Длина дуги - это расстояние между двумя точками на участке кривой .
Определение длины сегмента неправильной дуги также называется исправлением кривой. Появление исчисления бесконечно малых привело к общей формуле, которая в некоторых случаях дает решения в замкнутой форме .
Общий подход
Кривые в плоскости может быть аппроксимировано путем подключения конечного числа точек на кривом с использованием отрезков , чтобы создать многоугольный путь . Так как длину каждого линейного сегмента легко вычислить (например, используя теорему Пифагора в евклидовом пространстве), общую длину приближения можно найти, суммируя длины каждого линейного сегмента;это приближение известно как (кумулятивное) хордовое расстояние . [1]
Если кривая еще не является многоугольной траекторией, использование все большего числа сегментов меньшей длины приведет к лучшему приближению. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут увеличиваться бесконечно, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу, поскольку длины сегментов становятся сколь угодно малыми .
Для некоторых кривых есть наименьшее число это верхняя граница длины любого полигонального приближения. Эти кривые называются спрямляемыми, а числоопределяется как длина дуги .
Определение гладкой кривой
Позволять - инъективная и непрерывно дифференцируемая функция. Длина кривой, определяемаяможно определить как предел суммы длин линейных сегментов для регулярного разбиенияпоскольку количество сегментов приближается к бесконечности. Это означает
где для Это определение эквивалентно стандартному определению длины дуги как интеграла:
Последнее равенство верно по следующим причинам: (i) по теореме о среднем значении , где [ сомнительно ] . (ii) функциянепрерывна, следовательно, она равномерно непрерывна , поэтому существует положительная действительная функция положительного реального такой, что подразумевает Это означает
имеет абсолютное значение меньше, чем для Это означает, что в пределе левый член выше равен правому члену, который является просто интегралом Римана от на Это определение длины дуги показывает, что длина кривой непрерывно дифференцируемый на всегда конечно. Другими словами, кривая всегда исправима.
Определение длины дуги гладкой кривой как интеграла от нормы производной эквивалентно определению
где супремум берется по всем возможным разбиениям из [2] Это определение также верно, если просто непрерывный, не дифференцируемый.
Кривую можно параметризовать бесконечно многими способами. Позволять- любая непрерывно дифференцируемая биекция . потом - еще одна непрерывно дифференцируемая параметризация кривой, первоначально заданной формулой Длина дуги кривой одинакова независимо от параметризации, используемой для определения кривой:
Определение длины дуги путем интегрирования
Если плоская кривая в определяется уравнением где является непрерывно дифференцируемой , то это просто частный случай параметрического уравнения где а также Тогда длина дуги определяется как:
Кривые с решениями замкнутой формы для длины дуги включают цепную линию , круг , циклоиду , логарифмическую спираль , параболу , полукубическую параболу и прямую линию . Отсутствие решения в замкнутой форме для длины дуги эллиптической и гиперболической дуги привело к развитию эллиптических интегралов .
Численное интегрирование
В большинстве случаев, включая даже простые кривые, нет решений в замкнутой форме для длины дуги, и требуется численное интегрирование . Численное интегрирование интеграла длины дуги обычно очень эффективно. Например, рассмотрим задачу определения длины четверти единичной окружности путем численного интегрирования интеграла длины дуги. Верхняя половина единичного круга может быть параметризована как Интервал соответствует четверти круга. С а также длина четверти единичного круга равна
Оценка по правилу Гаусса – Кронрода из 15 пунктов для этого интеграла от1,570 796 326 808 177 отличается от истинной длины
от 1,3 × 10 −11 и 16-точечная оценка квадратурного правила Гаусса1.570 796 326 794 727 отличается от истинной длины только1,7 × 10 −13 . Это означает, что можно оценить этот интеграл почти с машинной точностью с помощью всего 16 вычислений интеграла.
Кривая на поверхности
Позволять отображение поверхности и пусть - кривая на этой поверхности. Подынтегральное выражение интеграла длины дуги равноДля вычисления производной требуется цепное правило для векторных полей:
Квадрат нормы этого вектора равен (где является первым коэффициентом фундаментальной формы ), поэтому подынтегральное выражение интеграла длины дуги можно записать как (где а также ).
Другие системы координат
Позволять быть кривой, выраженной в полярных координатах. Отображение, которое преобразует полярные координаты в прямоугольные координаты, выглядит следующим образом:
Подынтегральное выражение интеграла длины дуги равно Цепное правило для векторных полей показывает, что Таким образом, квадрат подынтегральной функции интеграла длины дуги равен
Таким образом, для кривой, выраженной в полярных координатах, длина дуги равна
Теперь позвольте - кривая в сферических координатах, где полярный угол, отсчитываемый от положительного ось и азимутальный угол. Отображение, которое преобразует сферические координаты в прямоугольные координаты:
Повторное использование цепного правила показывает, что Все точечные продукты где а также отличаются равны нулю, поэтому квадрат нормы этого вектора равен
Таким образом, для кривой, выраженной в сферических координатах, длина дуги равна
Очень похожий расчет показывает, что длина дуги кривой, выраженная в цилиндрических координатах, равна
Простые случаи
Дуги окружностей
Длины дуги обозначаются буквой s , поскольку латинское слово, обозначающее длину (или размер), - это пространство .
В следующих строках представляет собой радиус от в окружности ,его диаметр ,это его окружность , - длина дуги окружности, а - угол, под которым дуга проходит в центре круга. Расстояния а также выражены в тех же единицах.
- который совпадает с Это уравнение является определением π . {\ displaystyle \ pi.}
- Если дуга - полукруг , то
- Для произвольной дуги окружности:
- Если в радианах, тогда Это определение радиана.
- Если в градусах , тогда который совпадает с
- Если находится в градациях (100 градаций, или оценок, или градианов - один прямой угол ), то который совпадает с
- Если находится в поворотах (один оборот - полный оборот, или 360 °, или 400 градусов, или радианы), то .
Дуги больших кругов на Земле
Две единицы длины, морская миля и метр (или километр), были изначально определены таким образом, чтобы длины дуг больших окружностей на поверхности Земли были просто численно связаны с углами, которые они образуют в ее центре. Простое уравнение применяется в следующих случаях:
- если находится в морских милях, и в угловых минутах ( 1 ⁄ 60 градусов), или
- если находится в километрах, и в градусах Цельсия ( 1 ⁄ 100 град ).
Длины единиц расстояния были выбраны так, чтобы окружность Земли была равна 40 000 километров, или21 600 морских миль. Это количество соответствующих угловых единиц за один полный оборот.
Эти определения метра и морской мили были заменены более точными, но исходные определения все еще достаточно точны для концептуальных целей и некоторых расчетов. Например, они подразумевают, что один километр равен точно 0,54 морской мили. Используя официальные современные определения, одна морская миля составляет ровно 1,852 километра [3], что означает, что 1 километр составляет примерно0,539 956 80 морских миль. [4] Это современное соотношение отличается от рассчитанного по исходным определениям менее чем на одну часть из 10 000.
Длина дуги параболы
Исторические методы
Античность
На протяжении большей части истории математики даже величайшие мыслители считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Хотя Архимед первым изобрел способ нахождения площади под кривой с помощью своего « метода истощения », мало кто верил, что кривые могут иметь определенную длину, как и прямые линии. Первые шаги в этой области, как это часто бывает в расчетах , были сделаны путем приближения . Люди начали вписывать многоугольники в кривые и вычислять длину сторон для некоторого точного измерения длины. Используя больше сегментов и уменьшая длину каждого сегмента, они смогли получить все более и более точное приближение. В частности, вписав в круг многоугольник с множеством сторон, они смогли найти приблизительные значения π . [5] [6]
17 век
В 17 - м века, метод исчерпывания привели к выпрямлению геометрических методами нескольких кривых трансцендентных : логарифмическая спираль по Торричелли в 1645 году (некоторые источники говорят , Валлис в 1650 - х годах), то циклоида от Кристофера Рена в 1658 году, и цепная линия от Готфрида Лейбница в 1691 году.
В 1659 году Уоллис приписал Уильяму Нейлу открытие первого выпрямления нетривиальной алгебраической кривой - полукубической параболы . [7] Сопутствующие рисунки приведены на странице 145. На странице 91 Уильям Нейл упоминается как Гулиельмус Нелиус .
Интегральная форма
До полного формального развития исчисления основа современной интегральной формы для длины дуги была независимо открыта Хендриком ван Хойраетом и Пьером де Ферма .
В 1659 году ван Хойрает опубликовал конструкцию, показывающую, что задача определения длины дуги может быть преобразована в задачу определения площади под кривой (то есть интеграла). В качестве примера своего метода он определил длину дуги полукубической параболы, что потребовало нахождения области под параболой . [8] В 1660 году Ферма опубликовал более общую теорию, содержащую тот же результат, в своей работе De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometry (Геометрическая диссертация о кривых линиях в сравнении с прямыми линиями). [9]
Основываясь на своей предыдущей работе с касательными, Ферма использовал кривую
которого касательной при х = имела наклон в
так что касательная линия будет иметь уравнение
Затем он увеличил на небольшую величину , чтобы в + е , делая сегмента AC относительно хорошее приближение для длины кривой от А до D . Чтобы найти длину отрезка AC , он использовал теорему Пифагора :
что, когда решено, дает
Чтобы приблизиться к длине, Ферма суммировал бы последовательность коротких отрезков.
Кривые бесконечной длины
Как упоминалось выше, некоторые кривые нельзя исправить. То есть не существует верхней границы длин полигональных аппроксимаций; длину можно сделать сколь угодно большой . Неформально говорят, что такие кривые имеют бесконечную длину. Существуют непрерывные кривые, на которых каждая дуга (кроме одноточечной) имеет бесконечную длину. Примером такой кривой является кривая Коха . Другим примером кривой бесконечной длины является график функции, определяемой формулой f ( x ) = x sin (1 / x ) для любого открытого множества с 0 в качестве одного из его разделителей и f (0) = 0. Иногда функция Хаусдорфа измерение и мера Хаусдорфа используются для количественной оценки размера таких кривых.
Обобщение на (псевдо) римановы многообразия
Позволять - (псевдо) риманово многообразие , кривая в а также (псевдо) метрический тензор .
Длина определяется как
где является касательным вектором в Знак квадратного корня выбирается один раз для данной кривой, чтобы гарантировать, что квадратный корень является действительным числом. Положительный знак выбран для пространственноподобных кривых; в псевдоримановом многообразии отрицательный знак может быть выбран для времениподобных кривых. Таким образом, длина кривой - неотрицательное действительное число. Обычно не рассматриваются кривые, которые частично пространственноподобны, а частично времениподобны.
В теории относительности длина дуги времениподобных кривых ( мировых линий ) - собственное время, прошедшее вдоль мировой линии, а длина дуги пространственноподобной кривой - собственное расстояние вдоль кривой.
Смотрите также
- Дуга (геометрия)
- Длина окружности
- Формула Крофтона
- Эллиптический интеграл
- Геодезические
- Внутреннее уравнение
- Интегральные приближения
- Линейный интеграл
- Дуга меридиана
- Многопараметрическое исчисление
- Извилистость
Рекомендации
- ^ Альберг; Нильсон (1967). Теория сплайнов и их приложения . Академическая пресса. п. 51 . ISBN 9780080955452.
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill, Inc., стр.137 . ISBN 978-0-07-054235-8.
- ^ Супли, Курт (2 июля 2009 г.). «Специальная публикация 811» . nist.gov .
- ^ Справочник CRC по химии и физике , стр. F-254
- ^ Ричсон, Дэвид (май 2015 г.). «Круговое рассуждение: кто первым доказал, что C делится на d является константой?». Журнал математики колледжа . 46 (3): 162–171. DOI : 10,4169 / college.math.j.46.3.162 . ISSN 0746-8342 . S2CID 123757069 .
- ^ Кулидж, Дж. Л. (февраль 1953 г.). «Длины кривых». Американский математический ежемесячник . 60 (2): 89–93. DOI : 10.2307 / 2308256 . JSTOR 2308256 .
- ^ Уоллис, Джон (1659). Tractatus Duo. Prior, De Cycloide et de Corporibus inde Genitis… . Оксфорд: University Press. С. 91–96.
- ^ ван Хераэт, Хендрик (1659 г.). «Epistola de transmutatione curvarum linearum in rectas [Письмо о преобразовании изогнутых линий в прямые]». Ренати Des-Cartes Geometria (2-е изд.). Амстердам: Луи и Даниэль Эльзевир. С. 517–520.
- ^ MPEAS (псевдоним Ферма) (1660). De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica . Тулуза: Арно Коломер.
Источники
- Фаруки, Рида Т. (1999). «Кривые от движения, движение от кривых». В Laurent, P.-J .; Sablonniere, P .; Шумакер, LL (ред.). Кривая и дизайн поверхностей: Сен-Мало 1999 . Vanderbilt Univ. Нажмите. С. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.
Внешние ссылки
- "Спрямляемая кривая" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- История искривления
- Вайсштейн, Эрик В. «Длина дуги» . MathWorld .
- Длина дуги , Эд Пегг младший , Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
- Учебное пособие по исчислению - Длина дуги (выпрямление)
- Указатель известных кривых Архив истории математики MacTutor
- Аппроксимация длины дуги, сделанная Чадом Пирсоном, Джошем Фрицем и Анжелой Шарп, The Wolfram Demonstrations Project .
- Длина кривой Эксперимент. Иллюстрирует численное решение нахождения длины кривой.