Теорема Egregium

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Теорема Эгрегиум»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В этой статье отсутствует информация о многих основных деталях, включая уравнение, связанное с теоремой, или даже набросок ее доказательства . Разверните статью, чтобы включить эту информацию. Более подробная информация может быть на странице обсуждения . ( Январь 2020 г. )

Следствием теоремы Egregium является то, что Землю нельзя отобразить на карте без искажений. Проекция Меркатора , показанная здесь, пресервы углы , но не может сохранить область.

Гаусс Theorema Egregium (латы «Замечательные теоремы») является основным результатом дифференциальной геометрии (доказанной Гаусс в 1827 году) , что касается кривизны поверхностей. Теорема состоит в том, что гауссова кривизна может быть полностью определена путем измерения углов, расстояний и их скоростей на поверхности, без привязки к конкретному способу, которым поверхность встроена в окружающее трехмерное евклидово пространство. Другими словами, гауссова кривизна поверхности не изменится, если поверхность согнуть, не растягивая. Таким образом, гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности.

Гаусс изложил теорему следующим образом (в переводе с латыни):

Таким образом, формула предыдущей статьи приводит к замечательной теореме. Если криволинейная поверхность образуется на любой другой поверхности, мера кривизны в каждой точке остается неизменной.

Теорема «замечательна» тем, что в начальном определении гауссовой кривизны напрямую используется положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат не зависит от его заделки, несмотря на все деформации изгиба и скручивания.

Используя современную математическую терминологию, теорему можно сформулировать следующим образом:

Гауссова кривизна поверхности инвариантна относительно локальной изометрии .

Элементарные приложения [ править ]

Анимация, показывающая деформацию геликоида в катеноид . Деформация осуществляется изгибом без растяжения. Во время процесса гауссова кривизна поверхности в каждой точке остается постоянной.

Сфера радиуса R имеет постоянную гауссову кривизну, равную 1 / R ² . В то же время плоскость имеет нулевую гауссову кривизну. Как следует из теоремы Egregium, лист бумаги нельзя согнуть на сферу, не смяв его. И наоборот, поверхность шара не может быть развернута на плоскую плоскость без искажения расстояний. Если наступить на пустую яичную скорлупу, ее края должны расколоться при расширении, прежде чем они станут плоскими. Математически сфера и плоскость не изометричны даже локально. Этот факт важен для картографии : он подразумевает, что никакая планарная (плоская) карта Земли не может быть идеальной даже для части поверхности Земли. Таким образом, каждыйкартографическая проекция обязательно искажает хоть какие-то расстояния. ^[1]

Катеноид и геликоида два очень разных вида поверхности. Тем не менее, каждый из них можно непрерывно загибать в другой: они локально изометричны. Из теоремы Egregium следует, что при таком изгибе гауссова кривизна в любых двух соответствующих точках катеноида и геликоида всегда одинакова. Таким образом, изометрия - это просто изгибание и скручивание поверхности без внутреннего смятия или разрыва, другими словами без дополнительного растяжения, сжатия или сдвига.

Применение теоремы эгрегия наблюдается, когда плоский объект несколько сгибается или изгибается вдоль линии, создавая жесткость в перпендикулярном направлении. Это имеет практическое применение в строительстве, а также в обычной стратегии поедания пиццы : плоский кусок пиццы можно рассматривать как поверхность с постоянной гауссовой кривизной 0. Осторожно сгибая кусок, затем необходимо примерно поддерживать эту кривизну (при условии изгиба грубо говоря, локальная изометрия). Если сгибать срез по горизонтали по радиусу, ненулевые основные кривизнысоздаются вдоль изгиба, что означает, что другая основная кривизна в этих точках должна быть равна нулю. Это создает жесткость в направлении, перпендикулярном складке, что является желательным атрибутом для пиццы, поскольку она сохраняет свою форму достаточно долго, чтобы ее можно было съесть без беспорядка. Этот же принцип используется для усиления в гофрированных материалах, наиболее фамильярна гофрированный фибролит и профилированного листа , ^[2] и в некоторых формах картофельных чипсов .

См. Также [ править ]

• Вторая фундаментальная форма
• Гауссова кривизна
• Дифференциальная геометрия поверхностей

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гаусс, CF (2005). Пешич, Питер (ред.). Общие исследования искривленных поверхностей (изд. В мягкой обложке). Dover Publications . ISBN 0-486-44645-X.
• О'Нил, Барретт (1966). Элементарная дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Academic Press. С. 271–275.
• Стокер, Дж. Дж. (1969). "Уравнения в частных производных теории поверхности". Дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Вили. С. 133–150. ISBN 0-471-82825-4.

Внешние ссылки [ править ]

• Теорема Egregium на Mathworld