Точка перевала

Седло точка (в красном) на графике г = х ² -y ² ( гиперболический параболоид )

Седловая точка между двумя холмами (пересечение контура восьмерки)${\ displaystyle z}$

В математике , А седловая точка или минимаксная точка ^[1] является точкой на поверхность из графика функции , где склоны (производные) в ортогональных направлениях равны нуль (а критическая точка ), но который не является локальным экстремумом из функция. ^[2] Пример седловой точки - это когда есть критическая точка с относительным минимумом вдоль одного осевого направления (между пиками) и с относительным максимумом вдоль оси пересечения. Однако седловая точка не обязательно должна иметь такую ​​форму. Например, функция${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3}}$имеет критическую точку, которая является седловой точкой, поскольку она не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом, но не имеет относительного максимума или относительного минимума в -направлении.${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle y}$

Название происходит от того факта, что прототип в двух измерениях представляет собой поверхность, которая изгибается вверх в одном направлении и изгибается вниз в другом направлении, напоминая седло для верховой езды или горный перевал между двумя пиками, образующий седло рельефа . С точки зрения контурных линий , седловая точка в двух измерениях порождает контурный график или трассу, в которой контур, соответствующий значению седловой точки, кажется, пересекает сам себя.

Математическое обсуждение [ править ]

Простым критерием для проверки того, является ли данная стационарная точка вещественнозначной функции F ( x , y ) двух вещественных переменных седловой точкой, является вычисление матрицы Гессе функции в этой точке: если гессиан неопределен , то эта точка это седловая точка. Например, матрица Гессе функции в стационарной точке - это матрица${\ displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}$${\ Displaystyle (х, у, z) = (0,0,0)}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \\\ end {bmatrix}}}$

что неопределенно. Следовательно, эта точка является седловой. Этот критерий дает лишь достаточное условие. Например, точка является седловой точкой для функции, но матрица Гессе этой функции в начале координат является нулевой матрицей, которая не является неопределенной.${\ displaystyle (0,0,0)}$${\ displaystyle z = x ^ {4} -y ^ {4},}$

В самых общих чертах седловая точка для гладкой функции ( график которой представляет собой кривую , поверхность или гиперповерхность ) - это стационарная точка, такая что кривая / поверхность / и т. Д. в окрестности этой точки не находится полностью ни с одной стороны касательного пространства в этой точке.

График y  =  x ³ с седловой точкой в ​​0

В области одного измерения седловая точка - это точка, которая одновременно является неподвижной точкой и точкой перегиба . Поскольку это точка перегиба, это не локальный экстремум .

Поверхность седла [ редактировать ]

Седло поверхность является гладкой поверхностью , содержащей одну или несколько точек перевала.

Классическими примерами двумерных седловых поверхностей в евклидовом пространстве являются поверхностями второго порядка, то гиперболический параболоид (который часто называют « на седловой поверхности» или «стандартное седло поверхности») и гиперболоида одного листа . Pringles картофельные чипсы или хрустящий являются повседневным примером гиперболического параболоида формы.${\ displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}$

Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну, что отличает их от выпуклых / эллиптических поверхностей, которые имеют положительную гауссову кривизну. Классическая седловая поверхность третьего порядка - седло обезьяны . ^[3]

Примеры [ править ]

В игре с нулевой суммой для двух игроков, определенной на непрерывном пространстве, точка равновесия является седловой точкой.

Для линейной автономной системы второго порядка критической точкой является седловая точка, если характеристическое уравнение имеет одно положительное и одно отрицательное действительное собственное значение. ^[4]

При оптимизации с ограничениями типа равенства условия первого порядка описывают седловую точку лагранжиана .

Другое использование [ править ]

В динамических системах , если динамика задается дифференцируемым отображением f, то точка является гиперболической тогда и только тогда, когда дифференциал ƒ ⁿ (где n - период точки) не имеет собственного значения на (комплексной) единичной окружности при вычислении в точку. Тогда седловая точка - это гиперболическая периодическая точка , стабильные и неустойчивые многообразия которой имеют размерность , отличную от нуля.

Седловая точка матрицы - это элемент, который одновременно является самым большим элементом в столбце и самым маленьким элементом в строке.

См. Также [ править ]

• Метод перевала является расширением метода Лапласа для аппроксимации интегралов.
• Экстремум
• Производный тест
• Точка гиперболического равновесия
• Теорема о минимаксе
• Неравенство макс – мин.
• Седло обезьяны
• Теорема о горном перевале

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. ISBN 0-8284-1087-9.

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с Седловой точкой, на Викискладе?