Локально компактное пространство

В топологии и смежные отраслях математики , топологическое пространство называется локально компактным , если, грубо говоря, каждую малую часть пространства выглядит как небольшая часть компактного пространства .

Формальное определение [ править ]

Пусть X - топологическое пространство . Чаще всего X называется локально компактным, если каждая точка x из X имеет компактную окрестность , т. Е. Существуют открытое множество U и компакт K , такие что .${\ Displaystyle х \ в U \ substeq K}$

Есть и другие общие определения: все они эквивалентны, если X - хаусдорфово пространство (или предрегулярное). Но в целом они не равнозначны :

1. каждая точка X имеет компактную окрестность .

2. каждая точка X имеет замкнутую компактную окрестность.

2 ′. каждая точка X имеет относительно компактную окрестность.

2 ″. каждая точка X имеет локальную базу из относительно компактных окрестностей.

3. каждая точка X имеет локальную базу компактных окрестностей.

3 ′. для каждой точки x из X каждая окрестность x содержит компактную окрестность x .

4. X хаусдорфово и удовлетворяет любому (или, что эквивалентно, всем) предыдущим условиям.

Логические отношения между условиями:

• Условия (2), (2 ′), (2 ″) эквивалентны.
• Условия (3), (3 ′) эквивалентны.
• Ни одно из условий (2), (3) не влечет другого.
• Каждое условие влечет (1).
• Компактность влечет за собой условия (1) и (2), но не (3).

Условие (1) является , вероятно, наиболее часто используемым определением, так как она является наименее ограничивающей и другими эквивалентным ему , когда Х является Хаусдорфово . Эта эквивалентность является следствием того факта, что компактные подмножества хаусдорфовых пространств замкнуты, а замкнутые подмножества компактных пространств компактны.

Поскольку они определены в терминах относительно компактных множеств, пространства, удовлетворяющие (2), (2 '), (2 "), более конкретно могут быть названы локально относительно компактными . ^{[1] [2]} Стин и Зеебах ^[3] называют (2 ), (2 '), (2 ") сильно локально компактно в отличие от свойства (1), которое они называют локально компактным .

Условие (4) используется, например, в Бурбаки. ^[4] Почти во всех приложениях локально компактные пространства действительно также хаусдорфовы. Таким образом, эти локально компактные хаусдорфовы (LCH) пространства - это те пространства, которым в первую очередь посвящена данная статья.

Примеры и контрпримеры [ править ]

Компактные хаусдорфовые пространства [ править ]

Каждое компактное хаусдорфово пространство также локально компактно, и многие примеры компактных пространств можно найти в компактном пространстве статьи . Здесь мы упоминаем только:

• единичный интервал [0,1];
• множество Кантора ;
• Гильберт куб .

Локально компактные хаусдорфовы пространства, не являющиеся компактными [ править ]

• В евклидовы пространства R ^п (и , в частности, реальная линия R ) локально компактно , как следствие теоремы Гейне-Бореля .
• Топологические многообразия обладают локальными свойствами евклидовых пространств и, следовательно, также все локально компактны. Сюда входят даже непаракомпактные коллекторы, такие как длинная линия .
• Все дискретные пространства локально компактны и хаусдорфовы (это просто нульмерные многообразия). Они компактны, только если они конечны.
• Все открытые или замкнутые подмножества локально компактного хаусдорфова пространства локально компактны в топологии подпространств . Это дает несколько примеров локально компактных подмножеств евклидовых пространств, таких как единичный диск (либо открытая, либо закрытая версия).
• Пространство Q _р о р -адических чисел локально компактно, потому что гомеоморфно на множество Кантора минус один балл. Таким образом, локально компактные пространства столь же полезны в p -адическом анализе, как и в классическом анализе .

Хаусдорфовы пространства, не являющиеся локально компактными [ править ]

Как упоминалось в следующем разделе, если хаусдорфово пространство локально компактно, то оно также является тихоновским пространством ; в этой статье есть несколько примеров пространств Хаусдорфа, которые не являются пространствами Тихонова. Но есть также примеры тихоновских пространств, которые не могут быть локально компактными, например:

• пространство Q из рациональных чисел (наделенная топологией от R ), так как любая окрестность содержит последовательность Коши , соответствующую иррациональное число, которое не имеет сходящуюся подпоследовательности в Q ;
• подпространство в , поскольку начало координат не имеет компактной окрестности;${\ Displaystyle \ {(0,0) \} \ чашка ((0, \ infty) \ times \ mathbf {R})}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$
• нижний предел топология или верхний предел топология на множество R действительных чисел (полезно при изучении односторонних пределов );
• любой Т 0 , следовательно , Хаусдорфовы, топологическое векторное пространство , что является бесконечным - мерным , например, бесконечномерным гильбертовым пространством .

Первые два примера показывают, что подмножество локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным, что контрастирует с открытыми и замкнутыми подмножествами в предыдущем разделе. Последний пример контрастирует с евклидовыми пространствами в предыдущем разделе; чтобы быть более конкретным, топологическое векторное пространство Хаусдорфа локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно (в этом случае это евклидово пространство). Этот пример также контрастирует с кубом Гильберта как примером компактного пространства; противоречия нет, потому что куб не может быть окрестностью какой-либо точки в гильбертовом пространстве.

Примеры, не относящиеся к Хаусдорфу [ править ]

• Одноточечная компактификация из рациональных чисел Q является компактным и , следовательно , локально компактно в смыслах (1) и (2) , но это не является локально компактным в смысле (3).
• Частности топология точки на любом бесконечном множестве локально компактно в здравом уме (1) и (3) , но не в смысле (2), так как замыкание любых окрестностей является всей некомпактной пространство. То же самое и для вещественной линии с верхней топологией.
• Несвязное объединение двух вышеупомянутых примеров локально компактно в смысле (1) , но не в смыслах (2) или (3).
• Пространство Серпинского локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), а также компактно, но оно не хаусдорфово (и даже не дорегулярно), поэтому оно не является локально компактным в смысле (4). Несвязное объединение счетного числа копий Серпинского пространства ( гомеоморфного к топологии Хьялмара Ekdal ) не является компактным пространством , которое по - прежнему локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), но не (4).

Свойства [ править ]

Каждое локально компактное предрегулярное пространство на самом деле вполне регулярно . Отсюда следует, что каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским пространством . Поскольку прямая регулярность является более привычным условием, чем предрегулярность (которая обычно слабее) или полная регулярность (которая обычно сильнее), локально компактные предрегулярные пространства обычно упоминаются в математической литературе как локально компактные регулярные пространства . Аналогично локально компактные тихоновские пространства обычно называют локально компактными хаусдорфовыми пространствами .

Каждое локально компактное хаусдорфово пространство является пространством Бэра . То есть, вывод теоремы Бэра категории : в отношении интерьера любого союза из счетного числа нигде не плотных подмножеств является пустым .

Подпространство X локально бикомпакта Y локально компактно тогда и только тогда , когда Х может быть записана в виде теоретико-множественной разности двух замкнутых подмножеств в Y . Как следствие, А плотное подпространство X локально бикомпакта Y локально компактно тогда и только тогда , когда Х представляет собой открытое подмножество из Y . Кроме того, если подпространство X из любого хаусдорфова пространства Y локально компактно, то Хпо-прежнему должна быть разностью двух замкнутых подмножеств Y , хотя обратное не обязательно в этом случае.

Факторпространства локально компактных хаусдорфовых пространств компактно порождены . Наоборот, каждое компактно порожденное хаусдорфово пространство является фактором некоторого локально компактного хаусдорфова пространства.

Для локально компактных пространств локальная равномерная сходимость - это то же самое, что и компактная сходимость .

Точка в бесконечности [ править ]

Поскольку каждое локально компактное хаусдорфово пространство X является тихоновским, его можно вложить в компактное хаусдорфово пространство b ( X ) с помощью компактификации Стоуна – Чеха . Но на самом деле есть более простой метод, доступный в локально компактном случае; одна точки компактификация встроит X в бикомпакте а ( X ) с только один дополнительным пунктом. (Одноточечная компактификация может быть применена к другим пространствам, но a ( X ) будет хаусдорфовым тогда и только тогда, когда X локально компактно и хаусдорфово.) Таким образом, локально компактные хаусдорфовы пространства можно охарактеризовать как открытые подмножества компактных хаусдорфовых пространств.

Интуитивно дополнительную точку в ( X ) можно представить как бесконечно удаленную точку . Дело в бесконечности следует рассматривать как лежащие вне всякого компактное подмножество X . Многие интуитивные представления о стремлении к бесконечности могут быть сформулированы в локально компактных хаусдорфовых пространствах, используя эту идею. Например, непрерывный реальный или комплекс оценивается функция F с домена X называется нуль на бесконечности , если для любого положительного числа е , существует компактное подмножество К из X такой , что | f (х ) | < Е всякий раз , когда точка х лежит вне К . Это определение имеет смысл для любого топологического пространства X . Если X локально компактно и хаусдорфово, такие функции в точности продолжаются до непрерывной функции g на ее одноточечной компактификации a ( X ) = X ∪ {∞}, где g (∞) = 0.

Множество C ₀ ( X ) всех непрерывных комплекснозначных функций, обращающихся в нуль на бесконечности, является C * -алгеброй . В самом деле, каждый коммутативный C * -алгебра изоморфна к C ₀ ( X ) для некоторых уникального ( до гомеоморфизма ) локально бикомпакт X . Точнее, категории локально компактных хаусдорфовых пространств и коммутативных C * -алгебр двойственны ; это показано с помощью представления Гельфанда . Формируя одноточечную компактификацию a ( X ) пространства Xпри этой двойственности соответствует присоединению единичного элемента к C ₀ ( X ).

Локально компактные группы [ править ]

Понятие локальной компактности играет важная роль в изучении топологических групп , главным образом потому , что каждый Хаусдорф локально компактная группа G несет естественные меры , которые называются меры Хаара , которые позволяют интегрировать измеримые функции , определенные на G . Мера Лебега на вещественной прямой R является частным случаем этого.

Понтрягинская двойной из топологической абелевой группы А локально компактно тогда и только тогда , когда локально компактно. Точнее, Двойственность Понтрягина определяет самодиагностику двойственность в категории локально компактных абелевых групп. Изучение локально компактных абелевых групп является основой гармонического анализа , области, которая с тех пор распространилась на неабелевы локально компактные группы.

См. Также [ править ]

• σ-компактное пространство

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Келли, Джон (1975). Общая топология . Springer. ISBN 978-0387901251.
• Мункрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0131816299.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Руководство по ремонту  0507446 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0486434797.