Дискретность

Решение дискретного уравнения в частных производных, полученное методом конечных элементов .

В прикладной математике , дискретизация это процесс передачи непрерывных функций, модели, переменные и уравнения в дискретные аналоги. Этот процесс обычно выполняется в качестве первого шага к тому, чтобы сделать их пригодными для числовой оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация - это частный случай дискретизации, в котором количество дискретных классов равно 2, что может аппроксимировать непрерывную переменную как двоичную переменную (создавая дихотомию для целей моделирования , как в двоичной классификации ).

Дискретизация также связана с дискретной математикой и является важным компонентом гранулярных вычислений . В этом контексте дискретизация может также относиться к модификации степени детализации переменной или категории , например, когда несколько дискретных переменных объединяются или несколько дискретных категорий объединяются.

Всякий раз, когда непрерывные данные дискретизируются , всегда есть некоторая ошибка дискретизации . Цель состоит в том, чтобы уменьшить количество до уровня, который считается незначительным для рассматриваемых целей моделирования .

Термины дискретизация и квантование часто имеют один и тот же денотат , но не всегда идентичны коннотации . ( В частности, эти два термина разделить смысловое поле .) То же самое относится и к погрешности дискретизации и ошибки квантования .

Математические методы, относящиеся к дискретизации, включают метод Эйлера – Маруямы и удержание нулевого порядка .

Дискретизация линейных моделей пространства состояний [ редактировать ]

Дискретизация также связана с преобразованием непрерывных дифференциальных уравнений в дискретные разностные уравнения , пригодные для численных вычислений .

Следующая модель пространства состояний с непрерывным временем

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {w } (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {D} \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {v} (t)}$

где v и w - непрерывные источники белого шума с нулевым средним и спектральными плотностями мощности

${\ Displaystyle \ mathbf {ш} (т) \ сим N (0, \ mathbf {Q})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} (т) \ sim N (0, \ mathbf {R})}$

можно дискретизировать, предполагая нулевой порядок для входа u и непрерывное интегрирование для шума v , чтобы

${\ displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = \ mathbf {A} _ {d} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {B} _ {d} \ mathbf {u} [k] + \ mathbf {w} [k]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} [к] = \ mathbf {C} _ {d} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {D} _ {d} \ mathbf {u} [k] + \ mathbf {v} [k]}$

с ковариациями

${\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})}$

${\displaystyle \mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})}$

куда

${\displaystyle \mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} }$, Если это неособо${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {R} _{d}=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}}$

и - время выборки, хотя это транспонированная матрица . Уравнение для дискретного шума измерения является следствием того, что непрерывный шум измерения определяется спектральной плотностью мощности. ^[1]${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Умный трюк для вычисления A _d и B _d за один шаг заключается в использовании следующего свойства: ^{[2] : p. 215}

${\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Где и - дискретизированные матрицы пространства состояний.${\displaystyle \mathbf {A} _{d}}$${\displaystyle \mathbf {B} _{d}}$

Дискретизация технологического шума [ править ]

Численное вычисление немного сложнее из-за матричного экспоненциального интеграла. Однако его можно вычислить, сначала построив матрицу и вычислив ее экспоненту ^[3]${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}$

${\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}$

Затем дискретизированный технологический шум оценивается путем умножения транспонирования нижнего правого раздела G на верхний правый раздел G :

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}$

Вывод [ править ]

Начиная с непрерывной модели

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

мы знаем, что матричная экспонента равна

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$

и путем предварительного умножения модели мы получаем

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

который мы признаем как

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

и интегрируя ..

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

которое является аналитическим решением непрерывной модели.

Теперь мы хотим уточнить приведенное выше выражение. Мы предполагаем, что u постоянно на каждом временном шаге.

${\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

Мы узнаем выражение в квадратных скобках как , а второй член можно упростить, заменив его функцией . Обратите внимание на это . Мы также предполагаем, что это постоянное значение во время интеграла , что в свою очередь дает${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$${\displaystyle d\tau =-dv}$${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}$

что является точным решением проблемы дискретизации.

Когда является сингулярным, последнее выражение все еще можно использовать, заменив его разложением Тейлора ,${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}}$

${\displaystyle e^{{\mathbf {A} }T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}.}$

Это дает

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{{\mathbf {A} }T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{{\mathbf {A} }v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\mathbf {A} }^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k],\end{matrix}}}$

которая используется на практике.

Приближения [ править ]

Точная дискретизация иногда может быть затруднена из-за использования сложных матричных экспоненциальных и интегральных операций. На ее основе гораздо проще рассчитать приближенную дискретную модель для малых временных шагов . Приблизительное решение становится таким:${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]}$

Это также известно как метод Эйлера , который также известен как прямой метод Эйлера. Другие возможные приближения также известны как обратный метод Эйлера и , который известен как билинейное преобразование или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений имеет разные свойства устойчивости. Билинейное преобразование сохраняет неустойчивость системы с непрерывным временем.${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}$${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}$

Дискретизация непрерывных функций [ править ]

В статистике и машинном обучении под дискретизацией понимается процесс преобразования непрерывных функций или переменных в дискретные или номинальные характеристики. Это может быть полезно при создании функций вероятности и массы.

Дискретизация гладких функций [ править ]

В теории обобщенных функций дискретизация возникает как частный случай теоремы о свертке для умеренных распределений.

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*\operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot \operatorname {III} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\alpha \cdot \operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*\operatorname {III} }$

где - гребенка Дирака , - дискретизация, - периодизация , - быстро убывающее умеренное распределение (например, дельта-функция Дирака или любая другая функция с компактным носителем ), - плавная , медленно растущая обычная функция (например, постоянная функция или любая другая полосно-ограниченная функция) и является (унитарным, обычной частотой) преобразованием Фурье . Негладкие функции можно сделать сглаженными с помощью смягчителя перед дискретизацией.${\displaystyle \operatorname {III} }$${\displaystyle \cdot \operatorname {III} }$${\displaystyle *\operatorname {III} }$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \alpha }$

В качестве примера, дискретизация функции, которая постоянно дает последовательность , которая, интерпретируется как коэффициенты линейной комбинации из дельта - функций Дирака , образует гребень Дирака . Если дополнительно применяется усечение , получаются конечные последовательности, например . Они дискретны как по времени, так и по частоте.${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [..,1,1,1,..]}$${\displaystyle [1,1,1,1]}$

См. Также [ править ]

• Дискретное моделирование событий
• Дискретное пространство
• Дискретное время и непрерывное время
• Метод конечных разностей
• Метод конечных объемов для нестационарного потока
• Сглаживание
• Стохастическое моделирование
• Расчет шкалы времени

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Роберт Гровер Браун и Патрик YC Хван (1997). Введение в случайные сигналы и применяемую фильтрацию Калмана (3-е изд.). ISBN 978-0471128397.
• Чи-Цонг Чен (1984). Теория и дизайн линейных систем . Филадельфия, Пенсильвания, США: Издательство Saunders College. ISBN 978-0030716911.
• К. Ван Лоан (июнь 1978 г.). «Вычислительные интегралы с участием матричной экспоненты» (PDF) . IEEE Transactions по автоматическому контролю . 23 (3): 395–404. DOI : 10.1109 / TAC.1978.1101743 . ЛВП : 1813/7095 .
• Р. Х. Миддлтон и Г. К. Гудвин (1990). Цифровой контроль и оценка: единый подход . п. 33f. ISBN 978-0132116657.

Внешние ссылки [ править ]