Гиперповерхность

В геометрии , A гиперповерхность представляет собой обобщение понятий гиперплоскости , плоские кривые и поверхности . Гиперповерхность - это многообразие или алгебраическое многообразие размерности $n - 1$ , которое вложено в объемлющее пространство размерности $n$ , как правило, в евклидово пространство , аффинное пространство или проективное пространство . ^[1] Гиперповерхности разделяют, как и поверхности в трехмерном пространстве , свойство определяться одним неявным уравнением., по крайней мере, локально (около каждой точки), а иногда и глобально.

Гиперповерхность в (евклидовом, аффинном или проективном) пространстве размерности два - это плоская кривая. В трехмерном пространстве это поверхность.

Например, уравнение

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} -1 = 0}

определяет алгебраическую гиперповерхность размерности $n - 1$ в евклидовом пространстве размерности $n$ . Эта гиперповерхность также является гладким многообразием и называется гиперсферой или $(n - 1)$ -сферой .

Гладкая гиперповерхность [ править ]

Гиперповерхность, являющаяся гладким многообразием , называется гладкой гиперповерхностью .

В $R n$ гладкая гиперповерхность ориентируема . ^[2] Каждая связная компактная гладкая гиперповерхность является множеством уровня и разделяет R ⁿ на две связные компоненты; это связано с теоремой Жордана – Брауэра об отделимости . ^[3]

Аффинная алгебраическая гиперповерхность [ редактировать ]

Алгебраическая гиперповерхность представляет собой алгебраическое многообразие , которое может быть определено с помощью одного неявного уравнения вида

{\ Displaystyle p (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}

где $p$ - многомерный многочлен . Обычно предполагается, что многочлен неприводимый . Когда это не так, гиперповерхность не является алгебраическим многообразием, а всего лишь алгебраическим множеством . Это может зависеть от авторов или контекста, определяет ли приводимый многочлен гиперповерхность. Во избежание двусмысленности часто используется термин неприводимая гиперповерхность .

Что касается алгебраических многообразий, коэффициенты определяющего полинома могут принадлежать к какому - либо фиксированному полю $к$ , а точки гиперповерхностей являются нулями из $р$ в аффинном пространстве , где $K$ является алгебраически замкнутым расширением в $к$ . ${\ displaystyle K ^ {n},}$

Гиперповерхность может иметь особенности , которые являются общими нулями определяющего полинома и его частных производных, если таковые имеются. В частности, вещественная алгебраическая гиперповерхность не обязательно является многообразием.

Свойства [ править ]

Гиперповерхности обладают некоторыми специфическими свойствами, которые не присущи другим алгебраическим разновидностям.

Одним из основных таких свойств является Nullstellensatz Гильберта , который утверждает, что гиперповерхность содержит алгебраическое множество тогда и только тогда, когда определяющий многочлен гиперповерхности имеет мощность, которая принадлежит идеалу, порожденному определяющими многочленами алгебраического множества.

Следствие этой теоремы состоит в том, что если два неприводимых многочлена (или, в более общем случае, два многочлена без квадратов ) определяют одну и ту же гиперповерхность, то один является произведением другого на ненулевую константу.

Гиперповерхности в точности подмногообразие размерности $п - 1$ из аффинного пространства размерности $п$ . Это геометрическая интерпретация того факта, что в кольце многочленов над полем высота идеала равна 1 тогда и только тогда, когда идеал является главным идеалом . В случае возможно приводимых гиперповерхностей этот результат можно переформулировать следующим образом: гиперповерхности - это в точности алгебраические множества, все неприводимые компоненты которых имеют размерность $n - 1$ .

Реальные и рациональные точки [ править ]

Вещественная гиперповерхность гиперповерхность , которая определяется полиномом с вещественными коэффициентами. В этом случае алгебраически замкнутое поле, над которым определены точки, обычно является полем комплексных чисел. В реальных точек вещественной гиперповерхности точки , которые принадлежат Множество вещественных точек вещественной гиперповерхности является действительной частью гиперповерхности. Часто вопрос о том, относится ли термин гиперповерхность ко всем точкам или только к реальной части, остается в зависимости от контекста . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ subset \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Если коэффициенты определяющего полинома принадлежат полю $k$ , которое не является алгебраически замкнутым (обычно поле рациональных чисел , конечное поле или числовое поле ), говорят, что гиперповерхность определена над $k$ , а точки, принадлежащие являются рациональными над $к$ (в случае поля рациональных чисел «над $к$ » , как правило , опущены). ${\ Displaystyle к ^ {п}}$

Например, мнимая n- сфера, определяемая уравнением

{\ displaystyle x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} + 1 = 0}

- реальная гиперповерхность без реальной точки, определенная над рациональными числами. У него нет рациональной точки, но есть много точек, которые рациональны по сравнению с гауссовскими рациональными числами .

Проективная алгебраическая гиперповерхность[ редактировать ]

Проективный (алгебраический) гиперповерхность размерности $п - 1$ в проективном пространстве размерности $п$ над полем $к$ определяются однородным многочленом в $п$ $+ 1$ неизвестных. Как обычно, однородный многочлен означает , что все мономы из $Р$ имеют одинаковую степень, или, что то же самое , что для каждой постоянной $с$ , где $d$ является степень многочлена. В точках гиперповерхности являются точками проективного пространства , чьи проективных координаты ${\ Displaystyle P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ нули $P$ .

Если выбрать гиперплоское уравнение как гиперплоскость на бесконечности , дополнение этой гиперплоскости является аффинным пространством , а точки проективной hypersuface, принадлежащего этим аффинного пространство образует аффинную гиперповерхность уравнения Обратно, аффинная гиперповерхность уравнения оно определяет проективную гиперповерхность, называемую ее проективным пополнением , уравнение которой получается усреднением $p$ . То есть, уравнение проективной завершенности с $x_{0}=0$ $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$

P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),

где $d$ является степень $P$ .

Эти два процесса проективного пополнения и ограничения на аффинное подпространство обратны друг другу. Следовательно, аффинная гиперповерхность и ее проективное пополнение имеют по существу одинаковые свойства и часто рассматриваются как две точки зрения на одну и ту же гиперповерхность.

Однако может случиться так, что аффинная гиперповерхность невырожденна , а ее проективное пополнение имеет особые точки. В этом случае говорят, что аффинная поверхность сингулярна на бесконечности . Например, круговой цилиндр уравнения

x^{2}+y^{2}-1=0

в аффинном пространстве размерности три имеет единственную особую точку, находящуюся на бесконечности в направлении $x = 0, y = 0$ .

См. Также [ править ]

Аффинная сфера
Гиперповерхность Coble
Семья Дворк
Нулевая гиперповерхность
Полярная гиперповерхность

Ссылки [ править ]

^ Ли, Джеффри (2009). «Кривые и гиперповерхности в евклидовом пространстве» . Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс: Американское математическое общество. С. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.
^ Ханс Самельсон (1969) "Ориентируемость гиперповерхностей в R n ", Труды Американского математического общества 22 (1): 301,2
^ Лима, Илон Л. (1988). «Теорема Жордана-Брауэра об отделимости гладких гиперповерхностей». Американский математический ежемесячник . 95 (1): 39–42. DOI : 10.1080 / 00029890.1988.11971963 .

"Гиперповерхность" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Сошичи Кобаяси и Кацуми Номидзу (1969), Основы дифференциальной геометрии, том II, Wiley Interscience
П.А. Симионеску и Д. Бил (2004) Визуализация гиперповерхностей и многомерных (целевых) функций путем частичной глобализации , Визуальный компьютер 20 (10): 665–81.

[1] Ли, Джеффри (2009). «Кривые и гиперповерхности в евклидовом пространстве» . Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс: Американское математическое общество. С. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[2] Ханс Самельсон (1969) "Ориентируемость гиперповерхностей в R n ", Труды Американского математического общества 22 (1): 301,2

[Lima-3] Лима, Илон Л. (1988). «Теорема Жордана-Брауэра об отделимости гладких гиперповерхностей». Американский математический ежемесячник . 95 (1): 39–42. DOI : 10.1080 / 00029890.1988.11971963 .

[1]

vтеИзмерение
Размерные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое многообразие Пространство-время
Другие размеры	Krull Покрытие Лебега Индуктивный Хаусдорф Минковский Фрактал Степени свободы
Многогранники и формы	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперсфера Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Кросс-многогранник Симплекс
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь 8 9 n -размеры Отрицательные размеры
Категория