Гауссова кривизна

Слева направо: поверхность отрицательной гауссовой кривизны ( гиперболоид ), поверхность нулевой гауссовой кривизны ( цилиндр ) и поверхность положительной гауссовой кривизны ( сфера ).

Некоторые точки на торе имеют положительную кривизну, некоторые - отрицательную, а некоторые - нулевую гауссову кривизну.

В дифференциальной геометрии , то гауссова кривизна или Гаусс кривизны К , из поверхности в точке , это произведение главных кривизн , κ ₁ и κ ₂ , в данной точке:

${\ displaystyle K = \ kappa _ {1} \ kappa _ {2}.}$

Например, сфера радиуса r имеет гауссову кривизну1/r ²везде, а плоская плоскость и цилиндр всюду имеют нулевую гауссову кривизну. Гауссова кривизна также может быть отрицательной, как в случае гиперболоида или внутренней части тора .

Гауссова кривизна - это внутренняя мера кривизны , зависящая только от расстояний, которые измеряются на поверхности, а не от того, как она изометрически встроена в евклидово пространство. Это содержание теоремы egregium .

Гауссова кривизна названа в честь Карла Фридриха Гаусса , который опубликовал теорему egregium в 1827 году.

Неофициальное определение [ править ]

Седловая поверхность с нормальными плоскостями в направлениях главных кривизны

В любой точке поверхности мы можем найти вектор нормали , расположенный под прямым углом к ​​поверхности; плоскости, содержащие вектор нормали, называются нормальными плоскостями . Пересечение нормальной плоскости и поверхности образует кривую, называемую нормальным сечением, а кривизна этой кривой является нормальной кривизной . Для большинства точек на большинстве поверхностей разные нормальные сечения будут иметь разную кривизну; их максимальное и минимальное значения называются главными кривизнами , назовем их κ ₁ , κ ₂ . Гауссова кривизна представляет собой произведение двух главных кривизн Κ = κ₁ κ ₂ .

Знак гауссовой кривизны может использоваться для характеристики поверхности.

• Если обе главные кривизны имеют один и тот же знак: κ ₁ κ ₂ > 0 , то гауссова кривизна положительна и поверхность называется эллиптической. В таких точках поверхность будет иметь куполообразную форму, локально лежащую по одну сторону от своей касательной плоскости. Знаки всех секционных изгибов будут одинаковыми.
• Если главные кривизны имеют разные знаки: κ ₁ κ ₂ <0 , то гауссова кривизна отрицательна и поверхность называется гиперболической или седловой . В таких местах поверхность будет иметь форму седла. Поскольку одна основная кривизна отрицательна, другая положительна, а нормальная кривизна непрерывно изменяется, если вы поворачиваете плоскость, ортогональную поверхности, вокруг нормали к поверхности в двух направлениях, нормальные кривизны будут равны нулю, давая асимптотические кривые для этой точки.
• Если одна из главных кривизн равна нулю: κ ₁ κ ₂ = 0 , гауссова кривизна равна нулю и поверхность называется параболической.

Большинство поверхностей будут содержать области положительной гауссовой кривизны (эллиптические точки) и области отрицательной гауссовой кривизны, разделенные кривой точек с нулевой гауссовой кривизной, называемой параболической линией .

Связь с геометрией [ править ]

Когда поверхность имеет постоянную нулевую гауссову кривизну, тогда это разворачивающаяся поверхность, а геометрия поверхности является евклидовой геометрией .

Когда поверхность имеет постоянную положительную гауссову кривизну, то это сфера, а геометрия поверхности - сферическая геометрия .

Когда поверхность имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, тогда это псевдосферическая поверхность, а геометрия поверхности - гиперболическая .

Связь с главными кривизнами [ править ]

Две главные кривизны в данной точке поверхности являются собственными значениями этого оператора формы в точке. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях в этой точке. Мы представляем поверхность по теореме о неявной функции как график функции f двух переменных таким образом, что точка p является критической точкой, то есть градиент f обращается в нуль (этого всегда можно достичь с помощью подходящее жесткое движение). Тогда гауссова кривизна поверхности в точке p является определителем матрицы Гессе функции f(являясь произведением собственных значений гессиана). (Напомним, что гессиан - это матрица вторых производных 2 × 2.) Это определение позволяет сразу уловить различие между чашкой / крышкой и седловой точкой.

Альтернативные определения [ править ]

Это также дается

${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {{\ bigl \ langle} (\ nabla _ {2} \ nabla _ {1} - \ nabla _ {1} \ nabla _ {2}) \ mathbf {e} _ {1 }, \ mathbf {e} _ {2} {\ bigr \ rangle}} {\ det g}},}$

где ∇ _i = ∇ _{e i} - ковариантная производная, а g - метрический тензор .

В точке p на регулярной поверхности в R ³ гауссова кривизна также определяется выражением

${\ Displaystyle К (\ mathbf {p}) = \ Det S (\ mathbf {p}),}$

где S - оператор формы .

Полезной формулой для гауссовой кривизны является уравнение Лиувилля в терминах лапласиана в изотермических координатах .

Полная кривизна [ править ]

Поверхностный интеграл гауссовой кривизны по некоторой области поверхности, называется полной кривизной . Полная кривизна геодезического треугольника равна отклонению суммы его углов от π . Сумма углов треугольника на поверхности положительной кривизны будет больше π , а сумма углов треугольника на поверхности отрицательной кривизны будет меньше π . На поверхности нулевой кривизны, такой как евклидова плоскость , сумма углов будет ровно π радиан.

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ theta _ {i} = \ pi + \ iint _ {T} K \, dA.}$

Более общий результат - теорема Гаусса – Бонне .

Важные теоремы [ править ]

Теорема эгрегиум [ править ]

Теорема Гаусса egregium (лат. «Замечательная теорема») утверждает, что гауссову кривизну поверхности можно определить по измерениям длины самой поверхности. Фактически, его можно найти, зная о первой фундаментальной форме, и выразить его через первую фундаментальную форму и ее частные производные первого и второго порядка. Эквивалентно, то определитель из второй фундаментальной формы поверхности в R ³ может быть выражен так. «Замечательная» и удивительная особенность этой теоремы состоит в том, что хотя определение гауссовой кривизны поверхности S в R ³Конечно, зависит от того, как поверхность расположена в пространстве, конечный результат, сама гауссова кривизна, определяется внутренней метрикой поверхности без каких-либо дальнейших ссылок на окружающее пространство: это внутренний инвариант . В частности, гауссова кривизна инвариантна относительно изометрических деформаций поверхности.

В современной дифференциальной геометрии «поверхность», рассматриваемая абстрактно, представляет собой двумерное дифференцируемое многообразие . Чтобы связать эту точку зрения с классической теорией поверхностей , такая абстрактная поверхность вкладывается в R ³ и снабжается римановой метрикой, заданной первой фундаментальной формой. Предположим, что образ вложения - это поверхность S в R ³ . Локальная изометрия является Диффеоморфизм F  : U → V между открытыми областями R ³чье ограничение на S ∩ U является изометрией на его образ. Теорема egregium формулируется следующим образом:

Например, гауссова кривизна цилиндрической трубки равна нулю, так же как и для "развернутой" трубки (которая является плоской). ^{[1] [ необходима страница ]} С другой стороны, поскольку сфера радиуса R имеет постоянную положительную кривизну R ^−2, а плоская плоскость имеет постоянную кривизну 0, эти две поверхности не изометричны, даже локально. Таким образом, любое плоское изображение даже небольшой части сферы должно искажать расстояния. Следовательно, ни одна картографическая проекция не бывает идеальной.

Теорема Гаусса – Бонне [ править ]

Теорема Гаусса – Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее эйлеровой характеристикой и обеспечивает важную связь между локальными геометрическими свойствами и глобальными топологическими свойствами.

Поверхности постоянной кривизны [ править ]

• Теорема Миндинга (1839) утверждает, что все поверхности с одинаковой постоянной кривизной K локально изометричны. Следствием теоремы Миндинга является то, что любую поверхность, кривизна которой тождественно равна нулю, можно построить путем изгибания некоторой плоской области. Такие поверхности называются складывающимися поверхностями . Minding также поднял вопрос о том, обязательно ли замкнутая поверхность с постоянной положительной кривизной жесткой.
• Теорема Либмана (1900) ответила на вопрос Миндинга. Единственные регулярные (класса C ² ) замкнутые поверхности в R ³ с постоянной положительной гауссовой кривизной - это сферы . ^[2] Если сфера деформируется, она не остается сферой, что доказывает, что сфера жесткая. Стандартное доказательство использует лемму Гильберта о том, что неумбилические точки крайней главной кривизны имеют неположительную гауссову кривизну. ^[3]
• Теорема Гильберта (1901) утверждает, что не существует полной аналитической (класс C ^ω ) регулярной поверхности в R ³ постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Фактически, вывод верен и для поверхностей класса C ^2, погруженных в R ³ , но неверен для C ¹ -поверхностей. Псевдосфера имеет постоянные отрицательную гауссову кривизнукроме его особого острия . ^[4]

Есть и другие поверхности, которые имеют постоянную положительную гауссову кривизну. Манфреду ду Карму рассматривает поверхности вращения, где , и ( неполный эллиптический интеграл второго рода ). Все эти поверхности имеют постоянную гауссову кривизну, равную 1, но либо имеют границу, либо особую точку. ду Карму также приводит три различных примера поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной, одним из которых является псевдосфера . ^[5]${\displaystyle (\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))}$${\displaystyle \phi (v)=C\cos v}$${\displaystyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v}}\ dv}$${\displaystyle C\neq 1}$

Есть много других возможных ограниченных поверхностей с постоянной гауссовой кривизной. Хотя сфера жесткая и не может быть согнута изометрией, если удалить небольшую область или даже разрезать небольшой сегмент, то полученная поверхность может быть изогнута. Такой изгиб сохраняет гауссову кривизну, поэтому любое такое изгибание сферы с удаленной областью также будет иметь постоянную гауссову кривизну. ^[6]

Альтернативные формулы [ править ]

• Гауссова кривизна поверхности в R ³ могут быть выражены в виде соотношения детерминант в секунду и первым основных форм II и I :

${\displaystyle K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$

• Формула Бриоши дает гауссову кривизну исключительно в терминах первой фундаментальной формы:

${\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}}$

• Для ортогональной параметризации ( F = 0 ) гауссова кривизна равна:

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}$

• Для поверхности, описываемой как график функции z = F ( x , y ) , кривизна по Гауссу равна: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}}$

• Для неявно определенной поверхности F ( x , y , z ) = 0 гауссова кривизна может быть выражена через градиент ∇ F и матрицу Гессе H ( F ) : ^{[7] [8]}

${\displaystyle K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}}$

• Для поверхности с метрикой, конформной евклидовой, поэтому F = 0 и E = G = e ^σ , кривизна Гаусса определяется выражением ( Δ - обычный оператор Лапласа ):

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .}$

• Гауссова кривизна - это предельная разница между длиной окружности геодезической окружности и окружности на плоскости: ^[9]

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}}$

• Гауссова кривизна - это предельная разница между площадью геодезического диска и диска на плоскости: ^[9]

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}$

• Кривизна Гаусса может быть выражена символами Кристоффеля : ^[10]

${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$

См. Также [ править ]

• Кривизна в разрезе
• Средняя кривизна
• Карта Гаусса
• Тензор кривизны Римана
• Основная кривизна

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Гринфельд, П. (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Springer. ISBN 1-4614-7866-9.

Внешние ссылки [ править ]

• "Гауссова кривизна" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]