Inner product of a surface in 3D, induced by the dot product
В дифференциальной геометрии , то первая фундаментальная форма является скалярное произведение на касательном пространстве в виде поверхности в трехмерном евклидовом пространстве , которое индуцируется каноническим от скалярного произведения из R 3 . Он позволяет рассчитывать кривизну и метрические свойства поверхности, такие как длина и площадь, в соответствии с окружающим пространством . Первая основная форма обозначается римской цифрой I ,
I ( x , y ) = ⟨ x , y ⟩ . {\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .} Пусть X ( u , v ) - параметрическая поверхность . Тогда скалярное произведение двух касательных векторов равно
I ( a X u + b X v , c X u + d X v ) = a c ⟨ X u , X u ⟩ + ( a d + b c ) ⟨ X u , X v ⟩ + b d ⟨ X v , X v ⟩ = E a c + F ( a d + b c ) + G b d , {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}} где E , F и G - коэффициенты первой фундаментальной формы .
Первую фундаментальную форму можно представить в виде симметричной матрицы .
I ( x , y ) = x T [ E F F G ] y {\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y} Дальнейшие обозначения [ править ] Когда первая фундаментальная форма записывается только с одним аргументом, она обозначает внутреннее произведение этого вектора на себя.
I ( v ) = ⟨ v , v ⟩ = | v | 2 {\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}} Первая фундаментальная форма часто записывается в современных обозначениях метрического тензора . Тогда коэффициенты можно записать как g ij :
( g i j ) = ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) = ( E F F G ) {\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}} Компоненты этого тензора вычисляются как скалярное произведение касательных векторов X 1 и X 2 :
g i j = X i ⋅ X j {\displaystyle g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}} для i , j = 1, 2 . См. Пример ниже.
Расчет длины и площади [ править ] Первая фундаментальная форма полностью описывает метрические свойства поверхности. Таким образом, он позволяет рассчитывать длины кривых на поверхности и площади участков на поверхности. Элемент линии ds может быть выражен через коэффициенты первой фундаментальной формы как
d s 2 = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2 . {\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.} Классический элемент площади, заданный как dA = | X u × X v | du dv можно выразить в терминах первой фундаментальной формы с помощью тождества Лагранжа ,
d A = | X u × X v | d u d v = ⟨ X u , X u ⟩ ⟨ X v , X v ⟩ − ⟨ X u , X v ⟩ 2 d u d v = E G − F 2 d u d v . {\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.} Пример: кривая на сфере [ править ] Для сферической кривой на единичной сфере в R 3 можно параметризовать как
X ( u , v ) = [ cos u sin v sin u sin v cos v ] , ( u , v ) ∈ [ 0 , 2 π ) × [ 0 , π ] . {\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].} Дифференцируя X ( u , v ) по u и v, получаем
X u = [ − sin u sin v cos u sin v 0 ] , X v = [ cos u cos v sin u cos v − sin v ] . {\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} Коэффициенты первой фундаментальной формы можно найти, взяв скалярное произведение частных производных .
E = X u ⋅ X u = sin 2 v F = X u ⋅ X v = 0 G = X v ⋅ X v = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}} так:
[ E F F G ] = [ sin 2 v 0 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.} Длина кривой на сфере [ править ] Экватор сферы является параметризованным кривым , заданным
( u ( t ) , v ( t ) ) = ( t , π 2 ) {\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})} с t в диапазоне от 0 до 2 π . Элемент линии может использоваться для вычисления длины этой кривой.
∫ 0 2 π E ( d u d t ) 2 + 2 F d u d t d v d t + G ( d v d t ) 2 d t = ∫ 0 2 π | sin v | d t = 2 π sin π 2 = 2 π {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi } Площадь области на сфере [ править ] Элемент площади можно использовать для вычисления площади сферы.
∫ 0 π ∫ 0 2 π E G − F 2 d u d v = ∫ 0 π ∫ 0 2 π sin v d u d v = 2 π [ − cos v ] 0 π = 4 π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi } Гауссова кривизна [ править ] Гауссова кривизна поверхности задается
K = det I I det I = L N − M 2 E G − F 2 , {\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} }{\det \mathrm {I} }}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},} где L , M и N - коэффициенты второй фундаментальной формы .
Theorema egregium из Гаусса утверждает , что гауссова кривизна поверхности может быть выражена только в терминах первой фундаментальной формы и ее производных, так что К в действительности является внутренней инвариант поверхности. Явное выражение гауссовой кривизны в терминах первой фундаментальной формы дается формулой Бриоски .
Внешние ссылки [ править ] Основные искривления Гауссова кривизна Средняя кривизна Рамка Дарбу Уравнения Гаусса – Кодацци Первая фундаментальная форма Вторая фундаментальная форма Третья основная форма Кривизна римановых многообразий. Тензор кривизны Римана Кривизна Риччи Скалярная кривизна Кривизна в разрезе Форма кривизны Тензор кручения Искривление Голономия