В математике , теорема замкнутости [1] , как правило , относится к результату , что преобразование Фурье является унитарным ; грубо говоря, сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. Она берет свое начало из 1799 теоремы о серии по Парсевалю , который позже был применен к ряду Фурье . Она также известна как энергетическая теорема Рэлея или личность Рэлея в честь Джона Уильяма Стратта , лорда Рэлея. [2]
Хотя термин «теорема Парсеваля» часто используется для описания унитарности любого преобразования Фурье, особенно в физике , наиболее общую форму этого свойства правильнее назвать теоремой Планшереля . [3]
Формулировка теоремы Парсеваля.
Предположим, что а также - две комплексные функции на периода которые интегрируемы с квадратом (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода, с рядами Фурье
а также
соответственно. потом
( Уравнение 1 )
где - мнимая единица, а горизонтальные черты обозначают комплексное сопряжение . Подстановка а также :
Как и в случае со средними членами в этом примере, многие термины будут интегрированы в в течение всего периода продолжительности(см. гармоники ):
В целом, учитывая абелева локально компактная группа G с понтрягинского двойной G ^ , теорема замкнутости говорит преобразование Понтрягина- Фурье является унитарным оператором между гильбертовых пространств L 2 ( G ) и L 2 ( G ^ ) (с интеграцией быть против соответствующим образом масштабированные меры Хаара на этих двух группах.) Когда G - единичная окружность T , G ^ - целые числа, и это случай, рассмотренный выше. Когда G - настоящая линия, G ^ такжеа унитарное преобразование - это преобразование Фурье на действительной прямой. Когда G - циклическая группа Z n , она снова самодуальна, и преобразование Понтрягина – Фурье - это то, что в прикладных контекстах называется дискретным преобразованием Фурье .
Теорема Парсеваля также может быть выражена следующим образом: Предположим, что является интегрируемой с квадратом функцией над (т.е. а также интегрируемы на этом интервале) с рядом Фурье
Обозначения, используемые в физике
В физике и технике теорема Парсеваля часто записывается как:
где представляет собой непрерывное преобразование Фурье (в нормированной, унитарной форме), а также частота в радианах в секунду.
Интерпретация этой формы теоремы заключается в том, что полную энергию сигнала можно вычислить путем суммирования мощности на выборку по времени или спектральной мощности по частоте.
Для сигналов с дискретным временем теорема принимает следующий вид:
где является дискретным преобразованием Фурье (ДВПФ) а также представляет угловую частоту (в радианах на выборку).
В качестве альтернативы, для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) соотношение становится следующим:
где это ДПФ , обе длины .
Смотрите также
Теорема Парсеваля тесно связана с другими математическими результатами, включающими унитарные преобразования:
Заметки
- ↑ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'integration complete d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à коэффициенты константы ", представленные в Академии наук (Париж) 5 апреля 1799 года. Эта статья был опубликован в « Mémoires présentés à l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses Assemblées.
- ^ Рэлей, JWS (1889) "О характере полного излучения при данной температуре", Philosophical Magazine , vol. 27, страницы 460–469. Доступно онлайн здесь .
- ^ Планшерель, Мишель (1910) "Вклад в этюд представления единой функции арбитража с интегральными определениями", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, страницы 298–335.
- ^ Артур Э. Данезе (1965). Расширенный расчет . 1 . Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon, Inc., стр. 439.
- ^ Уилфред Каплан (1991). Advanced Calculus (4-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон Уэсли. п. 519 . ISBN 0-201-57888-3.
- ^ Георгий Петрович Толстов (1962). Ряд Фурье . Перевод Сильвермана, Ричарда. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. стр. 119 .
Рекомендации
- Парсеваль , MacTutor Архив истории математики .
- Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков (Харкорт: Сан-Диего, 2001).
- Хуберт Кеннеди, Восемь математических биографий (Безусловные публикации: Сан-Франциско, 2002).
- Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер, Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999), стр. 60.
- Уильям МакКи. Зиберт, Схемы, сигналы и системы (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), стр. 410–411.
- Дэвид В. Каммлер, Первый курс анализа Фурье (Prentice-Hall, Inc., Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси, 2000) с. 74.
Внешние ссылки
- Теорема Парсеваля о математическом мире