Схема против ветра

В вычислительной физике , против ветра схемы обозначим класс численных дискретизации методов для решения гиперболических уравнений с частными производными . В схемах против ветра используется адаптивный или чувствительный к решению шаблон конечных разностей для численного моделирования направления распространения информации в поле потока. В схемах против ветра предпринимается попытка дискретизировать гиперболические уравнения с частными производными с использованием разности, смещенной в направлении, определяемом знаком характеристических скоростей. Исторически происхождение методов против ветра можно проследить до работ Куранта , Исааксона и Риса, которые предложили метод CIR. ^[1]

Уравнение модели [ править ]

Чтобы проиллюстрировать метод, рассмотрим следующее одномерное линейное уравнение переноса

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + a {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}

описывающее волну, распространяющуюся вдоль оси со скоростью . Это уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции . Рассмотрим типичную точку сетки в домене. В одномерной области с точкой связаны только два направления - влево (в сторону отрицательной бесконечности) и вправо (в сторону положительной бесконечности). Если положительно, решение бегущей волны приведенного выше уравнения распространяется вправо, левая сторона называется противветренной стороной, а правая сторона - подветренной стороной. Точно так же, если отрицательное значение, решение бегущей волны распространяется влево, левая сторона называется по ветру. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle a}$ сторона и правая сторона - против ветра . Если конечно-разностная схема для пространственной производной содержит больше точек с наветренной стороны, эта схема называется смещенной против ветра или просто схемой против ветра . ${\ displaystyle \ partial u / \ partial x}$

Схема против ветра первого порядка [ править ]

Моделирование схемы против ветра первого порядка, в которой a = sin ( t ).

Простейшая возможная схема против ветра - это схема против ветра первого порядка. Это дается ^[2]

{\ displaystyle {\ frac {u_ {i} ^ {n + 1} -u_ {i} ^ {n}} {\ Delta t}} + a {\ frac {u_ {i} ^ {n} -u_ { i-1} ^ {n}} {\ Delta x}} = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad a> 0}

( 1 )

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

( 2 )

Компактная форма [ править ]

Определение

a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)

и

u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}

два условных уравнения ( 1 ) и ( 2 ) можно объединить и записать в компактной форме как

u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]

( 3 )

Уравнение (3) - это общий способ написания любых схем против ветра.

Стабильность [ править ]

Схема против ветра устойчива, если выполняется следующее условие Куранта – Фридрихса – Леви (CFL). ^[3]

c=\left|{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1.

Анализ ряда Тейлора схемы против ветра, описанной выше, покажет, что она имеет точность первого порядка в пространстве и времени. Модифицированный анализ волновых чисел показывает, что схема первого порядка против ветра вводит сильную числовую диффузию / диссипацию в решение, где существуют большие градиенты из-за необходимости высоких волновых чисел для представления резких градиентов.

Схема против ветра второго порядка [ править ]

Пространственная точность схемы против ветра первого порядка может быть улучшена путем включения трех точек данных вместо двух, что обеспечивает более точный шаблон конечных разностей для аппроксимации пространственной производной. Для схемы против ветра второго порядка становится трехточечной разностью назад в уравнении ( 3 ) и определяется как $u_{x}^{-}$

u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}

и представляет собой трехточечную прямую разницу, определяемую как $u_{x}^{+}$

u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}}{2\Delta x}}

Эта схема менее распространена по сравнению со схемой первого порядка точности и называется схемой линейного дифференцирования против ветра (LUD).

Схема против ветра третьего порядка [ править ]

Для схемы против ветра третьего порядка в уравнении ( 3 ) определяется как $u_{x}^{-}$

u_{x}^{-}={\frac {2u_{i+1}^{n}+3u_{i}^{n}-6u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{6\Delta x}}

и определяется как $u_{x}^{+}$

u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+6u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}-2u_{i-1}^{n}}{6\Delta x}}

Эта схема менее распространена по сравнению со схемой второго порядка точности. Однако известно, что в области высокого градиента вносятся небольшие дисперсионные ошибки.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Курант, Ричард; Исааксон, Э; Рис, М. (1952). «О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений конечными разностями». Comm. Pure Appl. Математика . 5 (3): 243..255. DOI : 10.1002 / cpa.3160050303 .
^ Патанкар, С. В. (1980). Числовой теплообмен и поток жидкости . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-89116-522-4.
Перейти ↑ Hirsch, C. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-92452-4.

[1] Курант, Ричард; Исааксон, Э; Рис, М. (1952). «О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений конечными разностями». Comm. Pure Appl. Математика . 5 (3): 243..255. DOI : 10.1002 / cpa.3160050303 .

[2] Патанкар, С. В. (1980). Числовой теплообмен и поток жидкости . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-89116-522-4.

[3] Перейти ↑ Hirsch, C. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-92452-4.

[1]