Уровень установлен

В математике , А множество уровня из реальной значной функции F от п вещественных переменных является множество вида

${\ Displaystyle L_ {c} (f) = \ left \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mid f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = c \ right \} ~,}$

то есть набор, в котором функция принимает заданное постоянное значение c .

Когда количество независимых переменных равно двум, набор уровня представляет собой кривую , называемую кривой уровня , также называемую контурной линией или изолинией. Таким образом, кривая уровня - это совокупность всех действительных решений уравнения с двумя переменными x ₁ и x ₂ . Когда n  = 3, набор уровня называется поверхностью уровня (см. Также изоповерхность ), а для более высоких значений n набор уровня является гиперповерхностью уровня. Таким образом, поверхность уровня - это совокупность всех действительных корней уравнения с тремя переменными x ₁ , x ₂ и x _3., а гиперповерхность уровня - это совокупность всех действительных корней уравнения от n ( n > 3) переменных.

Уровень - это частный случай волокна .

Альтернативные названия [ править ]

Наборы уровней появляются во многих приложениях, часто под разными именами.

Например, неявная кривая - это линия уровня, которая рассматривается независимо от соседних кривых, подчеркивая, что такая кривая определяется неявным уравнением . Аналогично, поверхность уровня иногда называют неявной поверхностью или изоповерхностью .

Также используется название изоконтур, что означает контур одинаковой высоты. В различных областях применения, isocontours получили имена конкретных, которые часто указывают на природу значений рассматриваемой функции, такие как изобары , изотермы , изогон , изохроне , изокванта и кривой безразличия .

Примеры [ править ]

Рассмотрим двумерное евклидово расстояние:

Набор уровней этой функции состоит из тех точек, которые лежат на расстоянии от начала координат, иначе называемых кругом . Например , потому что . Геометрически это означает, что точка лежит на окружности радиуса 5 с центром в начале координат. В более общем смысле, сфера в метрическом пространстве с радиусом с центром в точке может быть определена как набор уровня .${\ displaystyle L_ {r} (d)}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle (3,4) \ в L_ {5} (d)}$${\ Displaystyle d (3,4) = 5}$${\ displaystyle (3,4)}$ ${\ Displaystyle (М, м)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle L_ {г} (у \ mapsto м (х, у))}$

Второй пример - это график функции Химмельблау, показанный на рисунке справа. Каждая показанная кривая является кривой уровня функции, и они разнесены логарифмически: если кривая представляет , кривая непосредственно «внутри» представляет , а кривая непосредственно «снаружи» представляет .${\ displaystyle L_ {x}}$${\ displaystyle L_ {x / 10}}$${\ displaystyle L_ {10x}}$

Наборы уровней по сравнению с градиентом [ править ]

Теорема : Если функция F является дифференцируемой , то градиент из F в точке равен либо нулю, либо перпендикулярно к множеству уровня F в этой точке.

Чтобы понять, что это означает, представьте, что два туриста находятся в одном месте на горе. Один из них смелый, и он решает пойти в том направлении, где склон самый крутой. Другой более осторожен; он не хочет ни подниматься, ни спускаться, выбирая путь, который удержит его на той же высоте. В нашей аналогии, приведенная выше теорема гласит, что два туриста отправятся в направлениях, перпендикулярных друг другу.

Следствием этой теоремы (и ее доказательство), что если F дифференцируема, множество уровня является гиперповерхность и многообразием вне критических точек из е . В критический момент, установленный уровня может быть уменьшена до точки (например , на локальный экстремум из F ) или могут иметь особенность , такие как точки самопересечения или острие .

Наборы подуровней и суперуровней [ править ]

Набор формы

${\ Displaystyle L_ {c} ^ {-} (е) = \ слева \ {(x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ mid f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq c \ right \}}$

называется подуровень набор из F (или, альтернативно, нижнего установленного уровня или траншею от F ). Множеством строгих подуровней функции f является

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

по аналогии

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

называется superlevel набор из е . ^{[2] [3]} И аналогично строгий суперуровневый набор функции f

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

Множества подуровней важны в теории минимизации . Из ограниченности некоторого непустого множества подуровней и полунепрерывности снизу функции следует, что функция достигает своего минимума по теореме Вейерштрасса . Выпуклость всех множеств подуровней характеризует Квазивыпуклые функции . ^[4]

См. Также [ править ]

• Эпиграф
• Метод установки уровня
• Набор уровней (структуры данных)

Ссылки [ править ]