Мера Хаара

В математическом анализе , то мера Хаара присваивает «инвариантный объем» для подмножеств локально компактных топологических групп , следовательно , определяя интеграл для функций на этих группах.

Эта мера была введена Альфредом Хааром в 1933 году, хотя ее частный случай для групп Ли был введен Адольфом Гурвицем в 1897 году под названием «инвариантный интеграл». ^{[1] [2]} меры Хаара используются во многих частях анализа , теории чисел , теории групп , теории представлений , статистика , теория вероятностей и эргодическая теория .

Предварительные мероприятия [ править ]

Пусть - локально компактная хаусдорфова топологическая группа . Алгебра , порожденная всеми открытыми подмножествами называется алгебра Борель . Элемент борелевской алгебры называется борелевским множеством . Если элемент и является подмножеством , то мы определим левые и правые сдвиги из по г следующим образом :${\ Displaystyle (G, \ cdot)}$ σ {\ displaystyle \ sigma} ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$

• Левый перевод:

${\ displaystyle gS = \ {g \ cdot s \,: \, s \ in S \}.}$

• Правильный перевод:

${\ Displaystyle Sg = \ {s \ cdot g \,: \, s \ in S \}.}$

Left и right переводят отображения борелевских множеств на борелевские множества.

Мера на борелевских подмножествах называются левым трансляционно-инвариантной , если для всех подмножеств Борель и все один имеют${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle S \ substeq G}$${\ displaystyle g \ in G}$

${\ Displaystyle \ му (gS) = \ му (S). \ quad}$

Мера на борелевских подмножествах называется инвариантной относительно правого сдвига, если для всех борелевских подмножеств и всех из них${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle S \ substeq G}$${\ displaystyle g \ in G}$

${\ Displaystyle \ му (Sg) = \ му (S). \ quad}$

Теорема Хаара [ править ]

С точностью до положительной мультипликативной константы существует единственная счетно-аддитивная нетривиальная мера на борелевских подмножествах, удовлетворяющая следующим свойствам:${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle G}$

• Мера инвариантна слева относительно сдвига: для всех без исключения борелевских множеств .${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ му (gS) = \ му (S)}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ Displaystyle S \ substeq G}$
• Мера конечна на каждом компакте: на всех компактах .${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ му (К) <\ infty}$${\ displaystyle K \ substeq G}$
• Эта мера является внешним регулярной на борелевских множествах :${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle S \ substeq G}$

${\ displaystyle \ mu (S) = \ inf \ {\ mu (U): S \ substeq U, U {\ text {open}} \}.}$

• Эта мера является внутренним регулярной на открытых множествах :${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle U \ substeq G}$

${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.}$

Такая мера на называется левой мерой Хаара. Как следствие вышеуказанных свойств можно показать, что для каждого непустого открытого подмножества . В частности, если компактен, то конечен и положителен, поэтому мы можем однозначно указать левую меру Хаара на , добавив условие нормировки .${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu (U)>0}$${\displaystyle U\subseteq G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu (G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu (G)=1}$

Некоторые авторы определяют меру Хаара на множествах Бэра, а не на борелевских множествах. Это делает ненужными условия регулярности, поскольку меры Бэра автоматически регулярны. Халмос ^[3] довольно сбивает с толку термин «борелевское множество» для элементов -кольца, порожденного компактными множествами, и определяет меры Хаара на этих множествах. σ {\displaystyle \sigma }

Левая мера Хаара удовлетворяет условию внутренней регулярности для всех -конечных борелевских множеств, но может не быть внутренней регулярной для всех борелевских множеств. Например, произведение единичной окружности (с ее обычной топологией) и вещественной прямой с дискретной топологией является локально компактной группой с топологией произведения, и мера Хаара на этой группе не является внутренней регулярной для замкнутого подмножества . (Компактные подмножества этого вертикального сегмента - это конечные множества, а точки имеют меру , поэтому мера любого компактного подмножества этого вертикального сегмента равна . Но, используя внешнюю регулярность, можно показать, что сегмент имеет бесконечную меру.) σ {\displaystyle \sigma } ${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

Существование и единственность (с точностью до масштабирования) левой меры Хаара впервые в полной общности доказал Андре Вейль . ^[4] В доказательстве Вейля использовалась аксиома выбора, а Анри Картан представил доказательство, которое избегало ее использования. ^[5] Доказательство Картана также устанавливает существование и единственность одновременно. Упрощенное и полное изложение аргументации Картана было дано Альфсеном в 1963 году. ^[6] Частный случай инвариантной меры для счетных локально компактных групп был продемонстрирован Хааром в 1933 году ^[1].

Построение меры Хаара [ править ]

Конструкция с использованием компактных подмножеств [ править ]

Следующий метод построения меры Хаара по сути является методом, использованным Хааром и Вейлем.

Для любых подмножеств с непустыми значениями определите наименьшее количество левых переводов этого покрытия (так что это неотрицательное целое число или бесконечность). Это не аддитивно на компактах , хотя обладает тем свойством, что и для непересекающихся компактов, если это достаточно малая открытая окрестность единицы (в зависимости от и ). Идея меры Хаара состоит в том, чтобы взять своего рода предел, когда as становится меньше, чтобы сделать его аддитивным на всех парах непересекающихся компактов, хотя сначала его нужно нормализовать, чтобы предел не был просто бесконечностью. Так исправим компактный набор${\displaystyle S,T\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [T:S]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K\subseteq G}$${\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}$${\displaystyle K,L\subseteq G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle [K:U]}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$с непустой внутренностью (которая существует, поскольку группа локально компактна) и для компактного множества определим${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$

где предел берется по подходящему ориентированному множеству открытых окрестностей идентичности, в конечном итоге содержащихся в любой данной окрестности; существование направленного множества, для которого существует предел, следует из теоремы Тихонова .

Функция аддитивна на непересекающихся компактных подмножествах , что означает, что это регулярное содержимое . Из регулярного содержания можно построить меру, сначала расширив ее на открытые множества по внутренней регулярности, затем на все множества по внешней регулярности, а затем ограничив ее борелевскими множествами. (Даже для открытых множеств соответствующая мера может не задаваться формулой lim sup, приведенной выше. Проблема в том, что функция, заданная формулой lim sup, не является счетно субаддитивной в общем случае и, в частности, бесконечна на любом множестве без компактного замыкания так что это не внешняя мера.)${\displaystyle \mu _{A}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu _{A}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

Конструкция с использованием функций с компактной поддержкой [ править ]

Картан ввел другой способ построения меры Хаара как меры Радона (положительный линейный функционал на непрерывных функциях с компактным носителем ), который аналогичен построению выше, за исключением того , что , и являются положительными непрерывными функциями компактного носителя, а не подмножествами . В этом случае мы определяем точную нижнюю грань чисел , которая меньше линейной комбинации левых сдвигов некоторых . Как и раньше, мы определяем${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [K:U]}$${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}$${\displaystyle K(g)}$${\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$.

Тот факт, что предел существует, требует некоторых усилий для доказательства, хотя преимущество этого состоит в том, что доказательство избегает использования аксиомы выбора, а также дает единственность меры Хаара как побочный результат. Функционал продолжается до положительного линейного функционала на непрерывных функциях с компактным носителем и, таким образом, дает меру Хаара. (Обратите внимание, что даже если предел является линейным по , отдельные члены обычно не линейны по .)${\displaystyle \mu _{A}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle [K:U]}$${\displaystyle K}$

Конструкция с использованием средних значений функций [ править ]

Фон Нейман дал метод построения меры Хаара с использованием средних значений функций, хотя он работает только для компактных групп. Идея состоит в том, что для данной функции на компактной группе можно найти выпуклую комбинацию (где ) ее левых сдвигов, которая отличается от постоянной функции не более чем на небольшое число . Затем показано, что при стремлении к нулю значения этих постоянных функций стремятся к пределу, который называется средним значением (или интегралом) функции .${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}$${\displaystyle \sum a_{i}=1}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f}$

Для групп, которые локально компактны, но не компактны, эта конструкция не дает меры Хаара, поскольку среднее значение функций с компактным носителем равно нулю. Однако что-то подобное действительно работает для почти периодических функций на группе, которые имеют среднее значение, хотя это не дается относительно меры Хаара.

Конструкция на группах Ли [ править ]

На n- мерной группе Ли меру Хаара легко построить как меру, индуцированную левоинвариантной n -формой. Это было известно до теоремы Хаара.

Правильная мера Хаара [ править ]

Также можно доказать, что существует единственная (с точностью до умножения на положительную константу) борелевская мера, инвариантная по правому сдвигу, удовлетворяющая указанным выше условиям регулярности и конечная на компактах, но не обязательно совпадающая с инвариантной по сдвигу слева мера . Левая и правая меры Хаара совпадают только для так называемых унимодулярных групп (см. Ниже). Однако довольно просто найти связь между и .${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

Действительно, для борелевского множества обозначим через множество обратных к элементам . Если мы определим ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

то это правая мера Хаара. Чтобы показать правильную инвариантность, примените определение:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Поскольку правильная мера уникальна, отсюда следует, что она кратна, и поэтому${\displaystyle \mu _{-1}}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

для всех борелевских множеств , где - некоторая положительная постоянная.${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

Модульная функция [ править ]

Левый перевод правого мера Хаара является правильной мерой Хаара. Точнее, если - правая мера Хаара, то${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad }$

также инвариантен справа. Таким образом, с точностью до постоянного масштабного коэффициента меры Хаара существует функция от группы до положительных вещественных чисел, называемая модулем Хаара , модулярной функцией или модульным характером , такая, что для любого борелевского множества${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad }$

Поскольку правая мера Хаара определена с точностью до положительного масштабного коэффициента, это уравнение показывает, что модулярная функция не зависит от выбора правой меры Хаара в приведенном выше уравнении.

Модулярная функция - это непрерывный гомоморфизм группы в мультипликативную группу положительных действительных чисел . Группа называется унимодулярной, если модулярная функция тождественна или, что эквивалентно, если мера Хаара инвариантна как слева, так и справа. Примерами унимодулярных групп являются абелевы группы , компактные группы , дискретные группы (например, конечные группы ), полупростые группы Ли и связные нильпотентные группы Ли . ^{[ необходима цитата ]} Примером неунимодулярной группы является группа аффинных преобразований${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

на реальной линии. Этот пример показывает, что разрешимая группа Ли не обязательно должна быть унимодулярной. В этой группе левая мера Хаара задается выражением , а правая мера Хаара - выражением .${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db}$${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}$

Меры на однородных пространствах [ править ]

Если локально компактная группа действует транзитивно на однородном пространстве , можно спросить , если это пространство имеет инвариантную меру, или в более общем плане полу-инвариантной меры с тем свойством , что для некоторого характера из . Необходимым и достаточным условием существования такой меры является то, что ограничение равно , где и - модульные функции от и соответственно. В частности, инвариантная мера на существует тогда и только тогда, когда модулярная функция с ограничением на является модульной функцией от .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi |_{H}}$${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle H}$

Пример [ править ]

Если - группа и - подгруппа верхнетреугольных матриц, то модулярная функция нетривиальна, но модулярная функция тривиальна. Их частное не может быть расширено до любого символа , поэтому фактор-пространство (которое можно рассматривать как одномерное реальное проективное пространство ) не имеет даже полуинвариантной меры.${\displaystyle G}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/H}$

Интеграл Хаара [ править ]

Используя общую теорию интегрирования Лебега , можно затем определить интеграл для всех измеримых по Борелю функций на . Этот интеграл называется интегралом Хаара и обозначается как:${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

где - мера Хаара.${\displaystyle \mu }$

Одно свойство левой меры Хаара состоит в том, что, если она является элементом , верно следующее:${\displaystyle \mu }$${\displaystyle s}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

для любой интегрируемой функции Хаара на . Это сразу для функций индикатора :${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu }$

что по сути является определением левой инвариантности.

Примеры [ править ]

• Мера Хаара на топологической группе, принимающая значение на интервале , равна ограничению меры Лебега на борелевские подмножества . Это можно обобщить на${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}$
• Если - группа ненулевых действительных чисел с умножением в качестве операции, то мера Хаара задается формулой${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$

  для любого борелевского подмножества ненулевых вещественных чисел. Например, если взять интервал , то находим . Теперь позвольте мультипликативной группе действовать на этом интервале, умножая все ее элементы на число , в результате чего получается интервал. Измеряя этот новый интервал, мы находим${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle gS}$${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}$
• Если - группа положительных действительных чисел при умножении, то мера Хаара задается формулой${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}$

  для любого борелевского подмножества положительных действительных чисел.${\displaystyle S}$
• Позвольте быть набором всех аффинных линейных преобразований вида для некоторого фиксированного с Associate с операцией композиции функций , которая превращается в неабелеву группу. можно отождествить с правой полуплоскостью, в которой групповая операция становится левоинвариантной мерой Хаара (соответственно правоинвариантной мерой Хаара ) на :${\displaystyle G}$${\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle r\mapsto xr+y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x>0.}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}$${\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}$${\displaystyle \mu _{L}}$${\displaystyle \mu _{R}}$${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }$

  ${\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}$     и     ${\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}$

  для любого борелевского подмножества из Это потому , что если это открытое подмножество , то для фиксированной, интеграция путем подстановки дает ${\displaystyle S}$${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}$${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }$${\displaystyle (s,t)\in G}$

  ${\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$

  в то время как для фиксированного, ${\displaystyle (u,v)\in G}$

  ${\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$

• Если группа представлена ​​как открытое подмногообразие, тогда левая мера Хаара на задается формулой , где - якобиан левого умножения на . Правая мера Хаара задается таким же образом, за исключением якобиана правого умножения на .${\displaystyle G}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\frac {1}{J(x)}}d^{n}x}$${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle x}$
• Как частный случай предыдущей конструкции, для любой левой меры Хаара является правой мерой Хаара, и одна такая мера задается формулой${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$

  где обозначает меру Лебега на, отождествляемую с множеством всех -матриц. Это следует из формулы замены переменных .${\displaystyle dX}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$${\displaystyle n\times n}$
• На любой группе Ли размерности левая мера Хаара может быть связана с любой ненулевой левоинвариантной -формой , как мера Лебега ; и аналогично для правых мер Хаара. Это означает также , что модульная функция может быть вычислена, как абсолютное значение детерминанта в присоединенном представлении .${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$
• Чтобы определить меру Хаара на круговой группе , рассмотрим функцию от на, определенную с помощью . Тогда можно определить как${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,2\pi ]}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m\left(f^{-1}(S)\right),}$

  где - мера Лебега. Коэффициент выбран так, чтобы .${\displaystyle m}$${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$
• Блок гипербола может быть принята в качестве группы при умножении определяется как с расщепленными комплексными числами Обычной площади мера серпа служит для определения гиперболического угла в области ее гиперболического сектор . Мера Хаара единичной гиперболы порождается гиперболическим углом сегментов на гиперболе. Например, мера в одну единицу дается отрезком, идущим от (1,1) до (e, 1 / e), где e - число Эйлера . Гиперболический угол широко использовался в математической физике вместо классической скорости .${\displaystyle \{(x,y):x^{2}-y^{2}=1,x>0\}}$ ${\displaystyle z=x+yj,\ \ j^{2}=+1.}$${\displaystyle C=\{(x,y):|y|<x,\ \ x^{2}-y^{2}<1\}}$
• Если это группа ненулевых кватернионов , то ее можно рассматривать как открытое подмножество . Мера Хаара задается формулой${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mu }$

  ${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$

  где обозначает меру Лебега в и является борелевским подмножеством .${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$
• Если - аддитивная группа -адических чисел для простого числа , то мера Хаара задается, позволяя иметь меру , где - кольцо целых -адических чисел.${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a+p^{n}O}$${\displaystyle p^{-n}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle p}$

Использует [ редактировать ]

В том же выпуске Annals of Mathematics и сразу после статьи Хаара теорема Хаара была использована Джоном фон Нейманом для решения пятой проблемы Гильберта для компактных групп . ^[7]

Если не является дискретной группой, невозможно определить счетно-аддитивную левоинвариантную регулярную меру на всех подмножествах , принимая аксиому выбора , согласно теории неизмеримых множеств .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Абстрактный гармонический анализ [ править ]

Меры Хаара используются в гармоническом анализе на локально компактных группах, в частности в теории двойственности Понтрягина . ^{[8] [9] [10]} Чтобы доказать существование меры Хаара на локально компактной группе, достаточно показать левоинвариантную меру Радона на .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Математическая статистика [ править ]

В математической статистике меры Хаара используются для априорных мер, которые являются априорными вероятностями для компактных групп преобразований. Эти предварительные меры используются для построения допустимых процедур путем апелляции к характеристике допустимых процедур как байесовских процедур (или ограничений байесовских процедур) Уолдом . Например, правая мера Хаара для семейства распределений с параметром местоположения дает оценку Питмана , которая является наилучшей эквивариантной. Когда левая и правая меры Хаара различаются, правая мера обычно предпочтительнее в качестве предварительного распределения. Для группы аффинных преобразований на пространстве параметров нормального распределения правая мера Хаара является априорной мерой Джеффриса . ^[11] К сожалению, даже правильные меры Хаара иногда приводят к бесполезным априорным показателям, которые нельзя рекомендовать для практического использования, как и другие методы построения априорных мер, которые избегают субъективной информации. ^[12]

Другое использование меры Хаара в статистике - это условный вывод , при котором выборочное распределение статистики обусловлено другой статистикой данных. В теоретико-инвариантном условном выводе выборочное распределение обусловлено инвариантом группы преобразований (относительно которой определена мера Хаара). Результат кондиционирования иногда зависит от порядка, в котором используются инварианты, и от выбора максимального инварианта , так что сам по себе статистический принцип инвариантности не может выбрать какую-либо уникальную лучшую условную статистику (если таковая существует); нужен хотя бы другой принцип.

Для некомпактных групп статистики расширили результаты по мере Хаара, используя аменабельные группы . ^[13]

Обратная теорема Вейля [ править ]

В 1936 году Вейль доказал обратное (своего рода) теореме Хаара, показав, что если группа имеет левоинвариантную меру с определенным разделяющим свойством ^[3], то можно определить топологию на группе и пополнение группы локально компактна, и данная мера по существу совпадает с мерой Хаара на этом пополнении.

См. Также [ править ]

• Понтрягинская двойственность
• Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани

Примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Дистель, Джо; Спалсбери, Анджела (2014), Радости меры Хаара , Аспирантура по математике, 150 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-0935-7, Руководство по ремонту  3186070
• Лумис, Линн (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. ван Ностранд и Ко, hdl : 2027 / uc1.b4250788.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963), Абстрактный гармонический анализ. Vol. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп. , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115 , Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, MR  0156915
• Нахбин, Леопольдо (1965), Интеграл Хаара , Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд
• Андре Вейль , Основная теория чисел , Academic Press, 1971.

Внешние ссылки [ править ]

• Существование и единственность интеграла Хаара на локально компактной топологической группе - Герт К. Педерсен.
• О существовании и единственности инвариантных мер на локально компактных группах - Саймон Рубинштейн-Зальзедо