Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Береговая линия Британии в масштабе 100 км
28 х 100 = 2800 км
Береговая линия Великобритании измерена в масштабе 50 км
70 х 50 = 3500 км
Рис. 1. По мере того, как длина измерительной линейки становится все меньше и меньше, общая длина измеряемой береговой линии увеличивается.

В математике , точнее во фрактальной геометрии , фрактальная размерность - это соотношение, обеспечивающее статистический показатель сложности, сравнивающий, как детали в шаблоне (строго говоря, фрактальном шаблоне) меняются с масштабом, в котором он измеряется. Он также был охарактеризован как мера заполнения пространства узором, который показывает, как фрактал масштабируется иначе, чем пространство, в которое он встроен; фрактальная размерность не обязательно должна быть целым числом. [1] [2] [3]

Основная идея «раздробленных» измерений имеет долгую историю в математике, но сам термин был выдвинут на первый план Бенуа Мандельбротом на основе его статьи 1967 года о самоподобии, в которой он обсуждал дробные измерения . [4] В этой статье Мандельброт процитировал предыдущую работу Льюиса Фрая Ричардсона, описывающую нелогичное представление о том, что измеренная длина береговой линии изменяется в зависимости от длины используемой измерительной линейки ( см. Рис. 1).). В терминах этого понятия фрактальная размерность береговой линии количественно определяет, как количество масштабированных мерных стержней, необходимых для измерения береговой линии, изменяется с масштабом, примененным к стержню. [5] Существует несколько формальных математических определений фрактальной размерности, которые детально основываются на этой базовой концепции изменения с изменением масштаба.

В конце концов, термин фрактальное измерение стал фразой, с помощью которой сам Мандельброт стал наиболее комфортно понимать значение слова фрактал , созданного им термина. После нескольких итераций на протяжении многих лет Мандельброт остановился на таком использовании языка: «... использовать фрактал без педантичного определения, использовать фрактальную размерность как общий термин, применимый ко всем вариантам». [6]

Один нетривиальный пример - фрактальная размерность снежинки Коха . Ее топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не является спрямляемой кривой : длина кривой между любыми двумя точками на снежинке Коха бесконечна . Немалая его часть похожа на линию, а скорее состоит из бесконечного числа сегментов, соединенных под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, если рассматривать фрактальную линию как объект, слишком детализированный, чтобы быть одномерным, но слишком простой, чтобы быть двумерным. [7]Следовательно, его размерность лучше всего описывать не его обычной топологической размерностью 1, а фрактальной размерностью, которая часто бывает числом от одного до двух; в случае снежинки Коха это около 1,262.

Введение [ править ]

Рис. 2. 32-сегментный квадратичный фрактал, масштабированный и просматриваемый через прямоугольники разного размера. Шаблон иллюстрирует самоподобие . Теоретическая фрактальная размерность этого фрактала равна log32 / log8 = 1,67; его эмпирическая фрактальная размерность из анализа подсчета ящиков составляет ± 1% [8] с использованием программного обеспечения фрактального анализа .

Фрактальная размерность является индексом для характеристики фрактальных паттернов или наборов пути количественной оценки их сложности как отношение изменения подробно к изменению масштаба. [5] : 1 Несколько типов фрактальной размерности можно измерить теоретически и эмпирически ( см. Рис. 2 ). [3] [9] Размеры фрактальных используются для характеристики широкого спектра объектов , начиная от абстрактных [1] [3] к практическим явлениям, в том числе турбулентности, [5] : 97-104 речных сети, : 246-247рост городов, [10] [11] физиология человека, [12] [13] медицина [9] и рыночные тенденции. [14] Основная идея дробных или фрактальных размерностей имеет долгую историю в математике, которая восходит к 1600-м годам [5] : 19 [15], но термины фрактальная и фрактальная размерность были введены математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. [1] [2] [5] [9] [14] [16]

Впервые фрактальные измерения были применены в качестве индекса, характеризующего сложные геометрические формы, для которых детали казались более важными, чем общая картина. [16] Для наборов, описывающих обычные геометрические формы, теоретическая фрактальная размерность равна известной евклидовой или топологической размерности набора.. Таким образом, для множеств, описывающих точки (0-мерные множества), он равен 0; 1 для наборов, описывающих линии (только одномерные наборы, имеющие длину); 2 для наборов, описывающих поверхности (двухмерные наборы, имеющие длину и ширину); и 3 для наборов, описывающих объемы (трехмерные наборы, имеющие длину, ширину и высоту). Но это меняется для фрактальных множеств. Если теоретическая фрактальная размерность набора превышает его топологическую размерность, считается, что набор имеет фрактальную геометрию. [17]

В отличие от топологических измерений, фрактальный индекс может принимать нецелочисленные значения [18], что указывает на то, что набор заполняет свое пространство качественно и количественно иначе, чем это делает обычный геометрический набор. [1] [2] [3] Например, кривая с фрактальной размерностью, очень близкой к 1, скажем 1,10, ведет себя совершенно как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1,9 извилисто извивается в пространстве, почти как поверхность. Точно так же поверхность с фрактальной размерностью 2,1 заполняет пространство очень похоже на обычную поверхность, но поверхность с фрактальной размерностью 2,9 складывается и течет, заполняя пространство почти как объем. [17] : 48 [примечания 1]Эту общую взаимосвязь можно увидеть на двух изображениях фрактальных кривых на рис.2 и рис.3 - 32-сегментный контур на рис.2, извитый и заполняющий пространство, имеет фрактальную размерность 1,67 по сравнению с заметно менее сложным Кривая Коха на рис. 3, которая имеет фрактальную размерность 1,26.

Рисунок 3. Коха кривая является классическим итерированным фрактальной кривой. Это теоретическая конструкция, которая создается путем итеративного масштабирования начального сегмента. Как показано, каждый новый сегмент масштабируется на 1/3 на 4 новых части, уложенных встык с 2 средними частями, наклоненными друг к другу между двумя другими частями, так что, если бы они были треугольником, его основание было бы длиной середины. кусок, чтобы весь новый сегмент соответствовал традиционно измеренной длине между конечными точками предыдущего сегмента. В то время как анимация показывает только несколько итераций, теоретическая кривая масштабируется таким образом бесконечно. После примерно 6 итераций такого маленького изображения детали теряются.

Связь увеличения фрактальной размерности с заполнением пространства может быть воспринята как означающая, что фрактальные измерения измеряют плотность, но это не так; эти два понятия не связаны строго. [8] Вместо этого фрактальная размерность измеряет сложность, концепция, связанная с некоторыми ключевыми характеристиками фракталов: самоподобие и детализация или нерегулярность . [примечания 2] Эти особенности очевидны в двух примерах фрактальных кривых. Обе кривые имеют топологический размер.1, поэтому можно было бы надеяться, что можно будет измерить их длину и производную так же, как и с обычными кривыми. Но мы не можем сделать ни то, ни другое, потому что фрактальные кривые имеют сложность в виде самоподобия и деталей, которых нет у обычных кривых. [5] В самоподобие лежит в бесконечном масштабировании, и деталь в определяющих элементах каждого набора. Длина между любыми двумя точками на этих кривых является бесконечным, независимо от того , насколько близко друг к другу эти две точки, что означает , что невозможно аппроксимировать длину такой кривой путем разбиения кривой на множество мелких сегментов. [19]Каждый меньший кусок состоит из бесконечного числа масштабированных сегментов, которые выглядят точно так же, как и в первой итерации. Это непрямые кривые , то есть их нельзя измерить, разбив на множество сегментов, приблизительно равных их длине. Они не могут быть содержательно охарактеризованы путем определения их длины и производных. Однако их фрактальные размерности могут быть определены, что показывает, что оба заполняют пространство больше, чем обычные линии, но меньше, чем поверхности, и позволяет их сравнивать в этом отношении.

Две описанные выше фрактальные кривые показывают тип самоподобия, который является точным с повторяющейся единицей деталей, которая легко визуализируется. Такая структура может быть распространена на другие пространства (например, фрактал , расширяющий кривую Коха в трехмерное пространство, имеет теоретическое значение D = 2,5849). Однако такая точно подсчитываемая сложность - только один пример самоподобия и детализации, присущих фракталам. [3] [14] Пример береговой линии Великобритании, например, демонстрирует автомодельность приблизительного рисунка с приблизительным масштабированием. [5] : 26 В целом фракталы демонстрируют несколько типов и степеней самоподобия.и детали, которые трудно визуализировать. Они включают в себя, в качестве примеров, странных аттракторов , для которых подробно было описано , как в сущности, гладкие участки накапливают, [17] : 49 множество Жюлиа , которое можно увидеть, что сложные завихрения Upon сучки и частота сердечных сокращений , которые узоры грубых шипов повторяются и масштабируются во времени. [20] Фрактальная сложность не всегда может быть разделена на легко воспринимаемые единицы детализации и масштаба без сложных аналитических методов, но ее все же можно измерить с помощью фрактальных измерений. [5] : 197; 262

История [ править ]

Термины фрактальная размерность и фрактал были введены Мандельбротом в 1975 году [16] примерно через десять лет после того, как он опубликовал свою статью о самоподобии на побережье Британии. Различные исторические авторитеты приписывают ему также синтез многовековой сложной теоретической математики и инженерных работ и их применение по-новому для изучения сложных геометрий, которые не поддаются описанию в обычных линейных терминах. [15] [21] [22] Самые ранние корни того, что Мандельброт синтезировал как фрактальную размерность, четко прослеживаются до работ о недифференцируемых, бесконечно самоподобных функциях, которые важны для математического определения фракталов, примерно в то время, когда исчислениебыл обнаружен в середине 1600-х годов. [5] : 405 Некоторое время после этого в опубликованных работах по таким функциям было затишье, а затем возобновление, начавшееся в конце 1800-х годов с публикации математических функций и множеств, которые сегодня называются каноническими фракталами (например, одноименные работы из фона Коха , [19] Серпинский и Джулия ), но в то время их формулировок часто рассматривались противоположными математические «монстры». [15] [22] Эти работы сопровождались, пожалуй, наиболее поворотным моментом в развитии концепции фрактальной размерности благодаря работам Хаусдорфа в начале 1900-х годов, которые определили «дробное»измерение , которое было названо в его честь и часто используется при определении современных фракталов . [4] [5] : 44 [17] [21]

См. Дополнительную информацию в истории фракталов.

Роль масштабирования [ править ]

Рисунок 4. Традиционные понятия геометрии для определения масштаба и размеров. , , , , , , [23]


Концепция фрактальной размерности основана на нетрадиционных представлениях о масштабировании и размерности. [24] Как на рис. 4иллюстрирует, традиционные понятия геометрии диктуют, что формы предсказуемо масштабируются в соответствии с интуитивно понятными и знакомыми представлениями о пространстве, в котором они содержатся, так что, например, измерение линии с использованием сначала одной мерной линейки, а затем еще 1/3 ее размера даст длина второй палки в 3 раза больше, чем у первой. Это также верно в двух измерениях. Если измерить площадь квадрата, а затем снова измерить его с помощью прямоугольника со стороной, равной 1/3 размера оригинала, то получится в 9 раз больше квадратов, чем при первой мере. Такие знакомые отношения масштабирования могут быть определены математически с помощью общего правила масштабирования в уравнении 1, где переменная обозначает количество палочек, коэффициент масштабирования и фрактальную размерность:

 

 

 

 

( 1 )

Это правило масштабирования типизирует обычные правила о геометрии и размерах - для линий оно определяет это количественно, потому что, когда, как в примере выше, и для квадратов, потому что когда

Рисунок 5. Первые четыре итерации по снежинку Коха , который имеет приблизительный размер хаусдорфову из 1.2619.

То же правило применяется к фрактальной геометрии, но менее интуитивно. Чтобы уточнить, фрактальная линия, измеренная сначала как одна длина, при повторном измерении с использованием новой палочки, масштабированной на 1/3 от старой, может быть не ожидаемой в 3 раза, а вместо этого в 4 раза больше длины масштабированных палочек. В этом случае, когда и значение можно найти, переставив уравнение 1:

 

 

 

 

( 2 )

То есть, для фрактала , описываемой при нецелым измерение , которое предполагает фрактал имеет размерность не совпадает с пространством он находится в. [3] Масштабирование , используемый в этом примере , является таким же масштабирование кривой Коха и снежинки . Следует отметить, что показанные изображения не являются истинными фракталами, потому что масштабирование, описываемое значением, не может продолжаться бесконечно по той простой причине, что изображения существуют только до точки их наименьшего компонента, пикселя. Однако теоретический паттерн, который представляют цифровые изображения, не имеет дискретных пиксельных частей, а скорее состоит из бесконечногоколичество бесконечно масштабируемых сегментов, соединенных под разными углами, и действительно имеет фрактальную размерность 1,2619. [5] [24]

D не является уникальным дескриптором [ править ]

Рисунок 6 . Два ветвящихся фрактала L-системы, которые создаются путем создания 4 новых частей на каждые 1/3 масштабирования, поэтому имеют те же теоретические характеристики, что и кривая Коха, и для которых эмпирический подсчет ящиков был продемонстрирован с точностью 2%. [8]

Как и в случае с измерениями, определенными для линий, квадратов и кубов, фрактальные измерения являются общими дескрипторами, которые не определяют однозначно шаблоны. [24] [25] Значение D для фрактала Коха, описанного выше, например, количественно определяет масштаб, присущий паттерну, но не однозначно описывает и не предоставляет достаточно информации для его восстановления. Можно построить множество фрактальных структур или паттернов, которые имеют такое же соотношение масштабирования, но резко отличаются от кривой Коха, как показано на рисунке 6 .

Примеры построения фрактальных паттернов см. В разделах «Фрактал» , « Треугольник Серпинского» , « Набор Мандельброта» , « Агрегация с ограничением диффузии» , « L-система» .

Фрактальные поверхностные структуры [ править ]

Концепция фрактальности все чаще применяется в области науки о поверхности , обеспечивая связь между характеристиками поверхности и функциональными свойствами. [26] Многочисленные дескрипторы поверхностей используются для интерпретации структуры номинально плоских поверхностей, которые часто демонстрируют самоаффинные особенности в нескольких масштабах длины. Средняя шероховатость поверхности , обычно обозначаемая R A , является наиболее часто применяемым дескриптором поверхности, однако множество других дескрипторов, включая средний наклон, среднеквадратичную шероховатость ( RMS) и другие. Однако обнаружено, что многие физические поверхностные явления не могут быть легко интерпретированы со ссылкой на такие дескрипторы, поэтому фрактальная размерность все чаще применяется для установления корреляций между структурой поверхности с точки зрения масштабирования и характеристик. [27] фрактальные размеры поверхностей были использованы для объяснения и лучше понять явление в областях контакта механики , [28] фрикционное поведение , [29] электрическое сопротивление контакта [30] и прозрачные проводниковые оксиды . [31]

Рисунок 7: Иллюстрация увеличения фрактальности поверхности. Самоаффинные поверхности (слева) и соответствующие профили поверхностей (справа), демонстрирующие возрастающую фрактальную размерность D f

Примеры [ править ]

Концепция фрактальной размерности, описанная в этой статье, представляет собой базовое представление о сложной конструкции. Обсуждаемые здесь примеры были выбраны для ясности, а единица масштабирования и соотношения были известны заранее. На практике, однако, фрактальные размеры могут быть определены с использованием методов, которые аппроксимируют масштабирование и детализацию из пределов, оцененных по линиям регрессии на графиках логарифмических и логарифмических размеров и масштаба. Ниже перечислены несколько формальных математических определений различных типов фрактальной размерности. Хотя для некоторых классических фракталов все эти измерения совпадают, в целом они не эквивалентны:

  • Box размер счета : D это оценивается как экспоненты степенного закона .
  • Информационное измерение : D рассматривает, как средняя информация, необходимая для идентификации занятого блока, масштабируется с размером блока; это вероятность.
  • Корреляционная размерность : D определяется как количество точек, используемых для создания представления фрактала, и g ε , количество пар точек, расположенных ближе, чем ε друг к другу.
[ необходима цитата ]
  • Обобщенные измерения или измерения Реньи: измерения подсчета ящиков, информации и корреляции можно рассматривать как частные случаи непрерывного спектра обобщенных размерностей порядка α, определяемых:
  • Измерение Хигучи [32]
  • Ляпуновское измерение
  • Мультифрактальные измерения: особый случай измерений Реньи, в которых поведение масштабирования меняется в разных частях паттерна.
  • Показатель неопределенности
  • Хаусдорфова размерность : Для любого подмножества метрического пространства и , то д - мерное содержание Хаусдорфовы из S определяются
Хаусдорфова из S определяется
  • Размер упаковки
  • Измерение Ассуада
  • Локальное связное измерение [33]

Оценка на основе реальных данных [ править ]

Многие реальные явления демонстрируют ограниченные или статистические фрактальные свойства и фрактальные размерности, которые были оценены на основе выборочных данных с использованием компьютерных методов фрактального анализа . Практически на измерения фрактальной размерности влияют различные методологические проблемы, они чувствительны к числовому или экспериментальному шуму и ограничениям в объеме данных. Тем не менее, эта область быстро растет, поскольку оцененные фрактальные размерности для статистически самоподобных явлений могут иметь множество практических приложений в различных областях, включая астрономию, [34] акустику, [35] [36] диагностическое изображение, [37] [38] [39 ] ] экология, [40]электрохимические процессы, [41] анализ изображений, [42] [43] [44] [45] биология и медицина, [46] [47] [48] [49] нейробиология, [50] [13] сетевой анализ , [51] ] физиология, [12] физика, [52] [53] и дзета-нули Римана. [54] Также было показано, что оценки фрактального измерения коррелируют со сложностью Лемпеля-Зива в реальных наборах данных из психоакустики и нейробиологии. [55] [56]

Альтернативой прямому измерению является рассмотрение математической модели, которая напоминает формирование реального фрактального объекта. В этом случае проверка также может быть выполнена путем сравнения свойств, отличных от фрактальных, подразумеваемых моделью, с данными измерений. В коллоидной физике возникают системы, состоящие из частиц с различной фрактальной размерностью. Для описания этих систем удобно говорить о распределении фрактальных размерностей и, в конечном итоге, о временной эволюции последних: процессе, который управляется сложным взаимодействием между агрегацией и слиянием . [57]

Фрактальные измерения сетей и пространственных сетей [ править ]

Было обнаружено, что многие сети реального мира самоподобны и могут характеризоваться фрактальной размерностью. [58] [59] Кроме того, модели сетей, встроенные в пространство, могут иметь непрерывную фрактальную размерность, которая зависит от распределения дальних связей. [60]

См. Также [ править ]

  • Список фракталов по размерности Хаусдорфа  - статья о списке в Википедии
  • Лакунарность  - термин в геометрии и фрактальном анализе
  • Фрактальная производная  - Обобщение производной на фракталы

Примечания [ править ]

  1. ^ См. Графическое изображение различных фрактальных измерений
  2. ^ См. Фрактальные характеристики

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия . Вайли. п. 308 . ISBN 978-0-470-84862-3.
  2. ^ a b c Саган, Ханс (1994). Кривые заполнения пространства . Springer-Verlag. п. 156 . ISBN 0-387-94265-3.
  3. ^ a b c d e f Vicsek, Tamás (1992). Явления фрактального роста . World Scientific. п. 10. ISBN 978-981-02-0668-0.
  4. ^ a b Мандельброт, Б. (1967). «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и дробное измерение» . Наука . 156 (3775): 636–8. Bibcode : 1967Sci ... 156..636M . DOI : 10.1126 / science.156.3775.636 . PMID 17837158 . S2CID 15662830 .  
  5. ^ Б с д е е г ч я J K Бенуа Б. Мандельброт (1983). Фрактальная геометрия природы . Макмиллан. ISBN 978-0-7167-1186-5. Проверено 1 февраля 2012 года .
  6. ^ Эдгар, Джеральд (2007). Мера, топология и фрактальная геометрия . Springer. п. 7. ISBN 978-0-387-74749-1.
  7. ^ Харт, Дэвид (2001). Мультифракталы . Чепмен и Холл. С.  3–4 . ISBN 978-1-58488-154-4.
  8. ^ a b c Балай-Карпериен, Одри (2004). Определение морфологии микроглии: форма, функция и фрактальная размерность . Университет Чарльза Стерта. п. 86 . Проверено 9 июля 2013 года .
  9. ^ a b c Losa, Gabriele A .; Нонненмахер, Тео Ф., ред. (2005). Фракталы в биологии и медицине . Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. Проверено 1 февраля 2012 года .
  10. ^ Chen, Yanguang (2011). "Моделирование фрактальной структуры распределений по размерам городов с помощью корреляционных функций" . PLOS ONE . 6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode : 2011PLoSO ... 624791C . DOI : 10.1371 / journal.pone.0024791 . PMC 3176775 . PMID 21949753 .  
  11. ^ «Приложения» . Архивировано из оригинала на 2007-10-12 . Проверено 21 октября 2007 .
  12. ^ а б Попеску, Д.П .; Flueraru, C .; Mao, Y .; Chang, S .; Сова, MG (2010). «Фрактальный анализ затухания сигнала и подсчета прямоугольников изображений оптической когерентной томографии артериальной ткани» . Биомедицинская оптика Экспресс . 1 (1): 268–277. DOI : 10,1364 / boe.1.000268 . PMC 3005165 . PMID 21258464 .  
  13. ^ а б Кинг, РД; Джордж, штат АТ; Jeon, T .; Hynan, LS; Юн, ТС; Кеннеди, DN; Дикерсон, В .; Инициатива по нейровизуализации болезни Альцгеймера (2009 г.). «Характеристика атрофических изменений в коре головного мозга с помощью фрактального анализа размерностей» . Визуализация мозга и поведение . 3 (2): 154–166. DOI : 10.1007 / s11682-008-9057-9 . PMC 2927230 . PMID 20740072 .  
  14. ^ a b c Питерс, Эдгар (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка . Вайли. ISBN 0-471-13938-6.
  15. ^ a b c Эдгар, Джеральд, изд. (2004). Классика о фракталах . Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.
  16. ^ a b c Альберс; Александерсон (2008). «Бенуа Мандельброт: своими словами». Математические люди: анкеты и интервью . А.К. Петерс. п. 214 . ISBN 978-1-56881-340-0.
  17. ^ а б в г Мандельброт, Бенуа (2004). Фракталы и хаос . Springer. п. 38. ISBN 978-0-387-20158-0. Фрактальное множество - это такое, для которого фрактальная размерность (Хаусдорфа-Безиковича) строго превышает топологическую размерность.
  18. ^ Шарифи-Вианд, А .; Махджани, MG; Джафариан, М. (2012). «Исследование аномальной диффузии и мультифрактальных размерностей в полипиррольной пленке». Журнал электроаналитической химии . 671 : 51–57. DOI : 10.1016 / j.jelechem.2012.02.014 .
  19. ^ a b Хельге фон Кох, "На непрерывной кривой без касательных, построенных из элементарной геометрии", Эдгар 2004 , стр. 25–46
  20. ^ Тан, Джан Озан; Коэн, Майкл А .; Eckberg, Dwain L .; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства вариабельности сердечного периода человека: физиологические и методологические последствия» . Журнал физиологии . 587 (15): 3929–41. DOI : 10.1113 / jphysiol.2009.169219 . PMC 2746620 . PMID 19528254 .  
  21. ^ a b Гордон, Найджел (2000). Представляем фрактальную геометрию . Даксфорд: Значок. п. 71 . ISBN 978-1-84046-123-7.
  22. ^ a b Троше, Холли (2009). «История фрактальной геометрии» . MacTutor История математики . Архивировано из оригинального 12 марта 2012 года.
  23. ^ Аппиньянези, Ричард; изд. (2006). Введение в фрактальную геометрию , стр.28. Значок. ISBN 978-1840467-13-0 . 
  24. ^ a b c Iannaccone, Khokha (1996). Фрактальная геометрия в биологических системах . ISBN 978-0-8493-7636-8.
  25. ^ Vicsek, Тамаш (2001). Колебания и масштабирование в биологии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850790-9.
  26. ^ Пфайфер, Питер (1988), "Фракталы в науке о поверхности: рассеяние и термодинамика адсорбированных пленок", в Vanselow, Ralf; Хау, Рассел (ред . ), Химия и физика твердых поверхностей VII , Springer серии в поверхностных наук, 10 , Springer Berlin Heidelberg, стр 283-305,. Дои : 10.1007 / 978-3-642-73902-6_10 , ISBN 9783642739040
  27. ^ Миланский, Энрико; Бринк, Тобиас; Агабабаи, Рамин; Молинари, Жан-Франсуа (декабрь 2019 г.). «Возникновение самоаффинных поверхностей при адгезивном износе» . Nature Communications . 10 (1): 1116. Bibcode : 2019NatCo..10.1116M . DOI : 10.1038 / s41467-019-09127-8 . ISSN 2041-1723 . PMC 6408517 . PMID 30850605 .   
  28. ^ Контактная жесткость многомасштабных поверхностей , В Международном журнале механических наук (2017), 131
  29. ^ Статическое трение на фрактальных интерфейсах , Tribology International (2016), том 93
  30. ^ Чунпу, Чжай; Дориан, Ханаор; Гвенаэль, Пруст; Исян, Гань (2017). «Зависимое от напряжения сопротивление электрического контакта на фрактальных шероховатых поверхностях». Журнал инженерной механики . 143 (3): B4015001. DOI : 10.1061 / (ASCE) EM.1943-7889.0000967 .
  31. ^ Kalvani, Payam Раджаби; Джахангири, Али Реза; Шапури, Самане; Сари, Амирхоссейн; Джалили, Юсеф Сейед (август 2019 г.). «Многомодовый АСМ-анализ тонких пленок оксида цинка, легированного алюминием, распыленных при различных температурах подложки для оптоэлектронных приложений». Сверхрешетки и микроструктуры . 132 : 106173. DOI : 10.1016 / j.spmi.2019.106173 .
  32. ^ Хигучи, Т. (1988). «Подход к нерегулярному временному ряду на основе теории фракталов». Physica D . 31 (2): 277–283. Bibcode : 1988PhyD ... 31..277H . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (88) 90081-4 .
  33. ^ Jelinek, A .; Елинек, ВЧ; Леандро, JJ; Соареш, СП; Сезар-младший, RM; Лаки, А. (2008). «Автоматизированное выявление пролиферативной ретинопатии в клинической практике» . Клиническая офтальмология . 2 (1): 109–122. DOI : 10.2147 / OPTH.S1579 . PMC 2698675 . PMID 19668394 .  
  34. ^ Кайседо-Ортис, HE; Santiago-Cortes, E .; López-Bonilla, J .; Castañeda4, ХО (2015). «Фрактальное измерение и турбулентность в регионах Giant HII» . Журнал серии конференций по физике . 582 : 1–5. DOI : 10.1088 / 1742-6596 / 582/1/012049 .
  35. ^ «Математический подход к корреляции объективных спектрально-временных характеристик нелингвистических звуков с их субъективным восприятием людьми» .
  36. ^ Maragos, P .; Потамианос, А. (1999). «Фрактальные измерения звуков речи: вычисление и применение к автоматическому распознаванию речи». Журнал акустического общества Америки . 105 (3): 1925–32. Bibcode : 1999ASAJ..105.1925M . DOI : 10.1121 / 1.426738 . PMID 10089613 . 
  37. ^ Ландини, G .; Мюррей, ИП; Миссон, GP (1995). «Локальные связанные фрактальные измерения и анализ лакунарности 60-градусных флуоресцентных ангиограмм». Исследовательская офтальмология и визуализация . 36 (13): 2749–2755. PMID 7499097 . 
  38. ^ Cheng, Qiuming (1997). «Мультифрактальное моделирование и анализ лакунарности». Математическая геология . 29 (7): 919–932. DOI : 10,1023 / A: 1022355723781 . S2CID 118918429 . 
  39. ^ Сантьяго-Кортес, E .; Мартинес Ледеза, JL (2016). «Фрактальное измерение сетчатки глаза человека» (PDF) . Journal de Ciencia e Ingeniería . 8 : 59–65. eISSN 2539-066X . ISSN 2145-2628 .   
  40. ^ Wildhaber, Марк L .; Ламберсон, Питер Дж .; Галат, Дэвид Л. (2003-05-01). «Сравнение мер формы русла для оценки распространения донных рыб». Североамериканский журнал управления рыболовством . 23 (2): 543–557. DOI : 10,1577 / 1548-8675 (2003) 023 <0543: acomor> 2.0.co; 2 . ISSN 1548-8675 . 
  41. ^ Эфтехари, A. (2004). «Фрактальная размерность электрохимических реакций». Журнал Электрохимического общества . 151 (9): E291–6. DOI : 10.1149 / 1.1773583 .
  42. Перейти ↑ Al-Kadi OS, Watson D. (2008). «Анализ текстуры агрессивных и неагрессивных КТ-изображений опухолей легкого» (PDF) . IEEE Transactions по биомедицинской инженерии . 55 (7): 1822–30. DOI : 10.1109 / tbme.2008.919735 . PMID 18595800 . S2CID 14784161 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 апреля 2014 года . Проверено 10 апреля 2014 .   
  43. ^ Пьер Сойль и Жан-Ф. Ривест (1996). «О допустимости измерений фрактальной размерности в анализе изображений» (PDF) . Журнал визуальной коммуникации и изображения . 7 (3): 217–229. DOI : 10.1006 / jvci.1996.0020 . ISSN 1047-3203 . Архивировано из оригинального (PDF) 20 июля 2011 года.  
  44. ^ Толле, CR; McJunkin, TR; Горсич, DJ (2003). «Метод измерения фрактальной размерности на основе субоптимального минимального объема кластера» . IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 25 : 32–41. CiteSeerX 10.1.1.79.6978 . DOI : 10.1109 / TPAMI.2003.1159944 . 
  45. ^ Горсич, DJ; Толле, CR; Карлсен, RE; Герхарт, GR (1996). «Вейвлет и фрактальный анализ изображений наземной техники» . Вейвлет-приложения в обработке сигналов и изображений IV. 2825 : 109–119. Bibcode : 1996SPIE.2825..109G . DOI : 10.1117 / 12.255224 . S2CID 121560110 .  Cite journal requires |journal= (help)
  46. ^ Лю, Цзин З .; Zhang, Lu D .; Юэ, Гуан Х. (2003). «Фрактальное измерение в мозжечке человека, измеренное с помощью магнитно-резонансной томографии» . Биофизический журнал . 85 (6): 4041–6. Bibcode : 2003BpJ .... 85.4041L . DOI : 10.1016 / S0006-3495 (03) 74817-6 . PMC 1303704 . PMID 14645092 .  
  47. ^ Смит, Т. Г.; Lange, GD; Маркс, ВБ (1996). «Фрактальные методы и результаты в морфологии клетки - размерность, лакунарность и мультифракталы» . Журнал методов неврологии . 69 (2): 123–136. DOI : 10.1016 / S0165-0270 (96) 00080-5 . PMID 8946315 . S2CID 20175299 .  
  48. ^ Li, J .; Du, Q .; Солнце, К. (2009). «Улучшенный метод подсчета ящиков для оценки фрактальной размерности изображения». Распознавание образов . 42 (11): 2460–9. DOI : 10.1016 / j.patcog.2009.03.001 .
  49. ↑ А. Бунде и С. Хэвлин (1994). «Фракталы в Science Springer». Cite journal requires |journal= (help)
  50. ^ «Burns & Rajan (2015) Объединение показателей сложности данных ЭЭГ: умножение показателей раскрывает ранее скрытую информацию. F1000Research. 4: 137» .
  51. ^ Самоподобие сложных сетей (2005). "СМ Сонг, С. Хэвлин, Х.А. Максе". Природа . 433 (7024): 392.
  52. ^ Dubuc, B .; Quiniou, J .; Roques-Carmes, C .; Tricot, C .; Цукер, С. (1989). «Оценка фрактальной размерности профилей». Physical Review . 39 (3): 1500–12. Bibcode : 1989PhRvA..39.1500D . DOI : 10.1103 / PhysRevA.39.1500 . PMID 9901387 . 
  53. ^ Робертс, А .; Кронин, А. (1996). «Беспристрастная оценка мультифрактальной размерности конечных наборов данных». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 233 (3–4): 867–878. arXiv : chao-dyn / 9601019 . Bibcode : 1996PhyA..233..867R . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (96) 00165-3 . S2CID 14388392 . 
  54. ^ Шэнкер, О. (2006). «Случайные матрицы, обобщенные дзета-функции и самоподобие нулевых распределений». Журнал физики A: математический и общий . 39 (45): 13983–97. Bibcode : 2006JPhA ... 3913983S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 39/45/008 .
  55. ^ «Burns & Rajan (2015) Объединение показателей сложности данных ЭЭГ: умножение показателей раскрывает ранее скрытую информацию. F1000Research. 4: 137» .
  56. ^ «Математический подход к корреляции объективных спектрально-временных характеристик нелингвистических звуков с их субъективным восприятием людьми» .
  57. ^ Кривень, И .; Lazzari, S .; Сторти, Г. (2014). «Моделирование баланса населения агрегации и коалесценции в коллоидных системах» . Макромолекулярная теория и моделирование . 23 (3): 170–181. DOI : 10.1002 / матс.201300140 .
  58. ^ СМ песни, С. Хавлин, HA Makse (2005). «Самоподобие сложных сетей». Природа . 433 (7024): 392–5. arXiv : cond-mat / 0503078 . DOI : 10,1038 / природа03248 . PMID 15674285 . S2CID 1985935 .  CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  59. ^ CM Song, S. Хавлин, HA Makse (2006). «Истоки фрактальности в росте сложных сетей». Физика природы . 2 (4): 275–281. arXiv : cond-mat / 0507216 . DOI : 10.1038 / nphys266 . S2CID 13858090 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  60. ^ Д. Ли, К. Космидис, А. Бунде, С. Хавлин (2011). «Размерность пространственно встроенных сетей Nature Physics» . Физика природы . 7 : 481–484. DOI : 10.1038 / nphys1932 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Мандельброт, Бенуа Б .; Хадсон, Ричард Л. (2010). (Неправильное) поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение . Профильные книги. ISBN 978-1-84765-155-6.

Внешние ссылки [ править ]

  • Программное обеспечение для фрактального анализа TruSoft Benoit рассчитывает фрактальные размерности и показатели скорости.
  • Java-апплет для вычисления фрактальных измерений
  • Введение в фрактальный анализ
  • Боули, Роджер (2009). «Фрактальное измерение» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .
  • « Фракталы обычно не самоподобны» . 3Синий1Коричневый .