Топологическое многообразие

В топологии , ветвь математики , топологическое многообразие является топологическим пространством , которое локально напоминает реальную п - мерное евклидово пространство. Топологические многообразия - важный класс топологических пространств, которые находят применение во всей математике. Все многообразия по определению являются топологическими многообразиями. Другие типы многообразий образуются путем добавления структуры к топологическому многообразию (например, дифференцируемые многообразия - это топологические многообразия, снабженные дифференциальной структурой ). Каждое многообразие имеет «лежащее в основе» топологическое многообразие, полученное простым «забвением» добавленной структуры.^[1]

Формальное определение [ править ]

Топологическое пространство X называется локально евклидовым , если существует неотрицательное целое число п такое , что каждая точка в X имеет окрестность , которая гомеоморфно к реальному п -пространство R ^н . ^[2]

Топологическое многообразие является локально евклидова хаусдорфовым . К топологическим многообразиям обычно предъявляются дополнительные требования. В частности, многие авторы определяют их как паракомпактные ^[3] или второсчетные . ^[2]

В оставшейся части статьи многообразие будет означать топологическое многообразие. П-многообразие будет означать топологическое многообразие, что каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную R ^н .

Примеры [ править ]

n -многообразия [ править ]

В реальном пространстве координат R ^п является п -многообразием.
Любое дискретное пространство является 0-мерным многообразием.
Круг представляет собой компактное 1-многообразие.
Тор и бутылка Клейна компактные 2-многообразие (или поверхность ).
П - мерная сфера S ^п представляет собой компактный п -многообразие.
П - мерный тор Т ^п (произведение п окружностей) представляет собой компактное п -многообразием.

Проективные многообразия [ править ]

Проективные пространства над вещественными числами , комплексами или кватернионами являются компактными многообразиями.
- Вещественное проективное пространство RP ⁿ является n -мерным многообразием.
- Комплексное проективное пространство CP ⁿ - это 2 n -мерное многообразие.
- Кватернионное проективное пространство HP ⁿ является 4 n -мерным многообразием.
Коллекторы , связанные с проективным пространством включают грассманиан , многообразие флагов и Штифель многообразие .

Другие коллекторы [ править ]

Пространства линз - это класс многообразий, которые являются факторами нечетномерных сфер.
Группы Ли - это многообразия, наделенные групповой структурой.

Свойства [ править ]

Свойство быть локально евклидовым сохраняется локальными гомеоморфизмами . То есть, если X локально евклидово размерности n и f : Y → X - локальный гомеоморфизм, то Y локально евклидово размерности n . В частности, локальная евклидовость является топологическим свойством .

Многообразия наследуют многие локальные свойства евклидова пространства. В частности, они локально компактны , локально связны , сначала счетны , локально стягиваемы и локально метризуемы . Будучи локально компактными хаусдорфовыми пространствами, многообразия обязательно являются тихоновскими пространствами .

Добавление условия Хаусдорфа может сделать несколько свойств многообразия эквивалентными. В качестве примера можно показать, что для хаусдорфова многообразия понятия σ-компактности и второй счетности совпадают. В самом деле, хаусдорфово многообразие является локально компактным хаусдорфовым пространством, следовательно, оно (полностью) регулярно. ^[4] Предположим, что такое пространство X σ-компактно. Тогда это Линделёф, и поскольку из регулярности Линделёфа + следует паракомпакт, X метризуемо. Но в метризуемом пространстве вторая счетность совпадает со счетностью по Линделёфу, поэтому X счетно по второму. Наоборот, если X - хаусдорфово вторично счетное многообразие, оно должно быть σ-компактным. ^[5]

Многообразие не обязательно должно быть связным, но каждое многообразие M является несвязным объединением связных многообразий. Это только связные компоненты из М , которые являются открытыми множествами , поскольку многообразия локально связно. Будучи локально линейно связным, многообразие линейно связно тогда и только тогда, когда оно связано. Отсюда следует, что компоненты пути такие же, как и компоненты.

Аксиома Хаусдорфа [ править ]

Собственность Хаусдорфа не является местной; поэтому, даже если евклидово пространство хаусдорфово, локально евклидово пространство не обязательно. Однако верно, что каждое локально евклидово пространство есть T 1 .

Примером нехаусдорфового локально евклидова пространства является линия с двумя началами . Это пространство создается путем замены начала реальной прямой двумя точками, открытая окрестность любой из которых включает все ненулевые числа в некотором открытом интервале с центром в нуле. Это пространство не хаусдорфово, потому что два начала не могут быть разделены.

Аксиомы компактности и счетности [ править ]

Многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно . Поскольку метризуемость - такое желаемое свойство топологического пространства, обычно к определению многообразия добавляют паракомпактность. В любом случае непаракомпактные коллекторы обычно считаются патологическими . Пример непаракомпактного многообразия дается длинной линией . Паракомпактные многообразия обладают всеми топологическими свойствами метрических пространств. В частности, это совершенно нормальные хаусдорфовы пространства .

Также обычно требуется, чтобы в коллекторах был счетчик секунд . Это в точности условие, необходимое для того, чтобы многообразие было вложено в какое-то конечномерное евклидово пространство. Для любого многообразия свойства счетности до второго, линделёфа и σ-компактности эквивалентны.

Каждое счетное многообразие паракомпактно, но не наоборот. Однако почти верно и обратное: паракомпактное многообразие счетно во второй раз тогда и только тогда, когда оно имеет счетное число компонент связности . В частности, связное многообразие паракомпактно тогда и только тогда, когда оно счетно во втором. Каждое счетное многообразие сепарабельно и паракомпактно. Более того, если многообразие сепарабельно и паракомпактно, то оно также счетно во вторых.

Каждое компактное многообразие счетно и паракомпактно.

Размерность [ править ]

По инвариантности области непустое n -многообразие не может быть m -многообразием при n ≠ m . ^[6] Размерность непустого n -многообразия равна n . Быть n -многообразием - это топологическое свойство , означающее, что любое топологическое пространство, гомеоморфное n -многообразию, также является n -многообразием. ^[7]

Карты координат [ править ]

По определению, каждая точка локально евклидова пространства имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству . Такие окрестности называются евклидовыми окрестностями . Из неизменности области следует, что евклидовы окрестности всегда являются открытыми множествами. Всегда можно найти евклидовы окрестности, гомеоморфные «красивым» открытым множествам . Действительно, пространство M локально евклидово тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную открытому шару в . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную самой себе. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Евклидова окрестность, гомеоморфная открытому шару в , называется евклидовым шаром . Евклидовы шары составляют основу топологии локально евклидова пространства. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Для любой евклидовой окрестности U гомеоморфизм называется координатной картой на U (хотя слово карта часто используется для обозначения области или диапазона такой карты). Пространство M локально евклидово тогда и только тогда, когда оно может быть покрыто евклидовыми окрестностями. Множество евклидовых окрестностей, покрывающих М , вместе с их координат диаграммы, называется атласом на М . (Терминология происходит от аналогии с картографией, когда сферический глобус можно описать атласом плоских карт или диаграмм). ${\ displaystyle \ phi: U \ rightarrow \ phi \ left (U \ right) \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

Учитывая две диаграммы и с перекрывающимися областями U и V , существует функция перехода ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ psi}$

{\ Displaystyle \ psi \ phi ^ {- 1}: \ phi \ left (U \ cap V \ right) \ rightarrow \ psi \ left (U \ cap V \ right)}

Такое отображение является гомеоморфизмом между открытыми подмножествами . То есть координатные диаграммы соглашаются на перекрытия с точностью до гомеоморфизма. Различные типы многообразий могут быть определены путем наложения ограничений на типы разрешенных карт переходов. Например, для дифференцируемых многообразий требуется, чтобы отображения переходов были диффеоморфизмами . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Классификация многообразий [ править ]

Дискретные пространства (0-многообразие) [ править ]

0-многообразие - это просто дискретное пространство . Дискретное пространство является счетным тогда и только тогда, когда оно счетно . ^[7]

Кривые (1-манифольд) [ править ]

Всякое непустое паракомпактное связное 1-многообразие гомеоморфно либо R, либо окружности . ^[7]

Поверхности (2-многообразие) [ править ]

Сфера представляет собой 2-многообразие.

Каждые непустой, компактный, связанные 2-многообразие (или поверхность ) гомеоморфно сфере , в связную сумму из торов , или связной сумму проективных плоскостей . ^[8]

Объемы (3-коллекторный) [ править ]

Классификация трехмерных многообразий является результатом гипотезы Терстона о геометризации , доказанной Григорием Перельманом в 2003 году. Более конкретно, результаты Перельмана предоставляют алгоритм для определения, гомеоморфны ли два трехмерных многообразия друг другу. ^[9]

Общий n-многообразие [ править ]

Известно, что полная классификация n -многообразий для n больше трех невозможна; она не менее сложна, чем проблема слов в теории групп , которая, как известно, алгоритмически неразрешима . ^[10]

Фактически не существует алгоритма определения односвязности данного многообразия . Однако существует классификация односвязных многообразий размерности ≥ 5. ^[11]^[12]

Коллекторы с краем [ править ]

Иногда полезно немного более общее понятие. Топологическое многообразие с краем является хаусдорфовым , в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную открытое подмножество евклидовой полупространства (при фиксированном п ):

{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x_ {n} \ geq 0 \}.}

Каждое топологическое многообразие является топологическим многообразием с краем, но не наоборот. ^[7]

Конструкции [ править ]

Есть несколько методов создания коллекторов из других коллекторов.

Манифольды продукта [ править ]

Если M - m -многообразие, а N - n -многообразие, декартово произведение M × N является ( m + n ) -многообразием при заданной топологии произведения . ^[13]

Disjoint Union [ править ]

Несвязное объединение счетного семейства п -многообразий является п -многообразием (кусочки должны все иметь одинаковый размер). ^[7]

Связанная сумма [ править ]

Связная сумма два п -многообразий определяются путем удаления открытого шара из каждого коллектора и принимая фактор несвязного объединения получающихся многообразий с краем, с фактором , принятым в отношении гомеоморфизма между граничными сферами снятых шаров . Это приводит к другому n -многообразию. ^[7]

Подмногообразие [ править ]

Любое открытое подмножество n -многообразия является n -многообразием с топологией подпространства . ^[13]

Сноски [ править ]

↑ Раджендра Бхатия (6 июня 2011 г.). Труды Международного конгресса математиков: Хайдарабад, август 19-27, 2010 . World Scientific. С. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.
^ a b Джон М. Ли (6 апреля 2006 г.). Введение в топологические многообразия . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6.
^ Тьерри Обен (2001). Курс дифференциальной геометрии . American Mathematical Soc. С. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.
^ Topospaces subwiki, Локально компактный Хаусдорф влечет полностью регулярный
^ Stack Exchange, Хаусдорф локально компактный и второй счетный является сигма-компактным
^ Таммо Том Дик (2008). Алгебраическая топология . Европейское математическое общество. С. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.
^ a b c d e f Джон Ли (25 декабря 2010 г.). Введение в топологические многообразия . Springer Science & Business Media. С. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.
^ Жан Галье; Дайанна Сюй (5 февраля 2013 г.). Руководство по теореме классификации компактных поверхностей . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3.
^ Геометризация трехмерных многообразий . Европейское математическое общество. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.
↑ Лоуренс Конлон (17 апреля 2013 г.). Дифференцируемые многообразия: первый курс . Springer Science & Business Media. С. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0.
^ Ubr А.В. (1988) Классификация односвязных топологических 6-многообразий. В: Виро О.Ю., Вершик А.М. (ред.) Топология и геометрия - семинар Рохлина. Конспект лекций по математике, том 1346. Springer, Berlin, Heidelberg
^ Барден, Д. "Просто связанные пятимерные многообразия". Анналы математики, т. 82, нет. 3. 1965. С. 365–385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702.
^ a b Джеффри Ли; Джеффри Марк Ли (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . American Mathematical Soc. С. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

Ссылки [ править ]

Голд, ДБ (1974). «Топологические свойства многообразий». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 81 (6): 633–636. DOI : 10.2307 / 2319220 . JSTOR 2319220 .
Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основные очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции (PDF) . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08191-3.
Ли, Джон М. (2000). Введение в топологические многообразия . Тексты для выпускников по математике 202 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98759-2.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с математическими многообразиями .

[Bhatia2011-1] Раджендра Бхатия (6 июня 2011 г.). Труды Международного конгресса математиков: Хайдарабад, август 19-27, 2010 . World Scientific. С. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.

[Lee2006-2] Джон М. Ли (6 апреля 2006 г.). Введение в топологические многообразия . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6.

[Aubin2001-3] Тьерри Обен (2001). Курс дифференциальной геометрии . American Mathematical Soc. С. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.

[4] Topospaces subwiki, Локально компактный Хаусдорф влечет полностью регулярный

[5] Stack Exchange, Хаусдорф локально компактный и второй счетный является сигма-компактным

[Dieck2008-6] Таммо Том Дик (2008). Алгебраическая топология . Европейское математическое общество. С. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.

[Lee2010-7] Джон Ли (25 декабря 2010 г.). Введение в топологические многообразия . Springer Science & Business Media. С. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.

[GallierXu2013-8] Жан Галье; Дайанна Сюй (5 февраля 2013 г.). Руководство по теореме классификации компактных поверхностей . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3.

[9] Геометризация трехмерных многообразий . Европейское математическое общество. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.

[Conlon2013-10] Лоуренс Конлон (17 апреля 2013 г.). Дифференцируемые многообразия: первый курс . Springer Science & Business Media. С. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0.

[11] Ubr А.В. (1988) Классификация односвязных топологических 6-многообразий. В: Виро О.Ю., Вершик А.М. (ред.) Топология и геометрия - семинар Рохлина. Конспект лекций по математике, том 1346. Springer, Berlin, Heidelberg

[12] Барден, Д. "Просто связанные пятимерные многообразия". Анналы математики, т. 82, нет. 3. 1965. С. 365–385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702.

[LeeLee2009-13] Джеффри Ли; Джеффри Марк Ли (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . American Mathematical Soc. С. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[1]