которое гарантирует, что изображения ψ _i ( V ) не перекрываются "слишком сильно".

Теорема . Предположим, что выполнено условие открытого множества и каждое ψ _i является подобием, то есть композицией изометрии и растяжения вокруг некоторой точки. Тогда единственная неподвижная точка ψ - это множество, хаусдорфова размерность которого равна s, где s - единственное решение ^[13].

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

Коэффициент сжатия подобия - это величина расширения.

Мы можем использовать эту теорему для вычисления размерности Хаусдорфа треугольника Серпинского (или иногда называемого прокладкой Серпинского). Рассмотрим три неколлинеарные точки ₁ , ₂ , ₃ в плоскости R ² , и пусть ψ _я быть дилатация соотношении 1/2 вокруг в _I . Единственная непустая неподвижная точка соответствующего отображения ψ - это прокладка Серпинского, а размерность s - единственное решение

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{s}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}=3\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}=1.}$

Взяв натуральный логарифм обеих частей приведенного выше уравнения, мы можем решить относительно s , то есть: s = ln (3) / ln (2). Прокладка Серпинского является самоподобной и удовлетворяет требованиям OSC. В общем случае множество E, которое является неподвижной точкой отображения

${\displaystyle A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)}$

самоподобен тогда и только тогда, когда пересечения

${\displaystyle H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,}$

где s - размерность Хаусдорфа E, а H ^s обозначает меру Хаусдорфа . Это ясно в случае прокладки Серпинского (пересечения - это просто точки), но также верно и в более общем плане:

Теорема . При тех же условиях, что и в предыдущей теореме, единственная неподвижная точка ψ самоподобна.

См. Также [ править ]

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа Примеры детерминированных фракталов, случайных и естественных фракталов.
• Размерность Ассуада , еще одна разновидность фрактальной размерности, которая, как и размерность Хаусдорфа, определяется с помощью покрытий шарами.
• Внутренний размер
• Размер упаковки
• Фрактальное измерение

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Додсон, М. Морис; Кристенсен, Саймон (12 июня 2003 г.). «Хаусдорфова размерность и диофантово приближение». Фрактальная геометрия и приложения: юбилей Бенуа Мандельброта . Труды симпозиумов по чистой математике. 72 . С. 305–347. arXiv : math / 0305399 . Bibcode : 2003math ...... 5399D . DOI : 10.1090 / pspum / 072.1 / 2112110 . ISBN 9780821836378. S2CID  119613948 .
• Гуревич, Витольд ; Уоллман, Генри (1948). Теория размерностей . Издательство Принстонского университета.
• Э. Шпильрайн (1937). «Измерение и измерение». Fundamenta Mathematicae . 28 : 81–9.
• Марстранд, JM (1954). «Размерность декартовых наборов произведений». Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Bibcode : 1954PCPS ... 50..198M . DOI : 10.1017 / S0305004100029236 .
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-65595-8.
• А.С. Безикович (1929). «О линейных множествах точек дробной размерности». Mathematische Annalen . 101 (1): 161–193. DOI : 10.1007 / BF01454831 . S2CID  125368661 .
• А.С. Безикович ; HD Урселл (1937). «Наборы дробных размерностей». Журнал Лондонского математического общества . 12 (1): 18–25. DOI : 10,1112 / jlms / s1-12.45.18 .
  Некоторые отрывки из этого тома перепечатаны в Edgar, Gerald A. (1993). Классика по фракталам . Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-58701-7. См. Главы 9,10,11
• Ф. Хаусдорф (март 1919 г.). "Dimension und äußeres Maß" (PDF) . Mathematische Annalen . 79 (1–2): 157–179. DOI : 10.1007 / BF01457179 . hdl : 10338.dmlcz / 100363 . S2CID  122001234 .
• Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие» . Indiana Univ. Математика. Дж . 30 (5): 713–747. DOI : 10.1512 / iumj.1981.30.30055 .
• Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья .

Внешние ссылки [ править ]

• Измерение Хаусдорфа в энциклопедии математики
• Мера Хаусдорфа в энциклопедии математики