Метод установки уровня

Файл: Levelset-mean-curvature-spiral.ogv

Видео распространения спирали по уровням ( поток кривизны ) в 2D. LHS показывает решение с нулевым уровнем. Справа показано скалярное поле с установленным уровнем.

Уровень набора методы ( LSM ) представляют собой концептуальные рамки для использования наборов уровней в качестве инструмента для численного анализа из поверхностей и форм . Преимущество модели с набором уровней состоит в том, что можно выполнять численные вычисления с использованием кривых и поверхностей на фиксированной декартовой сетке без необходимости параметризации этих объектов (это называется подходом Эйлера ). ^[1] Кроме того, метод установки уровня позволяет очень легко отслеживать фигуры, меняющие топологию., например, когда фигура разделяется на две части, появляются отверстия, или наоборот. Все это делает метод установки уровня отличным инструментом для моделирования изменяющихся во времени объектов, таких как надувание подушки безопасности или капля масла, плавающая в воде.

Иллюстрация метода установки уровня

Рисунок справа иллюстрирует несколько важных идей о методе установки уровня. В верхнем левом углу мы видим фигуру; то есть ограниченная область с хорошей границей. Под ним красная поверхность представляет собой график функции набора уровней, определяющей эту форму, а плоская синяя область представляет собой плоскость xy . Граница фигуры тогда является набором нулевого уровня , а сама фигура - это набор точек на плоскости, для которых положительно (внутренняя часть фигуры) или равно нулю (на границе). ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

В верхнем ряду мы видим, как фигура меняет свою топологию, разделяясь на две части. Было бы довольно сложно описать это преобразование численно, параметризуя границу формы и прослеживая ее эволюцию. Потребуется алгоритм, способный определить момент разделения формы на две, а затем построить параметризацию для двух вновь полученных кривых. С другой стороны, если мы посмотрим на нижнюю строку, мы увидим, что функция установки уровня просто переведена вниз. Это пример того, когда с помощью функции установки уровня может быть намного проще работать с формой, чем с формой напрямую, когда при прямом использовании формы необходимо учитывать и обрабатывать все возможные деформации, которым она может подвергнуться.

Таким образом, в двух измерениях метод установки уровня представляет собой представление замкнутой кривой (такой как граница формы в нашем примере) с использованием вспомогательной функции , называемой функцией установки уровня. представлено в виде нулевого множества уровня из по ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ Displaystyle \ Gamma = \ {(x, y) \ mid \ varphi (x, y) = 0 \},}

а метод установки уровня управляет неявно через функцию . Предполагается, что эта функция принимает положительные значения внутри области, ограниченной кривой, и отрицательные значения снаружи. ^[2]^[3] ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

Уравнение набора уровней [ править ]

Если кривая движется в нормальном направлении со скоростью , то функция установки уровня удовлетворяет уравнению установки уровня ${\ displaystyle \ Gamma}$ $v$ $\varphi$

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=v|\nabla \varphi |.

Здесь - евклидова норма (обычно обозначается одиночными столбцами в УЧП) и - время. Это уравнение в частных производных , в частности уравнение Гамильтона – Якоби , может быть решено численно, например, с использованием конечных разностей на декартовой сетке. ^[2]^[3] $|\cdot |$ $t$

Однако численное решение уравнения системы уровня требует сложных методов. Простые конечно-разностные методы быстро терпят неудачу. Методы восходящей намотки , такие как метод Годунова , работают лучше; однако метод установки уровня не гарантирует сохранение объема и формы уровня, установленного в адвективном поле, которое действительно сохраняет форму и размер, например, однородное поле или поле скорости вращения. Вместо этого форма набора уровней может сильно исказиться, и набор уровней может исчезнуть через несколько временных шагов. По этой причине обычно требуются конечно-разностные схемы высокого порядка, такие как, по существу, не колебательные схемы высокого порядка.(ENO) схем, и даже в этом случае возможность длительного моделирования сомнительна. Для решения этой проблемы были разработаны дополнительные сложные методы, например, комбинации метода установки уровня с отслеживанием маркерных частиц, переносимых полем скорости. ^[4]

Пример [ править ]

Рассмотрим единичный круг внутри , сужающийся к себе с постоянной скоростью, то есть каждая точка на границе круга движется по его внутренней нормали с некоторой фиксированной скоростью. Круг сожмется и, в конце концов, схлопнется до точки. Если начальное поле расстояний построено (т.е. функция, значение которой представляет собой знаковое евклидово расстояние до границы, положительное внутреннее, отрицательное внешнее) на начальной окружности, нормализованный градиент этого поля будет нормалью к окружности. ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

Если у поля есть постоянное значение, вычитаемое из него во времени, нулевой уровень (который был начальной границей) новых полей также будет круглым и аналогичным образом схлопнется в точку. Это связано с тем, что это фактически временное интегрирование уравнения Эйконала с фиксированной скоростью фронта.

В сгорания , этот метод используется для описания мгновенной поверхности пламени, известная как уравнение G .

История [ править ]

Метод установки уровня был разработан в 1979 году Аленом Дервье ^[5] и впоследствии популяризирован Стэнли Ошером и Джеймсом Сетхианом . Он стал популярным во многих дисциплинах, таких как обработка изображений , компьютерная графика , вычислительная геометрия , оптимизация , вычислительная гидродинамика и вычислительная биология .

Был разработан ряд структур данных с набором уровней, чтобы облегчить использование метода набора уровней в компьютерных приложениях.

Приложения [ править ]

Вычислительная гидродинамика
Горение
Планирование траектории
Оптимизация
Обработка изображений
Вычислительная биофизика

Вычислительная гидродинамика [ править ]

Чтобы запустить математическую модель на границе двух разных жидкостей, нам нужно смягчить взаимодействия между жидкостями. Поэтому нам нужно применить особую функцию: метод компактной установки уровня.

В качестве «дополнительного продукта» CompactLSM является дополнением к LSM, которое помогает решать уравнения LSM. Его можно использовать при численном моделировании потока, например, если мы работаем с дискретизацией границы раздела вода-воздух, уплотняется в шестом порядке, обеспечивает точное и быстрое вычисление уравнений границы раздела (Монтейро, 2018).

LSM использует функцию расстояния для обнаружения различных жидкостей. Функция расстояния - это функция, значение которой представляет наименьшее расстояние от точки, где она анализируется, до границы раздела. Эта функция расстояния определяется изолиниями (2D) или изоповерхностями (3D), показывая, что отрицательные значения относятся к одной из флюидов, положительные значения относятся к другой, а нулевое значение соответствует положению границы раздела.

Но как Хевисайд функционирует в рамках метода компактного набора уровней?

Поскольку удельная масса и вязкость не являются непрерывными на границе раздела, как проблема избыточной диффузии (расширение границы раздела), так и численные колебания ожидаются, если нет адекватной обработки жидкости вблизи границы раздела. Чтобы минимизировать эти проблемы, метод Level Set использует плавную, связанную с ячейками функцию Хевисайда, которая явно определяет положение интерфейса (= 0).

Переход в интерфейсе поддерживается плавным, но с толщиной порядка размера ячейки, чтобы избежать появления возмущений с масштабом длины, равным масштабу сетки, поскольку интерфейс предполагает свойство резкого скачка из одного ячейку в следующую (Унверди и Трюггвасон, 1992). Для восстановления свойств материала потока, таких как удельная масса и вязкость, используется другая функция маркера, I (∅), типа Хевисайда:

I(\varphi )={\begin{cases}0,&{\text{if }}\varphi <-\delta \Delta \\[8pt]{\dfrac {1}{2}}\left[1+{\dfrac {\varphi }{\delta \Delta }}+{\dfrac {1}{\pi }}\sin \left({\dfrac {\pi \varphi }{\delta \Delta }}\right)\right],&{\text{if }}|\varphi |\leq \delta \Delta \\[8pt]1,&{\text{if }}\varphi >\delta \Delta \end{cases}}

(1)

где δ - эмпирический коэффициент, обычно равный 1; 5 и Δ - характерная дискретизация задачи, которая изменяется в зависимости от моделируемого явления. Значение δ представляет собой границу с толщиной трех ячеек, и, таким образом, δ Δ представляет половину толщины границы раздела. Обратите внимание, что в этом методе интерфейс имеет виртуальную толщину, так как он представлен гладкой функцией. Физические свойства, такие как удельная масса и кинематическая вязкость, рассчитываются как:

\rho =(1-I)\rho _{1}+I\rho _{2}\qquad e\qquad v=(1-I)v_{1}+Iv_{2}

(2)

где ρ ₁ , ρ ₂ , v ₁ и v ₂ - удельная масса и кинематическая вязкость жидкостей 1 и 2. Уравнение 2 может применяться аналогично к другим свойствам жидкостей.

См. Также [ править ]

Полоса зебры (компьютерная графика)
Уравнение G
Расширенная библиотека моделирования
Объем жидкости методом
Сегментация изображения # Методы установки уровней
Метод погруженных границ
Стохастический эйлеров лагранжев метод
LSM / J Метод установки уровня для построения динамической плоскости
LSM / M Метод установки уровня для рисования плоскости параметров
Набор уровней (структуры данных)
ВИСПАК

Ссылки [ править ]

^ Ошер, S .; Сетиан, Дж. А. (1988), "Фронты, распространяющиеся со скоростью, зависящей от кривизны: алгоритмы, основанные на формулировках Гамильтона – Якоби" (PDF) , J. Comput. Phys. , 79 (1): 12-49, Bibcode : 1988JCoPh..79 ... 12O , CiteSeerX 10.1.1.46.1266 , DOI : 10,1016 / 0021-9991 (88) 90002-2 , ЛВП : 10338.dmlcz / 144762
^ а б Ошер, Стэнли Дж .; Fedkiw, Рональд П. (2002). Методы набора уровней и неявные динамические поверхности . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95482-0.
^ a b Сетиан, Джеймс А. (1999). Методы набора уровней и методы быстрого перехода: развивающиеся интерфейсы в вычислительной геометрии, механике жидкости, компьютерном зрении и материаловедении . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-64557-7.
^ Enright, D .; Fedkiw, RP; Ferziger, JH ; Митчелл, I. (2002), "Гибридный метод набора уровней частиц для улучшенного захвата интерфейса" (PDF) , J. Comput. Phys. , 183 (1): 83-116, Bibcode : 2002JCoPh.183 ... 83E , CiteSeerX 10.1.1.15.910 , DOI : 10,1006 / jcph.2002.7166
^ Ф. Томассет, А. Дервье, Метод конечных элементов для моделирования неустойчивости Рэлея-Тейлора, Lectures Notes in Mathematics, Vol.771, 145-158 (1979)

Внешние ссылки [ править ]

См Роналд Федка «s академическая веб - страница для многих потрясающих фотографий и анимации , показывающих , как уровень посаженного метод может быть использован для модели реальных явлений, как огнь, вода, ткань, гидроразрыв материалы и т.д.
Multivac - это библиотека C ++ для отслеживания фронта в 2D с помощью методов установки уровня.
Джеймс Sethian «s веб - страница на уровень множественной методы.
Стэнли Ошер «s домашней страницы .

[1] Ошер, S .; Сетиан, Дж. А. (1988), "Фронты, распространяющиеся со скоростью, зависящей от кривизны: алгоритмы, основанные на формулировках Гамильтона – Якоби" (PDF) , J. Comput. Phys. , 79 (1): 12-49, Bibcode : 1988JCoPh..79 ... 12O , CiteSeerX 10.1.1.46.1266 , DOI : 10,1016 / 0021-9991 (88) 90002-2 , ЛВП : 10338.dmlcz / 144762

[osher-2] а б Ошер, Стэнли Дж .; Fedkiw, Рональд П. (2002). Методы набора уровней и неявные динамические поверхности . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95482-0.

[sethian-3] Сетиан, Джеймс А. (1999). Методы набора уровней и методы быстрого перехода: развивающиеся интерфейсы в вычислительной геометрии, механике жидкости, компьютерном зрении и материаловедении . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-64557-7.

[4] Enright, D .; Fedkiw, RP; Ferziger, JH ; Митчелл, I. (2002), "Гибридный метод набора уровней частиц для улучшенного захвата интерфейса" (PDF) , J. Comput. Phys. , 183 (1): 83-116, Bibcode : 2002JCoPh.183 ... 83E , CiteSeerX 10.1.1.15.910 , DOI : 10,1006 / jcph.2002.7166

[5] Ф. Томассет, А. Дервье, Метод конечных элементов для моделирования неустойчивости Рэлея-Тейлора, Lectures Notes in Mathematics, Vol.771, 145-158 (1979)

[1]