Спектр мощности из временных рядов описывает распределение мощности по частотным составляющим, составляющим этот сигнал. [1] Согласно анализу Фурье , любой физический сигнал можно разложить на несколько дискретных частот или на спектр частот в непрерывном диапазоне. Среднее статистическое значение определенного сигнала или типа сигнала (включая шум ), проанализированное с точки зрения его частотного содержания, называется его спектром .
Когда энергия сигнала сосредоточена вокруг конечного временного интервала, особенно если его полная энергия конечна, можно вычислить спектральную плотность энергии . Чаще используется спектральная плотность мощности (или просто спектр мощности ), которая применяется к сигналам, существующим в течение всего времени или за достаточно большой период времени (особенно в отношении продолжительности измерения), который также мог бы быть превышен. бесконечный временной интервал. Спектральная плотность мощности (СПМ) тогда относится к спектральному распределению энергии, которое может быть найдено в единицу времени, поскольку полная энергия такого сигнала за все время, как правило, будет бесконечной. Суммирование или интегрирование спектральных составляющих дает общую мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), идентичную той, которая была бы получена путем интегрированияво временной области, как диктуется теоремой Парсеваля . [2]
Спектр физического процесса часто содержит важную информацию о природе . Например, высота и тембр музыкального инструмента сразу же определяются с помощью спектрального анализа. Цвет источника света определяется спектром электрического поля электромагнитной волныпоскольку он колеблется с очень высокой частотой. Получение спектра из таких временных рядов включает преобразование Фурье и обобщения, основанные на анализе Фурье. Во многих случаях временная область специально не используется на практике, например, когда дисперсионная призма используется для получения спектра света в спектрографе или когда звук воспринимается через его воздействие на слуховые рецепторы внутреннего уха, каждый из которых чувствительны к определенной частоте.
Однако в этой статье основное внимание уделяется ситуациям, в которых временные ряды известны (по крайней мере, в статистическом смысле) или непосредственно измерены (например, с помощью микрофона, производимого компьютером). Спектр мощности важен для статистической обработки сигналов и статистического исследования случайных процессов , а также во многих других областях физики и техники . Обычно процесс является функцией времени, но можно аналогичным образом обсудить данные в пространственной области, разлагаемые с точки зрения пространственной частоты . [3]
Объяснение
Любой сигнал, который можно представить как переменную, изменяющуюся во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Сюда входят знакомые объекты, такие как видимый свет (воспринимаемый как цвет ), музыкальные ноты (воспринимаемый как высота звука ), радио / телевидение (определяемое их частотой или иногда длиной волны ) и даже регулярное вращение Земли. Когда эти сигналы рассматриваются в форме частотного спектра, выявляются определенные аспекты принимаемых сигналов или лежащие в основе процессы, их производящие. В некоторых случаях частотный спектр может включать отчетливый пик, соответствующий синусоидальной составляющей. Кроме того, могут быть пики, соответствующие гармоникам основного пика, указывающие на периодический сигнал, который не является просто синусоидальным. Или непрерывный спектр может показывать узкие частотные интервалы, которые сильно усиливаются в соответствии с резонансами, или частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как это может быть произведено режектором .
В физике сигнал может быть волной, такой как электромагнитная волна , акустическая волна или вибрация механизма. Мощности спектральной плотности (PSD) сигнала описывает мощности в сигнале в зависимости от частоты, на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в ваттах на герц (Вт / Гц). [4]
Когда сигнал определяется только с точки зрения напряжения , например, нет уникальной мощности, связанной с заявленной амплитудой. В этом случае «мощность» просто рассчитывается в терминах квадрата сигнала, так как он всегда будет пропорционален фактической мощности, передаваемой этим сигналом при заданном импедансе . Таким образом, можно использовать единицы V 2 Гц -1 для PSD и V 2 с Гц -1 для ESD ( спектральная плотность энергии ) [5], даже если фактическая «мощность» или «энергия» не указаны.
Иногда можно встретить амплитудную спектральную плотность (ASD), которая является квадратным корнем из PSD; ASD сигнала напряжения имеет единицы измерения В Гц -1/2 . [6] Это полезно, когда форма спектра довольно постоянна, поскольку изменения в ASD будут пропорциональны изменениям самого уровня напряжения сигнала. Но математически предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае площадь под кривой будет значимой с точки зрения фактической мощности на всей частоте или в указанной полосе пропускания.
В общем случае единицы PSD будут отношением единиц дисперсии на единицу частоты; так, например, ряд значений смещения (в метрах) с течением времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах м 2 / Гц. Для анализа случайных вибраций для PSD ускорения часто используются единицы g 2 Гц -1 . Здесь g обозначает g-силу . [7]
Математически нет необходимости назначать физические размеры сигналу или независимой переменной. В последующем обсуждении значение x (t) останется неопределенным, но предполагается, что независимой переменной является время.
Определение
Спектральная плотность энергии
Спектральная плотность энергии описывает, как энергия сигнала или временного ряда распределяется по частоте. Здесь термин энергия используется в обобщенном смысле обработки сигналов; [8] то есть энергия сигнала это :
Спектральная плотность энергии наиболее подходит для переходных процессов, то есть импульсных сигналов, имеющих конечную общую энергию. Конечно или нет, теорема Парсеваля [9] (или теорема Планшереля) дает нам альтернативное выражение для энергии сигнала :
где :
это значение преобразования Фурье изс частотой (в Гц). Теорема верна и для случаев дискретного времени. Поскольку интеграл в правой части представляет собой энергию сигнала, подынтегральное выражениеможно интерпретировать как функцию плотности, описывающую энергию, содержащуюся в сигнале на частоте. Таким образом, в спектральной плотности энергии изопределяется как : [9]
( Уравнение 1 )
Функция и автокорреляции изобразуют пару преобразований Фурье, результат известен как теорема Винера – Хинчина . (также см. Периодограмму )
В качестве физического примера того, как можно измерить спектральную плотность энергии сигнала, предположим представляет собой потенциал (в вольтах ) электрического импульса, распространяющегося по линии передачи с полным сопротивлением , и предположим, что линия оканчивается согласованным резистором (так что вся энергия импульса передается на резистор и никакая не отражается обратно). По закону Ома мощность, подаваемая на резистор за время равно , поэтому полная энергия находится интегрированием относительно времени по длительности импульса. Чтобы найти значение спектральной плотности энергии с частотой , можно было бы вставить между линией передачи и резистором полосовой фильтр, пропускающий только узкий диапазон частот (, скажем) около интересующей частоты, а затем измерить полную энергию рассеивается на резисторе. Значение спектральной плотности энергии при тогда оценивается как . В этом примере, поскольку мощностьимеет единицы V 2 Ω −1 , энергияимеет единицы V 2 s Ω −1 = J, поэтому оценкаот спектральной плотности энергии имеют единицы J Гц -1 , по мере необходимости. Во многих ситуациях обычно пропускают этап деления натак что спектральная плотность энергии вместо этого имеет единицы V 2 Гц -1 .
Это определение прямо обобщается на дискретный сигнал со счетно бесконечным числом значений. например, сигнал, дискретизированный в дискретные моменты времени :
где является дискретным временем преобразования Фурье из Интервал выборки необходим для сохранения правильных физических единиц и обеспечения восстановления непрерывного случая в пределе Но в математических науках интервал часто устанавливается равным 1, что упрощает результаты за счет общности. (также см. Нормализованная частота )
Спектральная плотность мощности
Приведенное выше определение спектральной плотности энергии подходит для переходных процессов (импульсных сигналов), энергия которых сосредоточена вокруг одного временного окна; тогда обычно существуют преобразования Фурье сигналов. Для непрерывных сигналов в течение всего времени необходимо скорее определить спектральную плотность мощности (PSD), которая существует для стационарных процессов ; это описывает, как мощность сигнала или временного ряда распределяется по частоте, как в простом примере, приведенном ранее. Здесь мощность может быть реальной физической мощностью или, чаще, для удобства с абстрактными сигналами, просто отождествляется с квадратом значения сигнала. Например, статистики изучают изменение функции во времени.(или над другой независимой переменной), и, используя аналогию с электрическими сигналами (среди других физических процессов), его принято называть спектром мощности, даже если физическая мощность не задействована. Если бы нужно было создать физический источник напряжения,и приложил его к клеммам резистора 1 Ом , тогда действительно мгновенная мощность, рассеиваемая в этом резисторе, будет равна Вт .
Средняя мощность сигнала следовательно, за все время определяется следующим средним значением времени, где период сосредоточено вокруг некоторого произвольного времени :
Однако, чтобы иметь дело с приведенными ниже математическими выкладками, удобнее иметь дело с ограничениями по времени в самом сигнале, а не с ограничениями по времени в границах интеграла. Таким образом, у нас есть альтернативное представление средней мощности, где а также равно единице внутри произвольного периода и нулю где-либо еще.
Ясно, что в тех случаях, когда приведенное выше выражение для P не равно нулю (даже если T неограниченно растет), сам интеграл также должен неограниченно расти. Это причина того, что в таких случаях мы не можем использовать саму спектральную плотность энергии, которая является этим расходящимся интегралом.
При анализе частотного состава сигнала , можно было бы вычислить обычное преобразование Фурье ; однако для многих представляющих интерес сигналов преобразование Фурье формально не существует. [N 1] Тем не менее, теорема Парсеваля говорит нам, что мы можем переписать среднюю степень следующим образом.
Тогда спектральная плотность мощности просто определяется как подынтегральное выражение выше. [11] [12]
( Уравнение 2 )
Отсюда мы также можем просмотреть как преобразование Фурье временной свертки из а также
Теперь, если мы разделим указанную выше свертку времени на период и возьмем предел как , он становится автокорреляционной функцией безоконного сигнала, который обозначается как , при условии, что является эргодичным , что верно в большинстве, но не во всех практических случаях. [13] .
Отсюда мы видим, снова предполагая эргодичность , что спектральная плотность мощности может быть найдена как преобразование Фурье автокорреляционной функции ( теорема Винера – Хинчина ).
( Уравнение 3 )
Многие авторы используют это равенство для определения спектральной плотности мощности. [14]
Мощность сигнала в заданной полосе частот , где , можно рассчитать интегрированием по частоте. С, равное количество мощности может быть отнесено к положительным и отрицательным полосам частот, что составляет коэффициент 2 в следующей форме (такие тривиальные факторы зависят от используемых соглашений):
В более общем смысле, аналогичные методы могут использоваться для оценки изменяющейся во времени спектральной плотности. В этом случае временной интервалконечна, а не приближается к бесконечности. Это приводит к уменьшению спектрального охвата и разрешения, поскольку частоты ниже не дискретизируются, и результаты с частотами, не кратными целому числу не независимы. Просто используя один такой временной ряд, оцененный спектр мощности будет очень "шумным"; однако это можно уменьшить, если можно оценить ожидаемое значение (в приведенном выше уравнении), используя большое (или бесконечное) количество краткосрочных спектров, соответствующих статистическим ансамблям реализаций оценивается в течение указанного временного окна.
Как и в случае со спектральной плотностью энергии, определение спектральной плотности мощности можно обобщить на дискретные временные переменные.. Как и раньше, мы можем рассматривать окно с дискретизацией сигнала в дискретные моменты времени за общий период измерения .
Обратите внимание, что единую оценку PSD можно получить с помощью конечного числа выборок. Как и раньше, фактическая PSD достигается, когда (и поэтому ) приближаются к бесконечности, и формально применяется ожидаемое значение. В реальном приложении обычно можно усреднить PSD конечного измерения по множеству испытаний, чтобы получить более точную оценку теоретической PSD физического процесса, лежащего в основе отдельных измерений. Эту вычисленную PSD иногда называют периодограммой . Эта периодограмма сходится к истинной PSD в виде количества оценок, а также временного интервала усреднения.приближение к бесконечности (Браун и Хван). [15]
Если два сигнала обладают спектральной плотностью мощности, то перекрестная спектральная плотность может быть рассчитана аналогичным образом; как PSD связана с автокорреляцией, так и кросс-спектральная плотность связана с кросс-корреляцией .
Свойства спектральной плотности мощности
Некоторые свойства PSD включают: [16]
- Спектр мощности всегда действительный и неотрицательный, а спектр действительного процесса также является четной функцией частоты:.
- Для непрерывного случайного процесса x (t) автокорреляционная функция R xx (t) может быть восстановлена по ее спектру мощности S xx (f) с помощью обратного преобразования Фурье
- Используя теорему Парсеваля , можно вычислить дисперсию (среднюю мощность) процесса путем интегрирования спектра мощности по всей частоте:
- Для реального процесса x (t) со спектральной плотностью мощности , можно вычислить интегральный спектр или спектральное распределение мощности , который определяет среднюю ограниченную мощность, содержащуюся в частотах от DC до f, используя: [17]
- Обратите внимание, что предыдущее выражение для полной мощности (дисперсии сигнала) является частным случаем, когда f → ∞.
Перекрестная спектральная плотность мощности
Учитывая два сигнала а также , каждая из которых обладает спектральной плотностью мощности а также , можно определить перекрестную спектральную плотность мощности ( CPSD ) или перекрестную спектральную плотность ( CSD ). Для начала рассмотрим среднюю мощность такого комбинированного сигнала.
Используя те же обозначения и методы, которые использовались для вывода спектральной плотности мощности, мы используем теорему Парсеваля и получаем
где опять же вклады а также уже поняли. Обратите внимание, что, поэтому полный вклад в перекрестную мощность, как правило, составляет удвоенную реальную часть каждого отдельного CPSD . Как и раньше, отсюда мы преобразовываем эти продукты в преобразование Фурье временной свертки, которое при делении на период и доведении до пределастановится преобразованием Фурье функции взаимной корреляции . [18]
где является кросс-корреляции из с участием а также является кросс-корреляции из с участием . В свете этого PSD рассматривается как частный случай CSD для. В случае, если а также представляют собой сигналы напряжения или тока, соответствующие амплитудные спектральные плотности а также строго положительны по условию. Следовательно, при типичной обработке сигналов полный CPSD - это всего лишь один из CPSD, масштабированных в два раза.
Для дискретных сигналов x n и y n соотношение между кросс-спектральной плотностью и кросс-ковариацией равно
Оценка
Целью оценки спектральной плотности является оценка спектральной плотности случайного сигнала из последовательности временных отсчетов. В зависимости от того, что известно о сигнале, методы оценки могут включать параметрические или непараметрические подходы и могут быть основаны на анализе во временной или частотной области. Например, общий параметрический метод включает подгонку наблюдений к авторегрессионной модели . Распространенным непараметрическим методом является периодограмма .
Спектральная плотность обычно оценивается с использованием методов преобразования Фурье (таких как метод Велча ), но также могут использоваться другие методы, такие как метод максимальной энтропии .
Связанные понятия
- Спектральный центроид сигнала является серединой его спектральной функции плотности, т.е. частоты , которая делит распределение на две равные части.
- Спектральная частота края сигнала является продолжением предыдущей концепции в любой пропорции , а не две равные части.
- Спектральная плотность - это функция частоты, а не времени. Однако спектральная плотность малых окон более длинного сигнала может быть вычислена и нанесена на график в зависимости от времени, связанного с окном. Такой граф называется спектрограммой . Это основа ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты .
- «Спектр» обычно означает спектральную плотность мощности, как обсуждалось выше, которая отображает распределение содержания сигнала по частоте. Это не следует путать с частотной характеристикой в виде передаточной функции , которая также включает в себя этап (или , что эквивалентно, реальную и мнимую часть в зависимости от частоты). Для передаточных функций (например, график Боде , щебетание ) полная частотная характеристика может быть представлена в виде графика в виде двух частей: амплитуда в зависимости от частоты и фаза в зависимости от частоты (или, реже, как действительная и мнимая части передаточной функции). Импульсная характеристика (во временной области), как правило, нельзя однозначно восстановить только по амплитудной части спектральной плотности без фазовой функции. Хотя это также пары преобразования Фурье, нет симметрии (как есть для автокорреляции), заставляющей преобразование Фурье быть действительным. См. Спектральный фазовый и фазовый шум .
Приложения
Электротехника
Концепция и использование спектра мощности сигнала является фундаментальным в электротехнике , особенно в системах электронной связи , включая радиосвязь , радары и связанные с ними системы, а также технологию пассивного дистанционного зондирования . Электронные инструменты, называемые анализаторами спектра , используются для наблюдения и измерения спектров мощности сигналов.
Анализатор спектра измеряет величину кратковременного преобразования Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал можно рассматривать как стационарный процесс, STFT является хорошей сглаженной оценкой его спектральной плотности мощности.
Космология
Первичные флуктуации , вариации плотности в ранней Вселенной, количественно оцениваются спектром мощности, который дает мощность вариаций как функцию пространственного масштаба.
Смотрите также
- Спектральная плотность шума
- Оценка спектральной плотности
- Спектральная эффективность
- Спектральное распределение мощности
- Температура яркости
- Цвета шума
- Спектральная утечка
- Оконная функция
- Биспектр
- Малая вероятность
Заметки
- ^ Некоторые авторы (например, Рискен [10] ) до сих пор формально используют ненормализованное преобразование Фурье, чтобы сформулировать определение спектральной плотности мощности.
- ,
Рекомендации
- ^ Р Стоик & R Моисей (2005). «Спектральный анализ сигналов» (PDF) .
- ^ П. Стойка и Р. Моисей (2005). «Спектральный анализ сигналов» (PDF) .
- ^ П. Стойка и Р. Моисей (2005). «Спектральный анализ сигналов» (PDF) .
- ^ Жерар Мараль (2003). Сети VSAT . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-470-86684-9.
- ^ Майкл Питер Нортон и Денис Г. Карчуб (2003). Основы анализа шума и вибрации для инженеров . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-49913-2.
- ^ Майкл Серна и Одри Ф. Харви (2000). «Основы анализа и измерения сигналов на основе БПФ» (PDF) .
- ^ Алессандро Биролини (2007). Техника надежности . Springer. п. 83. ISBN 978-3-540-49388-4.
- ^ Оппенгейм; Verghese. Сигналы, системы и выводы . С. 32–4.
- ^ а б Штейн, Джонатан Ю. (2000). Цифровая обработка сигналов: перспективы компьютерных наук . Вайли. п. 115.
- ^ Ханнес Рискен (1996). Уравнение Фоккера – Планка: методы решения и приложения (2-е изд.). Springer. п. 30. ISBN 9783540615309.
- ^ Фред Рике; Уильям Биалек и Дэвид Варланд (1999). Шипы: изучение нейронного кода (вычислительная нейробиология) . MIT Press . ISBN 978-0262681087.
- ^ Скотт Миллерс и Дональд Чайлдерс (2012). Вероятностные и случайные процессы . Академическая пресса . С. 370–5.
- ^ Теорема Винера – Хинчина имеет смысл этой формулы для любого стационарного процесса в широком смысле при более слабых гипотезах:не обязательно должен быть абсолютно интегрируемым, он просто должен существовать. Но интеграл уже нельзя интерпретировать как обычно. Формула также имеет смысл, если ее интерпретировать как включающую распределения (в смысле Лорана Шварца , а не в смысле статистической кумулятивной функции распределения ) вместо функций. Еслиявляется непрерывным, теорему Бохнера можно использовать, чтобы доказать, что его преобразование Фурье существует как положительная мера , функция распределения которой равна F (но не обязательно как функция и не обязательно обладает плотностью вероятности).
- ^ Деннис Уорд Рикер (2003). Обработка эхо-сигнала . Springer. ISBN 978-1-4020-7395-3.
- ^ Роберт Гровер Браун и Патрик YC Хван (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-12839-7.
- ^ Сторч, Х. Фон; FW Zwiers (2001). Статистический анализ в исследованиях климата . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-01230-0.
- ^ Введение в теорию случайных сигналов и шума, Уилбур Б. Давенпорт и Виллиан Л. Рут, IEEE Press, Нью-Йорк, 1987, ISBN 0-87942-235-1
- ^ Уильям Д. Пенни (2009). «Курс обработки сигналов, глава 7» .
Внешние ссылки
- Скрипты Matlab Power Spectral Density